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高中数学必修4知识点总结[1]


高中数学必修 4 知识点
?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1、任意角 ? 负角:按顺时针方向旋转形成的角 ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
2、角 α 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终边落在第几象限,则称 α 为第几 象限角.

{ } 第二象限角的集合为 {α k ? 360 + 90 < k ? 360

+180 , k ∈ Ζ} 第三象限角的集合为 {α k ? 360 + 180 < α < k ? 360 + 270 , k ∈ Ζ} 第四象限角的集合为 {α k ? 360 + 270 < α < k ? 360 + 360 , k ∈ Ζ} 终边在 x 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 , k ∈ Ζ} 终边在 y 轴上的角的集合为 {α α = k ?180 + 90 , k ∈ Ζ} 终边在坐标轴上的角的集合为 {α α = k ? 90 , k ∈ Ζ} 3、与角 α 终边相同的角的集合为 { β β = k ? 360 + α , k ∈ Ζ}
第一象限角的集合为 α k ? 360? < α < k ? 360? + 90? , k ∈ Ζ
? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

α n ∈ Ν* ) 所在象限的方法:先把各象限均分 n 等份,再从 x 轴的 ( n α 正半轴的上方起,依次将各区域标上一、二、三、四,则 α 原来是第几象限对应的标号即为 终 n 边所落在的区域. 5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1弧度. l 6、半径为 r 的圆的圆心角 α 所对弧的长为 l ,则角 α 的弧度数的绝对值是 α = . r
4、已知 α 是第几象限角,确定

π ? 180 ? ? 7、弧度制与角度制的换算公式: 2π = 360 , 1 = ,1 = ? ? ≈ 57.3 . 180 π ? ?
? ?

?

8、若扇形的圆心角为 α (α 为弧度制) ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,则 l = r α , 1 1 C = 2 r + l , S = lr = α r 2 . 2 2 9 、设 α 是一 个任意 大小的 角, α 的终 边上任 意一点 Ρ 的坐 标是 ( x , y ) ,它 与原点 的距离 是

y x y , cos α = , tan α = ( x ≠ 0) . r r x 10、三角函数在各象限的符号:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正,第四 r r = x 2 + y 2 > 0 ,则 sin α =

(

)

1

象限余弦为正. 11、三角函数线: sin α = Μ Ρ , cos α = ΟΜ , tan α = ΑΤ . 12、同角三角函数的基本关系: (1) sin 2 α + cos 2 α = 1
y P T v O M A x

( sin

2

α = 1 ? cos2 α , cos2 α = 1? sin 2 α ) ; ( 2)
?. ? ?

sin α = tan α cos α

? sin α = tanα cosα , cosα = sin α ? tan α ? 13、三角函数的诱导公式:

(1) sin ( 2k π + α ) = sin α , cos ( 2kπ + α ) = cos α , tan ( 2k π + α ) = tan α ( k ∈ Ζ ) .
( 2) sin ( π + α ) = ? sinα , cos ( π + α ) = ? cos α , tan ( π + α ) = tanα .

( 3) sin ( ?α ) = ? sin α , cos ( ?α ) = cos α , tan ( ?α ) = ? tanα .
( 4) sin ( π ? α ) = sinα , cos ( π ? α ) = ? cos α , tan ( π ? α ) = ? tan α .
口诀:函数名称不变,符号看象限.

( 5 ) sin ? ? ( 6 ) sin ? ?

π ? ?π ? ? α ? = cos α , cos ? ? α ? = sin α . ?2 ? ?2 ? π π +α ? = cos α , cos ? +α ? ? ? ? = ?sin α . ?2 ? ?2 ?

口诀:正弦与余弦互换,符号看象限. 14、函数 y = sin x 的图象上所有点向左(右)平移 ? 个单位长度,得到函数 y = sin ( x + ? ) 的图象; 再将函数 y = sin ( x + ? ) 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变) ,得 ω

到函数 y = sin ( ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin ( ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短) 到 原来的 Α 倍(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin ( ω x + ? ) 的图象. 函数 y = sin x 的图象上所有点的横坐标伸长(缩短)到原来的 1 倍(纵坐标不变) ,得到函数 ω

y = sin ω x 的图象;再将函数 y = sin ω x 的图象上所有点向左(右)平移

? 个单位长度,得到函数 ω

y = sin ( ω x + ? ) 的图象;再将函数 y = sin ( ω x + ? ) 的图象上所有点的纵坐标伸长(缩短)到原来的

Α 倍(横坐标不变) ,得到函数 y = Α sin ( ω x + ? ) 的图象.
函数 y = Α sin ( ω x + ? ) ( Α > 0, ω > 0) 的性质:
2

①振幅: Α ;②周期: Τ =

2π 1 ω ;③频率: f = = ;④相位: ω x + ? ;⑤初相: ? . ω Τ 2π

函数 y = Α sin (ω x + ? ) + Β ,当 x = x1 时,取得最小值为 ymin ;当 x = x2 时,取得最大值为 ymax , 则 1 1 Τ ( ymax ? ymin ) , Β = ( ymax + ymin ) , = x2 ? x1 ( x1 < x2 ) . 2 2 2 15、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质: Α=
性 函 质 数

y = sin x

y = cos x

y = tan x

图象

定义域 值域

R

R

? π ? ? x x ≠ kπ + , k ∈ Ζ ? 2 ? ?

