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三角函数


反正弦函数

1定义 2反正弦恒等式 3函数图像 4证明
? ? 4.1 单调性 4.2 奇偶性



5应用

1定义
函数 y=sinx,x∈[-π /2,π /2]的反函数叫做反正弦函数,记作 x=arcsiny. 习惯上用 x 表示自变量,用 y 表示函数,所以反正弦函

数写成 y=arcsinx.的形式 请注意正弦函数 y=sinx,x∈R 因为在整个定义域上没有一一对应关系,所以不存在 反函数。 反正弦函数只对这样一个函数 y=sinx,x∈[-π /2,π /2]成立,这里截取的是正弦函数 靠近原点的一个单调区间,叫做正弦函数的主值区间。 理解 函数 y=arcsinx 中,y 表示的是一个弧度制的角,自变量 x 是一个正弦值。这点 必须牢记 性质 根据反函数的性质,易得函数 y=arcsinx 的 定义域[-1,1]

arcsin 图像

值域[-π /2,π /2] 是单调递增函数 图像关于原点对称,是奇函数 所以有 arcsin(-x)=-arcsinx,注意 x 的取值范围:x∈[-1,1] 导函数:

,导函数不能取|x|=1



2反正弦恒等式
sin(arcsinx)=x,x∈[-1,1]

(arcsinx)'=1/√(1-x^2) arcsinx=-arcsin(-x) arcsin(sinx)=x ,x 属于[0,π /2]

3函数图像
我们知道这个结论函数 f(x)的图像和它的反函数的图像关于直线 y=x 对称”, 先画出函数 y=sinx 在[-π /2,π /2]上的图像,用平板玻璃或透明纸画好图像,翻转 过来。

4证明

单调性
在 x,y∈[-π /2,π /2]x<y 时: sinx-siny=2sin[(x-y)/2]cos[(x+y)/2] ∵2sin[(x-y)/2]∈[-π ,0]<>0 cos[(x+y)/2]∈[-π ,0]><0 ∴sinx-siny<0,sinx<siny. ∴在-1<x<y<1时,arcsinx<arcsiny ∴是增函数

奇偶性
∵y=sinx,y=x 都是奇函数,∴y=arcsina 也是奇函数

5应用
临界角是最少的入射角使得全内反射发生。入射角是由折射界面的法线量度。


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