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(新课标版)高中数学必修2第3章《直线与方程》单元测试题及答案


必修 2 第 3 章《直线的方程》单元测试题
一、选择题 1. 直线 l 经过原点和点 (?11) ,则它的倾斜角是( , A. )

3? 5 ? 5 ? B. ? C. 或 ? D. ? 4 4 4 4 4 2. 斜率为 2 的直线过(3,5) a ,7),(-1, b )三点,则 a , b 的值是( ,( A. a ? 4 , b ? 0 B

. a ? ?4 , b ? ?3 C. a ? 4 , b ? ?3 D. a ? ?4 , b ? 3



3. 设点 A(2, 3) , B(?3, 2) ,直线过 P(11) 且与线段 AB 相交,则 l 的斜率 k 的取值范围是 ? ? , ( )
3 A. k ≥ 或 k ≤ ?4 4 3 4
3 C. ? ≤ k ≤ 4 4

B. ?4 ≤ k ≤

D.以上都不对 )

4. 直线 (a ? 2) x ? (1 ? a) y ? 3 ? 0 与直线 (a ? 1) x ? (2a ? 3) y ? 2 ? 0 互相垂直,则 a ? ( A. ?1 B. 1 C. ?1 D. ?
3 2

2 5. 直线 l 过点 A ?1,? ,且不过第四象限,那么直线 l 的斜率的取值范围是( 2 A. ? 0,? 1? B. ? 0,



? 1? C. ?0, ? ? 2?

? 1? D. ? 0, ? ? 2?

6. 到两条直线 3x ? 4 y ? 5 ? 0 与 5x ? 12 y ? 13 ? 0 的距离相等的点 P( x,y ) 必定满足方程 ( A. x ? 4 y ? 4 ? 0 B. 7 x ? 4 y ? 0 D. 7 x ? 4 y ? 0 或 32 x ? 56 y ? 65 ? 0 )



C. x ? 4 y ? 4 ? 0 或 4 x ? 8 y ? 9 ? 0

7. 已知直线 3x ? 2 y ? 3 ? 0 和 6 x ? my ? 1 ? 0 互相平行,则它们之间的距离是( A. 4 B.
2 13 13

C.

5 13 26

D.

7 13 26

8. 已知等腰直角三角形 ABC 的斜边所在的直线是 3x ? y ? 2 ? 0 ,直角顶点是 C (3, 2) ,则两 ? 条直角边 AC , BC 的方程是( A. 3x ? y ? 5 ? 0 , x ? 2 y ? 7 ? 0 C. 2 x ? y ? 4 ? 0 , 2 x ? y ? 7 ? 0 ) B. 2 x ? y ? 4 ? 0 , x ? 2 y ? 7 ? 0 D. 3x ? 2 y ? 2 ? 0 , 2 x ? y ? 2 ? 0

9. 入射光线线在直线 l1 : 2 x ? y ? 3 ? 0 上,经过 x 轴反射到直线 l 2 上,再经过 y 轴反射到直线

l3 上,则直线 l3 的方程为(

) C. 2 x ? y ? 3 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0

A. x ? 2 y ? 3 ? 0

B. 2 x ? y ? 3 ? 0

?x ? y ? 5 ? 0 ? 10.已知 x,y 满足 ? x ? 3 ,且 z=2x+4y 的最小值为-6,则常数 k=( ?x ? y ? k ? 0 ?



A.2 二、填空题

B.9

C. 3

D.0

k 11. 已知三点 (2, 3) , (4, 及 (5, ) 在同一条直线上,则 k 的值是 ? 3) 2



1) 12. 在 y 轴 上 有 一 点 m , 它 与 点 ( ? 3, 连 成 的 直 线 的 倾 斜 角 为 120 , 则 点 m 的 坐 标 ?





