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第1章 集合与函数概念 1.3.1 第2课时


第一章 1.3.1 单调性与最大(小)值

第2课时 函数的最值

学习 目标

1.理解函数的最大(小)值及其几何意义. 2.会求简单函数的最大值或最小值.

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知识梳理

自主学习

知识点 函数的最大(小)值及几何意义 最值
最大值 最小值

条件 存在x0∈I,使得f(x0)=M 存在x0∈I,使得f(x0)=M 纵坐标 纵坐标

几何意义

对于任意的x∈I,都有 f(x)≤M , 函数y=f(x)图象上最高点的 对于任意的x∈I,都有 f(x)≥M , 函数y=f(x)图象上最低点的

答案

思考


任何函数都有最大(小)值吗?
不一定.函数的最值首先是一个函数值,它是值域的一个元素.若仅有

对定义域内的任意实数 x,都有 f(x)≤M,但 M 不在函数值域内,则 M 不 1 能称为函数的最值.例如函数 y= x(0<x<1),对于任意 x∈(0,1),0<y<1 成 立,由于 0,1 不在值域(0,1)内,因此 0,1 都不是这个函数的最值,这个函 数既没有最大值也没有最小值.

答案

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题型探究

重点突破

题型一 利用函数的图象求最值
例1
?x2,-1≤x≤1, ? 已知函数 f(x)=?1 ? x,x>1. ?

求 f(x)的最大值、最小值.



作出函数f(x)的图象(如图).由图象可知,当x=±1时,f(x)取最大值为f(±1)

=1.当x=0时,f(x)取最小值f(0)=0,

故f(x)的最大值为1,最小值为0.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练1

(1)函数f(x)的部分图象如图所示,则该函数在[-2,2]上的最

小值、最大值分别是( C ) A.f(-2),f(3) B.0,2 C.f(-2),2 D.f(2),2 解析 由图象可知, x=-2时,f(x)取得最小值为f(-2)=-1, x=1时,f(x)取得最大值为f(1)=2.

解析答案

? 2 ?- ,x∈?-∞,0?, (2)画出函数 f(x)=? x ?x2+2x-1,x∈[0,+∞? ?

的图象, 并写出函数的单调

区间及函数的最小值.



f(x)的图象如图所示,f(x)的单调递增区间是(-∞,0)和[0,+∞),

函数的最小值为f(0)=-1.

解析答案

题型二 利用单调性求函数的最值 x 例 2 求函数 f(x)= 在区间[2,5] 上的最大值与最小值. x-1 x1 x2 解 任取 2≤x1<x2≤5,则 f(x1)= ,f(x2)= , x1-1 x2-1
x1-x2 x2 x1 f(x2)-f(x1)= - = , x2-1 x1-1 ?x2-1??x1-1?

∵2≤x1<x2≤5,∴x1-x2<0,x2-1>0,x1-1>0,
∴f(x2)-f(x1)<0.∴f(x2)<f(x1).
x ∴f(x)= 在区间[2,5] 上是单调减函数. x-1

2 5 5 ∴f(x)max=f(2)= =2,f(x)min=f(5)= =4. 2-1 5-1
反思与感悟 解析答案

跟踪训练 2

1 已知函数 f(x)=x+x .

(1)求证:f(x)在[1,+∞)上是增函数;

证明 设1≤x1<x2,
x1x2-1 1 1 则 f(x1)-f(x2)=(x1+x )-(x2+x )=(x1-x2)· x x . 1 2 1 2

∵1≤x1<x2,∴x1-x2<0,x1x2>1,

∴x1x2-1>0,
∴f(x1)-f(x2)<0,即f(x1)<f(x2).

∴f(x)在[1,+∞)上是增函数.
解析答案

(2)求f(x)在[1,4]上的最大值及最小值. 解 由(1)可知,f(x)在[1,4]上递增, ∴当x=1时,f(x)min=f(1)=2,
17 当 x=4 时,f(x)max=f(4)= 4 .
17 综上所述,f(x)在[1,4] 上的最大值是 4 ,最小值是 2.

