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浙江省杭州二中2015届高三第二次月考数学(理)试题及答案

时间:2015-01-06


杭州二中 2015 届高三第二次月考

数学(理)试题
第 I 卷(共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的.
- x 1、若集合 M = { y | y = 2 } , P = { y | y =

x - 1} ,则 M

/>
P=
D.{ y | y ? 0}

A. { y | y ? 1}

B. { y | y ? 1}

C. { y | y ? 0} )

2、实数等比数列 ?a n ?中, a1 ? 0 ,则“ a1 ? a 4 ”是“ a3 ? a5 ” 的( A.充分而不必要条件 C.充要条件 B.必要而不充分条件

D.既不充分也不必要条件

3、已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 2 x ? 1 ,直线 l : y ? k ( x ? 1) ? 1 ,则与 C 的位置关系是 A.一定相离 C.相交且一定不过圆心 B..一定相切 D.相交且可能过圆心
3

4、 已知实数等比数列 ?a n ?公比为 q , 其前 n 项和为 Sn , 若 S3 、S9 、S6 成等差数列, 则 q 等于 ( A. ?



1 2

B.1

C. ?

1 或1 2

D. ?1或

1 2
( )

?y ? x ? 5、 已知 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 , 且 z ? 2x ?y 的最大值是最小值的 4 倍, 则 a 的值是 ?x ? a ?
A.

3 4

B.

1 4

C.

2 11


D. 4

6、等差数列 ?a n ?前 n 项和为 Sn ,已知 A.125 B.85

S25 S S ? 5, 45 ? 25 ,则 65 ? ( a23 a33 a43
D.35 )

C.45

7、若正数 a,b 满足 A.1 B.6

1 1 1 9 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为( a b a ?1 b ?1
C.9 D.16

1

8、已知 F1 , F2 分别是椭圆的左,右焦点,现以 F2 为圆心作一个圆恰好经过椭圆中心并且交椭圆于点

M , N ,若过 F1 的直线 MF1 是圆 F2 的切线,则椭圆的离心率为
A. 3 ? 1 B. 2 ? 3 C.

2 2

D.

3 2
( D.40 )

2 2 9、若等差数列 {an } 满足 a1 ? a10 ? 10 ,则 S ? a10 ? a11 ? ... ? a19 的最大值为

A.60

B.50

C. 45

10、已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数,在 (0, 2] 上是增函数,且 f ( x ? 4) ? ? f ( x) ,给出下列 结论: ①若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 4 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ;②若 0 ? x1 ? x2 ? 4 且 x1 ? x2 ? 5 ,则 ,则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ; ③若 方 程 f ( x) ? m 在 [?8,8] 内 恰 有 四 个 不 同 的 实 根 x1 , x2 , x3 , x4 或 8;④ 函数 f ( x ) 在 [?8,8] 内至少有 5 个零点,至多有 13 个零点 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ?8? 其中结论正确的有( A.1 个 ) B.2 个 C.3 个 第 II 卷(共 100 分) 二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11、如图为了测量 A , C 两点间的距离,选取同一平面上 B , D 两点,测出四边形 ABCD 各边的长 度(单位: km ) :AB=5,BC=8,CD=3,DA=5, 如图所示,且 A 、 B 、 C 、 D 四点共圆,则 AC 的长为 _________ km . 12、在△ ABC 中, A ? D.4 个

?
6

,D 是 BC 边上任意一点(D 与 B、C 不重合) , .

且 | AB |2 ?| AD |2 ? BD ? DC ,则角 B 等于 13、函数 f ( x) ? ?

?x ?1 ?log 2 x

x?0 x?0

,则函数 y ? f [ f ( x)] ? 1 的所有零点所

构成的集合为________. 14、已知正三棱柱 ABC - A1B1C1 体积为 平面 A1B1C1 所成角的大小为

9 ,底面是边长为 3 .若 P 为底面 ABC 的中心,则 PA1 与 4

2

15、已知 sin ? ,cos ? 是关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 0 的两个根,则
2

1 + cos 2a - sin 2a 1- sin 2a - cos 2a + = 1- sin 2a - cos 2a 1 + cos 2a - sin 2a
16、已知 O 是 ?ABC 外心,若 AO ? 17 、已知函数 f ( x) ?



2 1 AB ? AC ,则 cos ?BAC ? 5 5



a ? x ,对 ?x ? (0,1),有 f ( x) ? f (1? x ) ? 1恒成立,则实数 a 的取值范围 x

为 . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答请写在答卷纸上,应写出文字说明,证明过程或演算 步骤. 18、在 ?ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,已知 b cos C ? 3b sin C ? a ? c ? 0 . (Ⅰ )求 B ; (Ⅱ )若 b ? 3 ,求 2a + c 的取值范围.