13. 设点 P 在直线 x ? 3 y ? 0 上,且 P 到原点的距离与 P 到直线 x ? 3 y ? 2 ? 0 的距离相等,则 点 P 坐标是 .
1 则直线 l 的方程 x, 2

14. 直线 l 过直线 2 x ? y ? 4 ? 0 与 x ? 3 y ? 5 ? 0 的交点, 且垂直于直线 y ? 是 .
?x ? y ? 3 ? 0 ? 15.若 x,y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 ,设 y ? kx ,则 k 的取值范围是 ?3 x ? y ? 5 ? 0 ?



三、解答题 16. 已 知 ?ABC 中 , 点 A(1,2) , AB 边 和 AC 边 上 的 中 线 方 程 分 别 是 5x ? 3 y ? 3 ? 0 和
7 x ? 3 y ? 5 ? 0 ,求 BC 所在的直线方程的一般式。

17. 过点 p(3, 4) 的直线 l (1)求 l 在两个坐标轴上截距相等的方程。 (2)求 l 与 x,y 正半轴相交,交点分别是 A.B,当 ? AOB 面积最小时的方程。

18. 已知直线方程为 ( 2 ? m ) x ? (1 ? 2m ) y ? 4 ? 3m ? 0 . (1) 证明:直线恒过定点 M; (2) 若直线分别与 x 轴、y 轴的负半轴交于 A、B 两点,求△AOB 面积的最小值及此时直线的 方程.

19. 用解析法证明:等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和等于一腰上的高的长.

2 20. 已知直线 l1:mx ? 8 y ? n ? 0 ,直线 l2:x ? my ? 1 ? 0 , l1 ∥ l2 ,两平行直线间距离为 5 ,

而过点 A(m,n)(m ? 0,n ? 0) 的直线 l 被 l1 、 l 2 截得的线段长为 10 ,求直线 l 的方程.

?3 x ? 2 y ? 11 ? 21.已知 x,y 满足约束条件 ? y ? x ? 2 ,目标函数为 z ? 3x ? 5 y 。 ?x ? 5 y ? 3 ?

(1)使 z 取得最小值的最优解是否存在?若存在,请求出; (2)请你改动约束条件中的一个不等式,使目标函数只有最大值而无最小值。

必修 2 第 3 章《直线的方程》单元测试题 命题:十四中学 成先斌 ACACA 12 DDBBD
(0, 2) ?

3 1 3 1 1 [ ,2] 10 x ? 5 y ? 8 ? 0 ( , ) 或 (? , ) ? 5 5 5 5 2 16. 解析:设 C 点坐标为(a,b)因为点 C 在 AB 边的中线上,所以有 5a-3b-3=0 AC 的中点 1? a 2 ? b 1? a 2?b 坐标为 ( , ) ,又因为 AC 的中点在 AC 边的中线上,所以有 7 ? ? 3? ?5 ? 0 联 2 2 2 2

立解得 C(3,4)同理,可得 B(-1,-4)则 BC 的方程是: 2 x ? y ? 2 ? 0 17.解析: (1) 4x ? 3 y ? 0 或 x ? y ? 7 ? 0 (2)设 l 的斜率为 k,因分别与 x,y 正半轴相交,所以 k ? 0 则设 l : y ? 4 ? k ( x ? 3)
B(0,4 ? 3k )

则 A (3 ? ,0)
? S? AOB ? 1 ? OA ? OB 2

4 k

1 4 1 16 ? (3 ? ) ? (4 ? 3k ) ? (24 ? 9k ? ) 2 k 2 k
? 1? 16 ? 1 ? 16 ? ? 24 ? (?9k ) ? (? k ) ? ? 2 ? ? 24 ? 2 ? (?9k ) ? (? k ) ? 2? ? ? ?

? 24
k ?? 4 3

当且仅当 ?9k ? ?

