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南充高中2012年面向省内外自主招生考试数学试题


南充高中 2012 年面向省内外自主招生考试

数 学 试 卷
(时间:120 分钟 满分:150 分)

第Ⅰ卷(填空题、选择题)
一、填空题(每小题 6 分,共 84 分,请将你的答案填到答题卷的相应位置处) ) 1、已知 a ? b ? 3, ab ? ?1, 则 a ? b ?
3 3

/>2、若 x ? x ? 1 ? 0 则 2 x ? 3x ? x ?
2 3 2

3、若 x ? 0, xy ? 0, 则 y ? x ?1 ? x ? y ? 5 ? 4、 1 ? 2 ? 3 ? ? ? 2011 ? 2012 ? 2011 ? ? ? 3 ? 2 ? 1 等于 的平方

5、在有理数范围内分解因式: ( x ? 3)( x ? 1)( x ? 2)( x ? 4) ? 24 ? 6、甲、乙、丙三名学生分 20 支相同的铅笔,每人至少 1 支,则不同的分配方法有 种 7 、 已知 a 、 b 、 2 分别 为 三角 形三 边的边 长 ,且 a 、 b 为 方程 ,则三角形的周长为 (3x2 ? 4x ?1)(3x2 ? 4x ? 5) ? 12 的根( a 、 b 可以相等) 8、一动点 P 从数轴上的原点出发,沿数轴的正方向以每前进 5 个单位、后退 3 个单位的 程序运动.已知动点 P 每秒前进或后退 1 个单位,设 xn 表示第 n 秒时点 P 在数轴的位 置所对应的数(如 x4 ? 4, x5 ? 5, x6 ? 4 ).则 x2012 ? 9、关于 x 的方程 x 2 ? 2 3x ? 1 ? k 有四个相异的实数根,则 k 的取值范围是 10、?ABC 中,?B ? 90? , AB ? 7, BC ? 24. ?ABC 内部有一点 P 到各边的距离相等,则 这个距离为 11、某中学派 41 名学生参加南充市中学生田径运动会,其中得金牌的 12 人,得银牌的 5 人,得铜牌的 8 人,同时得金、银牌的 2 人,同时得金、铜牌的 6 人,同时得银、铜

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牌的 3 人,同时得金、银、铜牌的 1 人,那么这所中学派出的学生中没有得奖牌的有 人. 12、已知直线 AB 的方程为: y ? kx ? m 经过点 A(a, a), B(b,8b)(a ? 0, b ? 0).当 b 是整 a 数时,满足条件的 k ? 13、 如图, 在梯形 ABCD 中,AD / / BC, AD ? 3, BC ? 9, AB ? 6, CD ? 4. 若 EF / / BC , 且 梯形 AEFD 与梯形 EBCF 的周长相等,则 EF 的长为 A . D

? 7
E B B . 题图) (13 F C

7
14、若 ? x ? 表示不超过实数 x 的最大整数,例如 ?3.1? ? 3, ??3.1? ? ?4 ,则方程:x2 ? ? x? ? 3 的 C . 解为

? 二、选择题(每小题 5 分,共 20 分, 下列各题只有一个正确的选项,请将正确选项的番
号填入答题卷的相应位置) D 15、当式子 x ?. ? x ? 2 ? x ? 3 ?? ? x ?1999 取得最小值时,实数 x 1 的值是( ) 5 A.1 16、计算 AB.999 C.1000 D.1999 +

1 1? 3 ? 2 4 3

?

1 1? 3 ? 2 4 3

2 4?2 3

?( )

A.1 17、已知

B.-1

C.2

D.-2 )

x 1 1 ? (0 ? x ? 1). 则 x ? 的值为( x ? x ?1 8 x
2

A. ? 7

B. 7

C. ? 5

D. 5

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18、如图,过 ?ABC 的顶点 A 分别作对边 BC 上的高 AD 和中线 AE , D 为垂足, E 为 BC 的中点,规定 ? A ?

