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2014届贵阳一中高三(六)文数-答案


贵阳市第一中学 2014 届高考适应性月考卷(六) 文科数学参考答案
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 题号 答案 【解析】 1.由 (2 ? i) z ? 1 ? 2i , 得 z ?
2

1 D

2 B

3 A

/>
4 B

5 A

6 C

7 A

8 C

9 D

10 C

11 C

12 D

5 ? 2 ? i ,则 z 的虚部为 1. 2?i

? 2d ? 3a1 , 2.由 S3 ? a2 ? 5a1 ,得 a1 ? a2 ? a3 ? a2 ? 5a1 ,? 2a2 ? 5a1 ,又 ? ? a5 ? 7,
? a1 ? 4d ? a1 ? 6a1 ? 7a1 ? 7 ,? a1 ? 1 .
π? π? 2 5 ? ? 3.θ 在第三象限,且 tan ? q ? ? ? 2 ,? sin ? q ? ? ? ? , 4 4 5 ? ? ? ?

π? 2 10 ? ? sin q ? cos q ? 2 sin ? q ? ? ? ? . 4 5 ? ?

4 .由题意:平面 a 与平面 b 必相交,但不一定垂直,且交线垂直于直线 a,b.又 l ? a ,
l ? b ,? c∥l.

5.由题意知:ABDC 是边长为 1 的菱形.? AD ? AB ? AC ,? λ ? 1 .

1 1 1 1 1 6.① T ? , S ? , i ? 2 ;② T ? , S? ? , i ?3; 2 2 2?3 2 2?3
③T ?

1 1 1 1 17 17 ,S ? ? , i ? 4 ? 3 ,输出 S ? . ? ? 2 ? 3? 4 2 2 ? 3 2 ? 3 ? 4 24 24
x

?1? 7.由 ? ? log 2 x ? 1 ? 0 ? log 2 x ? 2 x ,作出图象可知有 1 个交点.? f ( x) 有 1 个零点. ?2?

8.如图 1,设点 C 到平面 BDC1 的距离为 h.由 VC1 ? BCD ? VC ? BDC1 ,
1 2 1 1 1 ? . 得 ? ?1 ?1 ? 2 ? S△BDC1 ? h ,? h ? S△BDC1 3 3 2 3

文科数学参考答案·第 1 页(共 8 页)

9 . 切 线 在 点 (2 , e?2) 处 的 斜 率 k ? ?e ?2 , 切 线 方 程 为 y ? e?2 ? ?e?2 ( x ? 2) , 令 x=0 , 得

1 9 y=3e?2.令 y=0,得 x=3,? S ? ? 3 ? 3e?2 ? e?2 . 2 2
10.如图 2,过球心 O 作平面 ABC 的垂线,则垂足为 BC 的中点 H.又
AH ? 1 1 2 5 1 7 BC ? 1 ? 22 ? , OH ? AA1 ? , ? 球 O 的半径 2 2 2 2 2

R2 ? OH 2 ? AH 2 ?

7 5 ? ? 3 ,? S球面 ? 4πR2 ? 12π . 4 4

11.由正弦定理

3 2 3 3 6 ? 得: cos A ? ,? sin A ? . sin A sin 2 A 3 3

12 . 由 题 意 知 点 P 在 第 一 象 限 . 设 P ( x, y ) , 则 y ?

2 1 ? x 2 , 由 PA2 的 斜 率 得 : 2

1≤

2 1? x 1? x y 2 1? x ≤ 2 ,即 2 ≤ ≤ 2 2 ,PA1 的斜率为 ? ,∴ PA1 的斜 2 1? x 1? x x ?1 2 1? x

?1 1? 率的取值范围为 ? , ? . ?4 2?

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 题号 答案 【解析】 13.由 y ? sin 2x ? 4 3sin 2 x ? sin 2x ? 2 3 cos2x ? 2 3 ? 13sin(2x ? φ) ? 2 3 , 13
13 ? 2 3

14

15 2

16
?1 ?4 , ? ? 1? ?

1 14

? 当 sin(2 x ? φ) ? 1时,y 有最大值 13 ? 2 3 .
14.从 8 个不同的正整数中任取两个,有 28 种取法.其中两数之和为 5 的有(1,4) , (2, 3)两种取法.? 所求概率 P ?

2 1 ? . 28 14

15.由 f ?( x) ? 2ax ? b , f ?(0) ? b ? 0 , f ( x) 与 x 轴恰有一个公共点,

文科数学参考答案·第 2 页(共 8 页)

b2 ? b ?1 f (1) a ? b ? 1 4 b 1 b 1 b ? ? ? ? ? 1≥ 2 ? ? 1 ? 2 . ?b2 ? 4a ? 0 ? a ? , f ?(0) b b 4 b 4 b 4
2

? a ? 2b ≥ 1, ? 16.不等式组 ? 2a ? b ≤ 1, 所表示的区域如图 3 阴影 ?a ≥ 0 ?