16 4 时,则 k ? (舍)or k 3

故 l : 4x ? 3 y ? 24 ? 0

18.解析:(1) ( 2 ? m ) x ? (1 ? 2m ) y ? 4 ? 3m ? 0 可化为 ( x ? 2 y ? 3) m ? ?2x ? y ? 4 由?
?x ? 2 y ? 3 ? 0 ? x ? ?1 得? ??2 x ? y ? 4 ? 0 ? y ? ?2

∴ 直线必过定点 P(– 1,– 2)

(2) 设直线的斜率为 k,则其方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) 即: kx ? y ? k ? 2 ? 0
1 2 2 k

易得 A( ? 1 ,0) ,B(0,k – 2) ,显然 k < 0
1 2 4 k
1 2 4 k

2 k

∴ S?AOB ? | ? 1| ?| k ? 2 | ? ( 4 ? k ? ) ? ( 4 ? 2 (?k ) ?(? ) ) ? 4 ∴ (S?AOB )min ? 4 ,此时 ?k ? ? (k < 0) ,即 k ? ?2 19. 证明:建立如图所示坐标系,
A(a, , B(0,b) , C (?a, 0) (a ? 0,b ? 0) 0)
4 k

∴ 直线方程为 2x ? y ? 4 ? 0

y B E
F
C

P

O

x
A

则直线 AB 方程为 bx ? ay ? ab ? 0 ,直线 BC 的方程为 bx ? ay ? ab ? 0 . 设底边 AC 上任意一点为 P( x, , (?a ≤ x ≤ a) , 0) 则 P 到 AB 的距离为 PE ?
bx ? ab a 2 ? b2 ? ? b( a ? x ) a 2 ? b2



P 到 BC 的距离为 PF ?

bx ? ab a ?b
2 2

b( a ? x ) a 2 ? b2



A 到 BC 的距离为 h ?
b( a ? x ) a ?b
2 2

ba ? ab a ?b
2 2

?

2ab a 2 ? b2



∵ PE ? PF ?

?

b( a ? x ) a ?b
2 2

?

2ab a 2 ? b2

? h,

∴原结论成立.
20. 解:∵ l1 ∥ l2 ,∴m2 ?16 ? 0 得 m ? ?4 .

4 ∵ m ? 0 ,∴ m ? 4 .故 l1 : 4 x ? 8 y ? n ? 0 , l2:x ? 8 y ? 2 ? 0 .

又 l1 与 l 2 间距离为 5 ,∴

n?2 4 2 ? 82

? 5 ,解得 n ? 18 或 n ? ?22 (舍) .

1 故 A 点坐标为 (4, .再设 l 与 l1 的夹角为 ? ,斜率为 k , l1 斜率为 ? , 18) 2
1 k ? (? ) π 2 π 1 2 ,∴? ? , tan ? 1 ? ,解得 k ? 或 k ? ?3 . ∵ sin ? ? 1 2 4 4 3 1 ? (? )k 2

1 ∴直线 l 的方程为 y ? 18 ? ( x ? 4) 或 y ? 18 ? ?3( x ? 4) . 3

即 x ? 3 y ? 50 ? 0 或 3x ? y ? 30 ? 0 . 21.解: (1)存在。作出可行域如图中阴影部分。

y

3x ? 2 y ? 11 x? y?2?0

x ? 5y ? 3 ? 0

O P

x

3x ? 5 y ? 0

直线 z ? 3x ? 5 y 是一组与直线 3x ? 5 y ? 0 平行的直线,其中

z 3 z 是直线 ? ? x ? 在 y 轴上的截 5 5 5

13 ? ?x ? ? 4 ?y ? x ? 2 ? 距,当直线 z ? 3x ? 5 y 过 P 点时, z 取得最小值。解方程组 ? ,得 ? 。故其最 5 ?x ? 5 y ? 3 ?y ? ? ? 4 ? 13 ? ?x ? ? 4 ? 优解为 ? 。 ?y ? ? 5 ? 4 ?

(2)从上图中分析,只要使可行域不存在最低点即可,因此,我改动约束条件中的最后一个
?3 x ? 2 y ? 11 ? 不等式,使约束条件变为 ? y ? x ? 2 ,此时目标函数只有最大值而无最小值。 ?x ? 5 y ? 3 ?


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