DE , 特别地,当点 D 与 E 重合时,规定 ?A ? 0 .对 ?B 、 ?C 作类似 BE 1 2

的规定.给出下列结论: ①若 ?C ? 90? , ?A ? 30? , 则 ? A ? 1, ?C ? . ②若 ?A ? 1, 则 ?ABC 为直角三角形. ③若 ?A ? 1, 则 ?ABC 为钝角三角形;若 ?A ? 1, 则 ?ABC 为锐角三角形. ④若 ?A ? ?B ? ?C ? 0, 则 ?ABC 为等边三角形. 其中,正确结论的个数是( A.1 B.2 A . ) C.3 D.4

? 7
B . B E D 7 (18 题图) C . C

? 5
D .

5
A

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第Ⅱ卷(答题卷)
一、 填空题答案: (每小题 6 分,共 84 分) 2 . ________________ 3 . ______________________ 1 . _________________ 4.__________________ 7 . __________________ 10.__________________ 13.__________________

5.__________________ 6.______________________ 8 . _________________ 9 . ______________________

11.__________________ 12.______________________ 14.___________________

二、选择题答案: (每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 三、解答题(共 46 分) 19、 (10 分)如图,抛物线 y ? ax2 ? bx ? 3 与 x 轴交于 A、B 两点,与 y 轴交于点 C,且 15 16 17 18

1 OB ? OC ? 3OA. 直 线 y ? ? x ? 1 过 点 B 且 与 y 轴 交 于 点 D , E 为 抛 物 线 顶 点 . 若 3

?DBC ? ? , ?CBE ? ? , (1)求抛物线对应的方程; (2)求 ? ? ? 的值.
y

D A O x

B

C (19 题图) E

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20、 (10 分)已知: AB 是⊙O 的直径, C 是 AB 上一点, PC ? AB, 交⊙O 于 F , PDE 是割 线,交⊙O 于 D 、 E .求证: PC ? PD ? PE ? AC ? CB
2

P D

F

A

C

· O

B

(20 题图)



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21、 (12 分)若关于 x 的方程 求 k 的值.

2k x ? 1 kx ? 1 ? 2 ? 只有一个解(相等的解也算作一个) , x ? 2 x ? 2x x

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22、 (14 分)已知抛物线 y ? x2 ? 3x ? c 过两点 (m,0) 、(n,0) 且 m3 ? 3m2 ? (c ? 2)m ? 2n ? c ? 8, 抛物线与双曲线 y ?

k 的交点为 (1, d ) . x k x

(1)求抛物线与双曲线的解析式; ( 2 ) 已 知 点 P , P2 , , P2 0 1 2 在 双 曲 线 y ? ( x ? 0 ) 上 , 它 们 的 横 坐 标 分 别 为 都 ? 1

a, 2a,?, 2012a, O 为 坐 标 原 点 , 记 S1 ? S?PP2O , S2 ? S?PP3O , S3 ? S?PP4O ,?? 点 Q 在 双 曲 线 1 1 1
k y ? ( x ? 0 )上,过 Q 作 QM ? y 轴于 M ,记 S ? S?QMO . x S S S 求 S1 ? S2 ? ? ? S2011 ? ? ? ? ? 的值. 2 3 2012

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/ / / / / / / / / / / / / / /密/ / / / / / / / / / / / / / 封/ / / / / / / / / / / / / / 线/ / / / / / / / / / / / / / / /

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数学试卷答案
二、 填空题答案: 1. 3. 36 -4 2. 4. 6. 8. 10. 12. 14、 1 2012 171 506 3 9 或 15
5

5. ( x ? 2)( x ? 3)( x2 ? x ? 8) 7. 16 或 20 3 3 9. 0 ? k ? 2 11. 26 13. 39 5

二、选择题答案:

题号 答案

15 C

16 D

17 C

18 C

三、解答题、 19、 (1)解:易知, D(0,1), C (0, ?3), A(?1, 0), B(3, 0). 则 y ? a( x ? 1)( x ? 3) ? a ? 1. 从而抛物线对应的解析式为 y ? x2 ? 2x ? 3 (2)解:由(1)可知 E (1, ?4) 于是 BC ? 3 2, CE ? 2, BE ? 2 5.
? BC 2 ? CE 2 ? BE 2 ,??BCE为直角三角形.
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(4分)

CE 1 OD 1 故 tan ? ? CB ? 3 .又 tan ?DBO ? OB ? 3 , 则 ?DBO ? ? .