19、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, BC ? 平面 PAB .已知 PA ? AB ,点 D , E 分别为 PB , BC 的 中点. (Ⅰ )求证: AD ? 平面 PBC ; (Ⅱ )若 F 在线段 AC 上,满足 AD // 平面 PEF ,求

AF 的值. FC

P

D A F E
3

C

B

20、已知数列 ?an ? 的首项为 a(a ? 0) ,前 n 项和为 Sn ,且有 Sn?1 ? tSn ? a(t ? 0) , bn ? Sn ? 1 . (Ⅰ )求数列 ?an ? 的通项公式;
* (Ⅱ )当 t ? 1 时,若对任意 n ? N ,都有 bn ? b5 ,求 a 的取值范围;

(Ⅲ )当 t ? 1 时,若 cn ? 2 ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求能够使数列 ?cn ? 为等比数列的所有数对 (a, t ) .

21、如图,已知圆 G:x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 ,经过椭圆 点 B,过圆外一点 (m,0)(m ? a) 倾斜角为

5? 的直线 l 交椭圆于 C,D 两点, 6
C

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的右焦点 F 及上顶 a2 b2
y

(Ⅰ )求椭圆的方程; (Ⅱ )若右焦点 F 在以线段 CD 为直径的圆 E 的外部,求 m 的取值 范围.

B O D F x

4

22、已知函数 f ( x) ? x2 ? 1, g ( x) ? a | x ? 1| . (Ⅰ )若当 x ? R 时,不等式 f ( x) ≥ g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ )求函数 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) 在区间 [?2, 2] 上的最大值.

5

参考答案
一、选择题 1-10 CACAB CBABC 12、

二、填空题 11、7;

5? ; 12
17、 a ? ?

13、 ??3, ? , , 2 ? ;

? ?

1 1 2 4

? ?

14、

? ; 3

15、 2 ? 1 ; 三、解答题

16、

6 4

1 或a ?1 4

18、解: (1)由正弦定理知: sin B cos C ? 3sin B sin C ? sin A ? sin C ? 0

sin A ? sin( B ? C ) ? sin A cos C ? cos A sin C 代入上式
得: 3sin B sin C ? cos B sin C ? sin C ? 0
sin C ? 0 ,? 3sin B ? cos B ? 1 ? 0 .即 sin( B ?

?

1 ? ) ? , B ? (0, ? ) ,? B ? 6 2 3

(2)由(1)得: 2R ?

b ?2 sin B 2? ? A)] ? 5sin A ? 3 cos A ? 2 7 sin( A ? ? ) 3

?2a ? c ? 2R(2sin A ? sin C) ? 2[2sin A ? sin( A ? (0,

2? ) ,?2a ? c ? 2 7 sin( A ? ? ) ? ( 3,2 7] 3

? BC ? AD 19、 (1)证明: BC ? 平面 PAB PA ? AB ,D 为 PB 中点 ? AD ? PB , PB ? BC ? B ,? AD ? 平面 PBC (2)连接 DC 交 PE 于 G,连接 FG AD / / 平面 PEF,平面 ADC ? 平面 PEF=FG ? AD / / FG ,又 G 为 ?PBC 重心,?

AF DG 1 ? ? FC GC 2

20、解: (1)当 n ? 1 时,由 S2 ? tS1 ? a 解得 a2 ? at 当 n ? 2 时, Sn ? tSn ?1 ? a ,

?(Sn?1 ? Sn ) ? t (Sn ? Sn?1 ) ,即 an ?1 ? tan
又 a1 ? a ? 0 ,综上有

an ?1 ? t (n ? N *) ,即 {an } 是首项为 a ,公比为 t 的等比数列,? an ? at n ?1 an

(2)当 t ? 1 时, Sn ? an, bn ? an ? 1 ,

6

当 a ? 0 时, {bn } 单调递增,且 bn ? 0 ,不合题意; 当 a ? 0 时, {bn } 单调递减,由题意知: b4 ? 0, b6 ? 0 ,且 ? 解得 ? ? a ? ?

?b4 ?| b5 | ??b6 ?| b5 |

2 9

2 , 11

综上 a 的取值范围为 [? , ?