部分所示. f (a) ? k (a ? 1) 过定点 P(?1, 0) ,

1 ? k AP ≤ k ≤ kPB ,? ≤ k ≤1 . 4
三、解答题(共 70 分.解答应写出文字说明,证明 过程或演算步骤) 17. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由余弦定理: a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? (b ? c)2 ? 2bc(1 ? cos A) .………(2 分)

b ? c ? 4, a ? 6, cos A ?

15 1 ,? sin A ? , 4 4

5 ? 6 ? 16 ? 2bc ? ,解得:bc=4 , ……………………………………………………(4 分) 4
1 1 15 15 ? S△ABC ? bc sin A ? ? 4 ? ? . ……………………………………………(6 分) 2 2 4 2

?b ? c ? 4, (Ⅱ)由(Ⅰ)得 ? 解得:b=c=2 , ……………………………………(8 分) ?b ? c ? 4,

由余弦定理: cos B ?

a 2 ? c 2 ? b 2 ( 6)2 ? 22 ? 22 6 ? ? , 2ac 4 2? 6 ?2
2

……………………(10 分)

? 6? 1 . ………………………………………(12 分) ? cos 2B ? 2cos B ? 1 ? 2 ? ? ? 4 ? ? ?1 ? ? 4 ? ?
2

18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)证明:如图 4,连接 AC1,则 AC1 又 D 为 AB 的中点,连接 DO, A1C=O,则 O 为 AC1 的中点, ………(2 分)

文科数学参考答案·第 3 页(共 8 页)

则 DO∥BC1 , ………………………(4 分)
? DO ? 平面A1CD, 又? ? BC1 ? 平面A1CD,
? BC1 ∥平面 A1CD. …………………………………………………………………(6 分)

(Ⅱ)解:∵ABC?A1B1C1 是直三棱柱, ∴ AA1⊥CD, 又 AC=BC,D 为 AB 中点, ∴ CD⊥AB , AB
AA1 ? A ,∴ CD⊥平面 A1ABB1 ,

∴ CD⊥平面 A1DE, …………………………………………………………………(8 分) 由 AA1 ? 2 , AB ? 2 , AC ? BC ? 1 , 得 CD ?
2 , 2

? 3 2 1? 2 ? S△DEA1 ? S四边形AA1B1B ? (S△BDE ? S△ADA1 ? S△A1B1E ) ? 2 2 ? ? ? 2 ? 2 ? ?? 4 , 2? ? 2 ?
……………………………………………………………………………………(10 分)
1 1 3 2 2 1 ?VE ? A1CD ? VC ? DEA1 ? S△DEA1 ? CD ? ? ? ? . ……………………………(12 分) 3 3 4 2 4

19. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)设甲校高三年级学生总人数为 n,由题意得:

45 ? 0.03 ,解得 n=1500 , n

……………………………………………………………………………………(2 分) 甲校样本中不及格人数为 12 人,及格率为 1 ?

12 33 ? ? 0.73 . …………………(4 分) 45 45

答:甲校高三年级学生总人数为 1500 人,这次模拟考试甲校数学成绩的及格率约为 73%. …………………………………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)设甲、乙两校样本平均数分别为 x甲 ? ,由茎叶图可知: ? , x乙

45 ? ( x甲 ? ? x乙 ? ) ? 45x甲 ? ? 45x乙 ?

………………………………………………………(8 分)

=( 50+7?4 )+( 61+5?3)+( 5?5?70 )+( 6?13)+( 29?29)+( 32?37 )+(31?30)+ (3?3)+(3?8)?140= ?110, …………………………………………………(10 分)

文科数学参考答案·第 4 页(共 8 页)

? x甲 ? ? x乙 ? ?

?110 ? ?2.4 . 45

答: x甲 ? x乙 的估计值为?2.4 分. …………………………………………………(12 分) 20. (本小题满分 12 分)
?c 2 5 , ? ? 解: (Ⅰ)由题意: ? a 5 ?a ? c ? 5 ? 2, ?

解得: a ? 5, c ? 2 ,
? b2 ? a2 ? c2 ? 5 ? 4 ? 1 ,……………………………………………………………(2 分)

? 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . ……………………………………………………(4 分) 5

(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,椭圆右焦点 F(2,0), 由题意,直线倾斜角不为 0,设直线 l:x=my+2. 则圆心(2,2)到直线 l 的距离 d ?
2m m2 ? 1



? q ? 2 22 ?

4m2 4 ,………………………………………………………(6 分) ? 2 m ?1 m2 ? 1

? x ? my ? 2, ? 由 ? x2 2 ? ? y ? 1, ?5

得 (m2 ? 5) y 2 ? 4my ? 1 ? 0 ,

设 l 与椭圆的两个交点的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 则 y1 ? y2 ? ?

4m 1 , y1 ? y2 ? ? 2 , 2 m ?5 m ?5
2 5 m2 ? 1 2 5(m2 ? 1) ? ,……………………(8 分) m2 ? 5 m2 ? 5

? p ? 1 ? m2 ? y1 ? y2 ? 1 ? m2 ?

? pq ?

8 5 m2 ? 1 8 5 m2 ? 1 8 5 ? ? 2 2 m ?5 (m ? 1) ? 4 m2 ? 1 ?