故? ? ? ? ? ? ?DBO ? ?OBC ? 45?.
20、证明: 延长PC交⊙O 于G,由割线定理,得

(10分)

PD ? PE=PF ? PG. 由相交弦定理,得AC ? CB=CF ? CG ? 直径AB ? FG, ? CF=CG ? AC ? CB=CF2 . ? PD ? PE=PF ? PG

=(PC-CF)(PC+CG)=(PC-CF)(PC+CF) =PC2 ? CF 2 ? PD ? PE ? AC ? CB ? PC 2 ? CF 2 ? CF 2 ? PC 2 .
即 PC ? PD ? PE ? AC ? CB
2

(10分)

21、解:原分式方程可化为

kx2 ? 2x ? 1 ? 0. x ? 0, x ? ?2) (
1 2

① (4 分) (8 分)

(1)当 k ? 0时,x ? ? 是分式方程的一个解. (2)当 k ? 0时,?=22 ? 4k ? 0时,k ? 1, x ? ?1是分式方程的一个解.

(3)当 k ? 0时,? ? 0时,方程 ①的两个根一个是分式方程的增根,另一个是分式方程的
2 根.当 x ? ?2 是分式方程的增根时,代人方程①得 k (?2) ? 2 ? (?2) ? 1 ? 0 ? k ? .此时, 方

3 4

程①的另一个根 x ? ? 是分式方程的一个解; 当 x ? 0 是分式方程的增根时,代人方程①得 k ? 0 ? 2 ? 0 ? 1 ? 0 不可能成立.
2

2 3

故 k的取值为0或1或 .

3 4

(12 分)

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22、解:依题意有

?m(m2 ? 3m ? c) ? 2(m ? n) ? c ? 8 ? 2 ?m ? 3m ? c ? 0 ?m ? n ? ?3 ?
? c ? ?2

?抛物线的解析式为y ? x2 ? 3x ? 2
因为抛物线与双曲线的交点为(1, d ), ?d ? 12 ? 3 ?1 ? 2, ?d ? 2 ? 于是 ? k ?? ?k ? 2 ?d ? ? 1
2 所以,双曲线的解析式为y= . x
(2)解:?点P、Pn ?1 (n ? 1, 2,? , 2011)都在双曲线y= (x>0)上, 1 且横坐标分别为 a(n ? 1)a, 所以,点P、Pn ?1的纵坐标分别为 、 , 1

(2 分)

(4 分)

2 x

2 2 a (n ? 1)a

过点 P作直线a1 / / x轴交y轴于A1, 过Pn?1作直线bn?1 / / y轴交x轴于Bn+1、交a1于Cn?1. 1 则 Sn ? SP1Pn?1O ? (n ? 1)a? ? a? ? (n ? 1)a? =n?

2 1 2 1 a 2 a 2

?2 2 1 2 ? ? ?(n ? 1)a ? a ? ? ? ? (n ? 1)a 2 ? a (n ? 1)a ?
(8 分)

n . n ?1

设 Q( x1 , y1 )( x1 ? 0) 则 y1 ? 于是 S ? S ?QMO ?

2 x1
(10 分)

1 x1 ? y1 ? 1 2

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S S S 故S1 ? S2 ? ? ? S2011 ? ? ? ? ? 2 3 2012 1 2 2011 1 1 1 ? (1 ? ) ? (2 ? ) ? ? ? (2011 ? ) ? ? ??? 2 3 2012 2 3 2012 ? 1 ? 2 ? ? ? 2011 ? 1? 2011 (1 ? 2011) ? 2011 ? ? 2011 2
? 2025077
(14 分)

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