2 9

2 ] 11

(3) t ? 1 ,? bn ? 1 ?

a ? at n 1? t

? cn ? 2 ? (1 ?

a a a at (1 ? t n ) )n ? (t ? t 2 ? ... ? t n ) ? 2 ? (1 ? )n ? t ?1 1? t t ?1 (1 ? t )2

?2?

at a at n ?1 ? (1 ? ) n ? (1 ? t ) 2 t ?1 (1 ? t ) 2

at ? 2? ?0 ? ?a ? 1 ? (1 ? t ) 2 由题设知 ?cn ? 为等比数列,所以有, ? ,解得 ? ,即满足条件的数对是 (1, 2) . t ? 2 1 ? t ? a ? ? ?0 ? ? 1? t
(或通过 ?cn ? 的前 3 项成等比数列先求出数对 (a, t ) ,再进行证明) 21、解:(Ⅰ )∵ 圆 G: x 2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 经过点 F、B.∴ F(2,0) ,B(0, 2 ) ,

x2 y2 ? ? 1. ∴c ? 2 , b ? 2 . ∴a ? 6 .故椭圆的方程为 6 2
2

(Ⅱ )设直线 l 的方程为 y ? ?

3 ( x ? m)(m ? 6 ) . 3

? x2 y2 ? ?1 ? ?6 2 2 2 由? 消去 y 得 2x ? 2mx ? (m ? 6) ? 0 . ? y ? ? 3 ( x ? m) ? 3 ?
m2 ? 6 设 C ( x1 , y1 ) , D( x2 , y 2 ) ,则 x1 ? x2 ? m , x1 x 2 ? , 2
∴ y1 y 2 ? [?

3 3 1 m m2 . ( x1 ? m)] ? [? ( x2 ? m)] ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 3 3 3 3 3
7

∵FC ? ( x1 ? 2, y1 ) , FD ? ( x2 ? 2, y2 ) , ∴FC ? FD = ( x1 ? 2)(x2 ? 2) ? y1 y 2 ? =

4 (m ? 6) m2 x1 x2 ? ( x1 x2 ) ? ?4 3 3 3
∴FC ? FD ? 0 ,

2m( m ? 3) . ∵ 点 F 在圆 G 的外部, 3 2m( m ? 3) ? 0 ,解得 m ? 0 或 m ? 3 . 即 3

由△ = 4m 2 ? 8(m 2 ? 6) ? 0 ,解得 ? 2 3 ? m ? 2 3 .又 m ? 6 , 6 ? m ? 2 3 .

∴3 ? m ? 2 3 . 22、解: (1)不等式 f ( x) ≥ g ( x) 对 x ? R 恒成立,即 ( x2 ? 1) ≥ a | x ? 1| (*)对 x ? R 恒成立, ① 当 x ? 1 时, (*)显然成立,此时 a ? R ; ② 当 x ? 1 时, (*)可变形为 a ?

x2 ? 1 x 2 ? 1 ? x ? 1, ( x ? 1), ,令 ? ( x) ? ?? | x ? 1| | x ? 1| ??( x ? 1), ( x ? 1).

因为当 x ? 1 时, ? ( x) ? 2 ,当 x ? 1 时, ? ( x) ? ?2 ,所以 ? ( x) ? ?2 ,故此时 a ≤ ?2 . 综合① ② ,得所求实数 a 的取值范围是 a ≤ ?2 .

? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ≥1), ? (2)因为 h( x) ?| f ( x) | ? g ( x) ?| x2 ? 1| ?a | x ? 1| = ?? x 2 ? ax ? a ? 1, (?1≤ x ? 1), …10 分 ? x 2 ? ax ? a ? 1, ( x ? ?1). ?
① 当

a ? 1, 即a ? 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 a 2

且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 ,经比较,此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 3a ? 3 . ② 当 0 ≤ ≤1, 即0 ≤ a ≤ 2 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a 2 a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 3a ? 3 .

③ 当 ?1≤ ? 0,即- 2 ≤ a ? 0 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2, ?1] , [? ,1] 上递减,

a 2

a 2

a a2 a ? a ?1, 在 [?1, ? ] , [1, 2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3, h(2) ? a ? 3 , h( ? ) ? 2 4 2
8

经比较,知此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 a ? 3 . ④ 当? ≤

3 a a a ? ?1, 即- 3 ≤ a ? ?2 时,结合图形可知 h( x) 在 [?2, ] , [1, ? ] 上递减, 2 2 2 2 a a 在 [ ,1] , [? ,2] 上递增,且 h(?2) ? 3a ? 3 ? 0 , h(2) ? a ? 3≥ 0 , 2 2
经比较,知此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 a ? 3 . 当

a 3 ? ? , 即a ? ?3 时,结合图形可知 h( x) 在 [ ?2,1] 上递减,在 [1, 2] 上递增, 2 2

故此时 h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 h(1) ? 0 . 综上所述,当 a ≥ 0 时, h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 3a ? 3 ; 当 ?3 ≤ a ? 0 时, h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 a ? 3 ; 当 a ? ?3 时, h( x) 在 [?2,2] 上的最大值为 0.

9


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