解析答案

题型三

闭区间上二次函数的最值问题

例3 已知函数f(x)=x2+ax+3,x∈[-1,1].
(1)若a=1,求函数f(x)的最值;
1 2 11 解 当 a=1 时,f(x)=x +x+3=(x+2) + 4 , 1 故函数在[-1,-2]上单调递减, 1 在[-2,1]上单调递增, 1 11 又 f(-1)=3,f(-2)= 4 ,f(1)=5, 11 ∴函数 f(x)的最大值为 5,最小值为 4 .
2
解析答案

(2)若a∈R,求函数f(x)的最小值. a 解 ∵f(x)的对称轴为 x=-2. a 当-2<-1,即 a>2 时,函数 f(x)=x2+ax+3 在[-1,1]上单调递增,f(x)min=f(-1)=4-a.
a2 a a a2 a2 当-1≤-2≤1,即-2≤a≤2 时,f(x)min=f(-2)= 4 - 2 +3=3- 4 . a 当-2>1,即 a<-2 时,f(x)=x2+ax+3 在[-1,1]上单调递减,f(x)min=f(1)=4+a.
?4-a,a>2, ? ? a2 综上可知,f(x)min=?3- 4 ,-2≤a≤2, ? ? ?4+a,a<-2.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练3 解

已知函数f(x)=x2+2ax+2,x∈[-5,5].

(1)当a=-1时,求函数f(x)的最大值和最小值;
当a=-1时,f(x)=x2-2x+2=(x-1)2+1,

∵x∈[-5,5],故当x=1时,f(x)的最小值为1.
当x=-5时,f(x)的最大值为37.

(2)求实数a的取值范围,使y=f(x)在区间[-5,5]上是单调函数.
解 函数f(x)=(x+a)2+2-a2图象的对称轴为x=-a.

∵f(x)在[-5,5]上是单调函数,
故-a≤-5,或-a≥5.

即实数a的取值范围是{a|a≤-5,或a≥5}.
解析答案

题型四 函数最值的实际应用
例4 某公司生产一种电子仪器的固定成本为 20 000 元,每生产一台仪器需
? 1 2 ?400x- x ,0≤x≤400, 2 增加投入 100 元,已知总收益满足函数:R(x)=? ?80 000,x>400. ?

其中 x 是仪器的月产量.

(1)将利润表示为月产量的函数f(x); 解 设月产量为x台,则总成本为20 000+100x,

? 1 2 ?- x +300x-20 000,0≤x≤400, 从而 f(x)=? 2 ?60 000-100x,x>400. ?
解析答案

(2) 当月产量为何值时,公司所获利润最大?最大利润为多少元? ( 总收 益=总成本+利润)
解 1 当 0≤x≤400 时,f(x)=-2(x-300)2+25 000;

∴当x=300时,f(x)max=25 000, 当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数, f(x)<60 000-100×400<25 000. ∴当x=300时 ,f(x)max=25 000. 即每月生产300台仪器时利润最大, 最大利润为25 000元.
反思与感悟 解析答案

跟踪训练4

将进货单价为40元的商品按50元一个出售时,能卖出500个,

已知这种商品每涨价 1 元,其销售量就减少 10个,为得到最大利润,售 价应为多少元?最大利润是多少? 解 设售价为x元,利润为y元,单个涨价(x-50)元,销售量减少10(x- 50)个. ∴y=(x-40)(1 000-10x) =-10(x-70)2+9 000≤9 000. 故当x=70时,ymax=9 000. 答 售价为70元时,利润最大为9 000元.
解析答案

