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绝对值不等式讲义


【知识点梳理】 一、绝对值的相关概念与性质: 绝对值的几何意义: 一个数 a 的绝对值就是数轴上表示数 a 的点与原点的距离.数 a 的绝对值 记作 a . 绝对值的代数意义:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0 的绝 对值是 0. 注意:① 取绝对值也是一种运算,运算符号是“ ”,求一个数的绝对值,就是根据性质去掉 绝对值符号. ② 绝对值的性质: 一个正

数的绝对值是它本身; 一个负数的绝对值是它的相反数;0 的 绝对值是 0 . ③ 绝对值具有非负性,取绝对值的结果总是正数或 0. ④ 任何一个有理数都是由两部分组成:符号和它的绝对值,如: ?5 符号是负号,绝 对值是 5 . 求字母 a 的绝对值: ? a (a ? 0) ?a(a ? 0) ?a(a ? 0) ? ① a ? ?0(a ? 0) ②a ? ? ③a ? ? ??a(a ? 0) ??a(a ? 0) ? ? a (a ? 0) ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小:两个负数,绝对值大的反而小. 绝对值非负性:如果若干个非负数的和为 0,那么这若干个非负数都必为 0. 例如:若 a ? b ? c ? 0 ,则 a ? 0 , b ? 0 , c ? 0 绝对值的其它重要性质: (1) 任何一个数的绝对值都不小于这个数, 也不小于这个数的相反数, 即 a ?a, 且 a ? ?a ; (2)若 a ? b ,则 a ? b 或 a ? ?b ; (3) ab ? a ? b ;
a a (b ? 0) ; ? b b

(4) | a |2 ?| a 2 |? a 2 ; (5) a ? b ? a ? b ? a ? b , 对于 a ? b ? a ? b ,等号当且仅当 a 、 b 同号或 a 、 b 中至少有一个 0 时,等号成立; 对于 a ? b ? a ? b ,等号当且仅当 a 、b 异号或 a 、 b 中至少有一个 0 时,等号成立. (5).对一切实数 x ,都有 ? | x |? x ?| x | . (6) :| a1 ? a2 ? a3 | ≤ | a1 | ? | a2 | ? | a3 | ;| a1 ? a2 ? ? ? an | ≤ | a1 | ? | a2 | ??? | an | . (7) : | a | ? | b |?| a ? b |?| a | ? | b | . 加强: | a | ? | b | ?| a ? b |?| a | ? | b | . 绝对值几何意义 当 x ? a 时, x ? a ? 0 ,此时 a 是 x ? a 的零点值. 零点分段讨论的一般步骤: 找零点、分区间、定符号、去绝对值符号.即先令各绝对值式子为零,求得若干个绝对值为 零的点,在数轴上把这些点标出来,这些点把数轴分成若干部分,再在各部分内化简求值. a 的几何意义:在数轴上,表示这个数的点离开原点的距离.

a ? b 的几何意义:在数轴上,表示数 a 、 b 对应数轴上两点间的距离.

二、含绝对值方程(不等式、代数式)的化简 三、绝对值方程的解法 四、含绝对值的恒成立问题 五、含绝对值的参数范围求解问题 六、含绝对值的求值问题 七、含绝对值的最值问题 八、绝对值不等式的解法 1、同解原理 2、平方法 3、图像法 4、数形结合法 5、零点分段讨论法 九、绝对值不等式的证明方法 1.

| x |? a ? ?a ? x ? a ; | x |? a ? x ? a或x ? ?a

a ? 0 时, | f ( x) |? a ? f ( x) ? a 或f ( x) ? ?a ; | f ( x) |? a ? ?a ? f ( x) ? a ;
2.利用三角不等式、加糖不等式或其他基本不等式 3.反客为主 4.分段讨论

【典型例题】 1:解不等式: ⑴ |4x-3|<2x+1 ;



|3-4x|>2x+1 。

(3) 3 ? 2 x ? 5 x ? 4 .

(4) x ? 1 ? x ? 3 ? 6.

2. (1)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 恒成立,则 a 的取值范围是________; (2)对任意实数 x , | x ? 1| ? | x ? 3|? a 恒成立,则 a 的取值范围是________; 3、若不等式|x-4|+|x-3|>a 对于一切实数 x 恒成立,求 a 的取值范围

4、若不等式|x-4|-|x-3|<a 的解集在 R 上不是空集,求 a 的取值范围

5、若不等式|x-4|-|x-3|>a 在 R 上恒成立,求 a 的取值范围

6、已知 2a ? 4 ? b ? 5 ? 3c ? 1 ? 0 ,求 a 、 b 、 c 的值.

7、若 x ? 2

2001 ,则 | x | ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ? | x ? 3 | ? | x ? 4 | ? | x ? 5 |? 2002



8.已知 | x |?

?
3

, | y |?

?
6

, | z |?

?
9

,求证: | x ? 2 y ? 3z |? ? .

9.设 a, b, c, d 都是不等于 0 的实数,求证: |

a b c d | ? | | ? | | ? | |? 4 . b c d a

10、 已知 f ( x) ? x 2 ? x ? 13 , x ? a ? 1 ,求证: f ( x) ? f (a) ? 2( a ? 1)

11、设二次函数 f ( x) ? ax 2 ? bx ? c ( a ? 0 ,且 b ? 0 ),已知 b ? a , f (0) ? 1 , f (?1) ? 1,

f (1) ? 1 ,当 x ? 1 时,证明 f ( x) ?

5 . 4

12、已知 0 ? x ? 1 , 0 ? a ? 1 ,试比较 | log a (1 ? x) | 和 | log a (1 ? x) | 的大小.

13、求证:

|a?b| |a| |b| ? ? . 1? | a ? b | 1? | a | 1? | b |

2 14、设二次函数 f ( x) ? ax ? bx ? c 对一切 x ?[?1,1] ,都有 | f ( x) |? 1 ,

求证: (1) | a ? c |? 1; (2)对一切 x ?[?1,1] ,都有 | 2ax ? b |? 4 .


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