4 m2 ? 1



8 5 ? 2 5 ,…………(10 分) 4

当且仅当 m2+1=4,即 m ? ? 3 时取等号,
文科数学参考答案·第 5 页(共 8 页)

? 当 m ? ? 3 时,pq 有最大值 2 5 .这时直线 l 的方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 .
…………………………………………………………………………………(12 分) 21. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)由题意, f (0) ? a ? ?2 , …………………………………………………(1 分)
f ?( x) ? ?e? x (2x ? a) ? 2e? x ? (a ? b) x ? b ,……………………………………………(2 分)
f ?(0) ? ?a ? 2 ? b ? 0 ,解得 b ? ?4 ,? a ? ?2, b ? ?4 . …………………………(4 分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知: f ( x) ? e? x (2 x ? 2) ? x2 ? 4 x ,
f ?( x) ? ?e? x (2 x ? 2) ? 2e? x ? 2 x ? 4 ……………………………………………………(6 分) ? e? x (4 ? 2 x) ? 2 x ? 4 ? (2 x ? 4)(1 ? e? x ) ,

令 f ?( x) ? 0 ,解得 x=2 或 x=0,………………………………………………………(8 分) x
f ?( x) f ( x) ( ??, 0)

0 0 极大值

(0,2) ?

2 0 极小值

(2, ? ?)

+

+

? f ( x) 在 ( ??, 0) , (2, ? ?) 上单调递增, 在(0,2)上单调递减.

……………(10 分)

? 当 x=0 时, f ( x) 有极大值?2 ,当 x=2 时, f ( x) 有极小值 2e ?2 ? 4 .…………(12 分)
22. (本小题满分 10 分) 【选修 4?1:几何证明选讲】 (Ⅰ)证明:如图 5,因为 BE 为 O 的切线,BD 为 O 的弦, 根据弦切角定理知 ?DBE ? ?DAB , …………………………………………………(2 分) 由 AD 为 ?BAC 的平分线知 ?DAB ? ?DAC , 又 ?DBC ? ?DAC ,所以 ?DBC ? ?DAB , 所以 ?DBE ? ?DBC .……………………………………(5 分) (Ⅱ)解:因为 AB 为 O 的直径,BE 为 O 的切线,

文科数学参考答案·第 6 页(共 8 页)

所以 ?ABE ? ?ACH ? 90? , 又 ?DAB ? ?DAC ,所以 △ AHC ∽ △AEB ,
?AHC ? ?BEH ,

又因为?AHC ? ?BHE,
??BHE ? ?BEH ,

?BH ? BE , …………………………………………………………………………(8 分)
又因为?HBD ? ?EBD,

? D为HE 的中点,

1 ? DE ? HE ? a . …………………………………………………………………(10 分) 2
23. (本小题满分 10 分) 【选修 4?4:坐标系与参数方程】 解: (Ⅰ)曲线 C 的极坐标方程是 r ? 4cos q ,
?r 2 ? 4r cos q, ? x2 ? y 2 ? 4x,

? 曲线 C 的极坐标方程化为普通方程是 x2 ? y 2 ? 4 x ? 0 .
直线 l 的参数方程相减得 x ? y ? m ,即 x ? y ? m ? 0 ,

? 直线 l 的参数方程化为普通方程是 x ? y ? m ? 0 . ………………………………(5 分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知:圆心的坐标为(2,0) ,圆的半径 R=2,
? 14 ? 2 ? 圆心到直线 l 的距离 d ? 2 ? ? ? 2 ? ? ? 2 , ? ?
2 2

?

2?0?m 2

?

2 ? 2 ? m ?1, 2

解得 m ? 1 或 m ? 3 .…………………………………………………………………(10 分) 24. (本小题满分 10 分) 【选修 4?5:不等式选讲】 解: (Ⅰ) 函数 f ( x) 和 g ( x) 的图象关于原点对称,
? g ( x) ? ? f (? x) ? ?( x2 ? 2 x) ,
文科数学参考答案·第 7 页(共 8 页)

即 g ( x) ? ? x 2 ? 2 x , x ? R .

? 原不等式可化为 2 x2 ? x ? 1 ≤ 0 .
? x ≤1, ? x ? 1, 也即 ? 2 ① 或? 2 ② ?2 x ? x ? 1 ≤ 0, ?2 x ? x ? 1 ≤ 0,

1 由①得 ?1 ≤ x ≤ ,而②无解, 2
1? ? ? 原不等式的解集为 ? ?1, ? . ………………………………………………………(5 分) 2? ?

(Ⅱ)由题意可知 c ≤ f ( x) ? g ( x) ? x ? 1 ? 2x2 ? x ? 1 恒成立, 即 c ≤ 2 x2 ? x ? 1 恒成立,
2 ? ?2 x ? x ? 1, x ≥1, 设 h( x) ? 2 x 2 ? x ? 1 ? ? 2 ? ?2 x ? x ? 1, x ? 1,

9 9 ? 1? ? h( x)min ? h ? ? ? ? ? ,? c ≤ ? . 8 8 ? 4? 9? ? 故实数 c 的取值范围为 ? ??, ? ? . ………………………………………………(10 分) 8? ?

文科数学参考答案·第 8 页(共 8 页)


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