解题思想方法

利用函数最值或分离参数求解恒成立问题

x2+2x+a 例 5 已知函数 f(x)= ,x∈[1,+∞). x 1 (1)当 a=2时,求函数 f(x)的最小值; 1 1 解 当 a=2时,f(x)=x+2x+2. 1 设 1≤x1<x2,则 f(x2)-f(x1)=(x2-x1)(1-2x x ), 1 2 ∵1≤x1<x2,∴x2-x1>0,2x1x2>2,
1 1 1 ∴0<2x x <2,1-2x x >0,∴f(x2)-f(x1)>0,f(x1)<f(x2). 1 2 1 2

∴f(x)在区间[1,+∞)上为增函数,
7 ∴f(x)在区间[1,+∞)上的最小值为 f(1)=2.
解析答案

(2)若对任意x∈[1,+∞),f(x)>0恒成立,试求实数a的取值范围. 解 在区间[1,+∞)上f(x)>0恒成立 ?x2+2x+a>0恒成立. 设y=x2+2x+a,x∈[1,+∞), 则函数y=x2+2x+a=(x+1)2+a-1在区间[1,+∞)上是增函数. 所以当x=1时,y取最小值,即ymin=3+a, 于是当且仅当ymin=3+a>0时,函数f(x)>0恒成立, 故a>-3.

反思与感悟

解析答案

跟踪训练 5

设f(x) =x2+4x+3,不等式f(x)≥a对x∈R恒成立,则实数 a

(-∞,-1] 的取值范围是____________.

解析 ∵f(x)=x2+4x+3=(x+2)2-1,
由f(x)≥a恒成立,知f(x)min≥a,

∴a≤-1.

解析答案

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当堂检测

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1. 函数f(x)(-2≤x≤2)的图象如图所示,则函数的最大值和最小值分别 为( C )
A.f(2),f(-2) 1 3 C.f(2),f(-2)
解析

1 B.f(2),f(-1) 1 D.f(2),f(0)

1 3 由图象可知最大值为 f(2),最小值为 f(-2).

解析答案

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1 2.已知函数 f(x)= x在区间[1,2] 上的最大值为 A,最小值为 B,则 A-B 等 于( A ) 1 A.2 1 B.-2 C.1 D.-1

1 解析 可知函数 f(x)=x在[1,2] 上单调递减.
1 ∴A=f(1)=1,B=f(2)=2,
1 ∴A-B=2.
解析答案

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1 3.函数 y=x- x在[1,2] 上的最大值为( B ) A.0 3 B.2 C.2 D.3

解析

函数y=x在[1,2]上是增函数,

1 函数 y=-x 在[1,2] 上是增函数,
1 ∴函数 y=x-x 在[1,2] 上是增函数.
1 3 当 x=2 时,ymax=2-2=2.
解析答案

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4.f(x)=x2+2x+1,x∈[-2,2]的最大值是____. 9 解析 f(x)=x2+2x+1=(x+1)2, ∴f(x)在[-2,-1]上递减,在[-1,2]上递增, ∴f(x)max=f(2)=9.

解析答案

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? ?a,a≤b, 5.记 min{a,b}=? 若 f(x)=min{x+2,10-x}(x≥0),则 f(x)的 ? ?b,a>b.

最大值为____. 6

解析

? ?x+2,0≤x≤4 由题意, 知 f(x)=? , 作出函数 f(x)的图象如图所示. ? ?10-x,x>4

易知 f(x)max=f(4)=6.

解析答案

课堂小结 1.函数的最值与值域、单调性之间的联系

(1)对一个函数来说,其值域是确定的,但它不一定有最值,如函数y=1 . x 如果有最值,则最值一定是值域中的一个元素. (2) 若函数f(x) 在闭区间 [a ,b]上单调,则f(x)的最值必在区间端点处取得 .
即最大值是f(a)或f(b),最小值是f(b)或f(a).

2.二次函数在闭区间上的最值
探求二次函数在给定区间上的最值问题,一般要先作出 y= f(x) 的草图, 然后根据图象的增减性进行研究 .特别要注意二次函数的对称轴与所给区 间的位置关系,它是求解二次函数在已知区间上最值问题的主要依据, 并且最大(小)值不一定在顶点处取得.
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