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复数的四则运算 课件(苏教版选修2-2)


第3章 数系的扩充与复数的引入 3.2 复数的四则运算

1、复数的定义:形如a+bi(a,b∈R)的数叫做复数.

z ? a ? bi , a ? R, b ? R
实部 虚部

2、复数的分类

?实 数b ? 0 ? a ? 0,b ? 0 复数a+bi ? ?纯 虚 数 ? 虚

数b ? 0?非 纯 虚 数 a ? 0,b ? 0 ? ?

3、复数相等

若a, b, c, d ? R,

?a ? c ? ?b ? d a ? bi ? c ? di ?

思考

问题一 1.化简:

(2 ? 3x) ? (?1 ? x) 2.类比:你能计算 (2 ? 3i) ? (?1 ? i) 式子吗?
3.猜想归纳:

设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 是任意两个复数,则

z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i
---------复数的加法运算法则

复数的加法运算法则
设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 是任意两个复数,则

z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i
说明: (1)两个复数的和是一个确定的复数; (2)实数的加法交换律、结合律在复数集C中仍然成立;

类比实数集中减法的意义,我们规定复数的减法是加法的逆运算.
把满足 ( x ? yi) ? (c ? di) ? a ? bi 的复数

x ? yi 叫做复数

a ? bi 减去复数 c ? di 的差,记作: (a ? bi) ? (c ? di)

若 ( x ? yi) ? (c ? di) ? a ? bi ,根据复数相等的定义,求 x ? yi 解:依题意 ( x ? c) ? ( y ? d )i ? a ? bi 根据复数相等的定义有 x ? c ? a, y ? d ? b x ? a ? c, y ? b ? d 于是 所以 x ? yi ? (a ? c) ? (b ? d )i

动动手

复数的减法运算法则 设 z1 ? a ? bi, z2 ? c ? di(a, b, c, d ? R) 是任意两个复数,则

z1 ? z2 ? (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i

复数的加减法运算法则

(a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i
基础训练

例1:计算

(1 ? 5i) ? (?2 ? 3i) ? (2 ? 5i)
5 ? 3i
? ? 2n ? 1 ? 2 n ?1 i ?

拓展训练 例2:计算

?1 ? i ? ? ? 3 ? 2i ? ? ? 5 ? 4i ? ?

解:原式 ? ?1 ? 3 ? ... ? 2n ? 1? ? (1 ? 2 ? 4 ? ... ? 2n?1 )i

n ? (1 ? 2n ? 1) 1? (1 ? 2 n ) ? ? i 2 1? 2 ? n 2 ? (2 n ? 1)i

思考

问题二: 多项式 (2 ? 3x)(?1 ? x) 是怎样进行运算的?

你可以类比到 (2 ? 3i)(?1 ? i) 可以怎样进行运算吗?

复数乘法的法则
复数的乘法与多项式的乘法是类似的,但必须在所得的结 果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.即: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ac ? bci ? adi ? bdi 2 ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i
说明:复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律.

即对任何z1,z2,z3都有: z1 z2 ? z2 z1

? z1 z2 ? z3 ? z1 ? z2 z3 ?

z1 ? z2 ? z3 ? ? z1 z2 ? z1 z3

例3:计算

?1?

(1 ? 2i)(3 ? 4i)(?2 ? i)

?20 ? 15i

思考 ? 2 ? ? a ? bi ?? a ? bi ? 问题三: 你可以发现

a ?b
2

2

a ? bi, a ? bi

这两个复数有什么特点?

共轭复数定义: 实部相等,虚部互为相反数的两个复数互为共轭复数. 复数 z=a+bi, a,b ? R 的共轭复数记作
z ? z, 说明(1)当b=0时,

z, 即 z ? a ? bi

即实数的共轭复数是它本身

2 __ z? ?z z? ?__ 2a; z ? z ? 2 bi; z ? z ? a __ ? b2 ; (2)共轭复数的简单性质:z

练习 1:(2010广州一模)复数?3i ?1? i的共轭复数是______
_

?3 ? i

例4:已知复数z满足:z ? z ? 2i ? z ? 4 ? 2i,求复数z
解:设z ? a ? bi (a, b ? R), 则z ? a ? bi 由题意可得: ? a ? bi ?? a ? bi ? ? 2i ? a ? bi ? ? 4 ? 2i a 2 ? b 2 ? 2b ? 2ai ? 4 ? 2i ?a 2 ? b 2 ? 2b ? 4 ? ? 2a ? 2 ?a ? 1 ?a ? 1 可解得: 或? ? ?b ? 3 ?b ? ?1 故z ? 1 ? 3i或z ? 1 ? i

实数集R中正整数指数幂的运算律,在复 数集C中仍然成立.即对任意的z,z1,z2∈C及 m,n∈N*,有:

z z ?z
m n m n n

m?n mn

,
n

(z ) ? z

,
n

(z1 z 2 ) ? z 1 z 2

【探究】

i 的指数变化规律 1 2 3 4 i ? i , i ? ?1 , i ? ?i , i ? 1
6 7 8

i , i ? __ i ? __ __ __ i , i ?? 1 , i ?? 1
5

你能发现规律吗?有怎样的规律?

i

4n

? 1,

i

4 n ?1

? i ,

i

4n?2

?

?1 ,
4 n? 2

i

4 n ?3

? ?i

i ?i
4n

4 n ?1

?i

?i

4 n? 3

? 0, (n ? N *)

【例5】 计算

-2i 2i (1-i)2= ___; (1+i)2= ___;
1? i 1? i i -i ? ____; ? ____; 1? i 1? i

1 ? i 2010 -1 ( ) ? ______ . 1? i

练习2:求值: i ? i

2

? i ? ?? ? i
3
2 3 4

2010

解:原式 ? (i ? i ? i ? i ) ? (i ? i ? i ? i ) ? ... ?
5 6 7 8

(i

2005

?i
1

2006 2

?i

2007

?i

2008

) ?i

2009

?i

2010

? 0 ? i ? i ? ?1 ? i

1 3 i , 求证: 【例6】设 ? ? ? ? 2 2 3 2 ⑴ 1 ? ? ? ? ? 0; (2) ? ? 1.
1 3 2 1 3 3 1 3 证明: (1) ?? ? ( ? ? i) ? ? i? ?? ? i 2 2 4 2 4 2 2 1 3 1 3 2 ?1 ? ? ? ? ? 1 ? (? ? i ) ? (? ? i) ? 0 2 2 2 2
2

3 2 ? ? ? 1 ? ( ? ? 1 )( ? ? ? ? 1) (2)

由( 1 )可知, ?2 ?? ?1 ? 0 ?? 3 ? 1

思考:
如果把例4中的 ? 换成 ? ,那么欲证的两个等 3 x 式还成立吗?在复数范围内,你能写出方程 ? 1 的3个根吗?
答:成立,方程的3个根分别是: 1、?、 ?

在实数中,除法运算是乘法的逆运算, 类似地,可以定义复数的除法运算:

定义: 把满足(c+di)(x+yi) =a+bi (c+di≠0) 的 复 数 x+yi 叫做复数 a+bi 除以复数 c+di 的商, (其中a,b,c,d,x,y都是实数)

a ? bi . 记为 (a ? bi ) ? (c ? di )或 c ? di

复数的除法法则
一般地,我们有:

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 c ? di (c ? di )(c ? di ) c ? d c ?d
2 2 由于 c ? di ? 0, 所以 c ? d ? 0 ,可见,两个复数 的商仍是一个复数。

分子分母同乘以分母的共轭复数, 即把分母 “实数化”。

【例7】.计算 (1 ? 2i ) ? (3 ? 4i )

1 ? 2i 解: (1 ? 2i ) ? ( 3 ? 4i ) ? 3 ? 4i (1 ? 2i)(3 ? 4i) ? (3 ? 4i)(3 ? 4i)

3 ? 8 ? 6 i ? 4 i ? 5 ? 10 i ? ? 2 2 3 ?4 25

1 2 ?? ? i 5 5

常用结论:
2 ( 1 ? i ) ? ? 2i; (1) 1? i 1 ? i; ? ? i; (2) 1? i i

1? i ?? 1? i

i.

1 3 2 3 i , 则1 ? ? ? ? ? 0;? ? 1 (3) ? ? ? ? 2 2 a ? bi (a ? bi)i (a ? bi)i (4) ? ? ?i b ? ai (b ? ai)i a ? bi

2 50 ? 2 3 ? i 2 ? 2i 8 计算: i ? ( 2 ? 2i ) ? ( ) ? ( )?( ) 1? i 1 ? 2 3i 1 ? 3i
2007 8

练习3

解:原式=

i 4?501 ? 3

? ? ? ? 2 2 2 25 2 3i ? i ? 1 ? i ? 2 4 ? [2 (1 ? i ) ] ? [( )] ? ? ?1 1?i 1 ? 2 3i 3 ? ? ? i? 2 ? ?2

8

25 4 2 ( 2 i ) ? i 3 ? (4i )4 ? ?i ? 25 (?2i ) (?? )8

? ?i ? 256 ?

1

i 25

24(?? ) 1 1 3 4 ?i ? ? 256 ? ? 2 (? ? i) 9 i 2 2 (?? )

? 256 ? i ? 8 ? 8 3i ? 248 ? (8 3 ? 1) i

1、除法运算法则

a ? bi (a ? bi )(c ? di ) ac ? bd bc ? ad ? ? 2 ? 2 i 2 2 c ? di (c ? di )(c ? di ) c ? d c ?d
本质:分母实数化 2、i的乘方

i

4n

?1 , i

4 n ?1

? i , i

4n?2

?

?1 , i 4 n ?3 ?

?i

3、常用结论:
2 ( 1 ? i ) ? ? 2i; (1) 1? i 1 ? i; ? ? i; (2) 1? i i

1? i ?? 1? i

i.

1 3 2 3 i , 则1 ? ? ? ? ? 0;? ? 1 (3) ? ? ? ? 2 2 a ? bi (a ? bi)i (a ? bi)i (4) ? ? ?i b ? ai (b ? ai)i a ? bi

在复数范围内解实系数方程

规律:?Next page

在复数范围内 元二次方程根 数的关系:韦 理还是成立的

在复数范围内解 一元方程

万能的方法:待定系数法求解方程。


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