[ ?1,1]
当 x = 2kπ +

[ ?1,1]

R

最值

ymax

π ( k ∈ Ζ )时, 当 x = 2kπ ( k ∈ Ζ) 时, 2 π ymax = 1;当 x = 2 kπ + π = 1 ;当 x = 2kπ ? 2

既无最大值也无最小值

( k ∈ Ζ ) 时, ymin = ?1 .
周期性 奇偶性 2π 奇函数

( k ∈ Ζ) 时, ymin = ?1.
2π 偶函数

π 奇函数

π π 在? 2kπ ? , 2kπ + ? ? 2 2? ? ?

在 [ 2kπ ? π , 2kπ ] ( k ∈ Ζ) 上 是 增函数;在 [ 2 kπ , 2 kπ + π ]

( k ∈ Ζ ) 上是增函数;在
单调性 ? 2kπ + π , 2kπ + 3π ? ? 2 2 ? ? ?

π π? 在? ? kπ ? 2 , kπ + 2 ? ? ?

( k ∈ Ζ) 上是减函数.

( k ∈ Ζ) 上是增函数.

( k ∈ Ζ ) 上是减函数.
对称中心 ( kπ , 0 )( k ∈ Ζ ) 对称性 对称轴 x = kπ +

π ( k ∈ Ζ) 2

π ? ? 对称中心 ? kπ + , 0 ? ( k ∈ Ζ) 2 ? ?
对称轴 x = kπ ( k ∈ Ζ )

kπ ? 对称中心 ? ? 2 , 0? (k ∈ Ζ) ? ?
无对称轴

16、向量:既有大小,又有方向的量. 数量:只有大小,没有方向的量.
3

有向线段的三要素:起点、方向、长度. 零向量:长度为 0 的向量. 单位向量:长度等于 1个单位的向量. 平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量.零向量与任一向量平行. 相等向量:长度相等且方向相同的向量. 17、向量加法运算: ⑴三角形法则的特点:首尾相连. ⑵平行四边形法则的特点:共起点.

⑶三角形不等式: a ? b ≤ a + b ≤ a + b . ⑷运算性质:①交换律: a + b = b + a ;②结合律: a + b + c = a + b + c ;③ a + 0 = 0 + a = a . ⑸坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a + b = ( x1 + x 2 , y1 + y 2 ) . 18、向量减法运算: ⑴三角形法则的特点:共起点,连终点,方向指向被减向量. ⑵坐标运算:设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) . 设 Α 、 Β 两点的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) , 则 ΑΒ = ( x1 ? x2 , y1 ? y2 ) . 19、向量数乘运算: ? ? ⑴实数 λ 与向量 a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘,记作 λ a . ① λa = λ a ; ②当 λ > 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时, λ a 的方向与 a 的方向相反;当 λ = 0 时, λ a = 0 . ⑵运算律:① λ ( ? a ) = (λ? ) a ;② ( λ + ? ) a = λ a + ? a ;③ λ a + b = λ a + λb . ⑶坐标运算:设 a = ( x , y ) ,则 λ a = λ ( x , y ) = ( λ x ,λ y ) . 20、向量共线定理:向量 a a ≠ 0 与 b 共线,当且仅当有唯一一个实数 λ ,使 b = λ a . 设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,其中 b ≠ 0 ,则当且仅当 x1 y2 ? x2 y1 = 0 时,向量 a 、 b b ≠ 0 共线. 21、平面向量基本定理:如果 e1 、 e2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量 a , 有 且只有一对实数 λ1 、 λ2 ,使 a = λ1 e1 + λ2 e2 . (不共线的向量 e1 、 e2 作为这一平面内所有向量的一组基底) 22、 分点坐标公式: 设点 Ρ 是线段 Ρ1Ρ 2 上的一点, Ρ1 、 Ρ 2 的坐标分别是 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y2 ) ,当 Ρ1Ρ = λΡΡ 2 时,

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C
? a

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? b

Β

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Α
? ??? ? ? ? ???? ??? a ? b = ΑC ? ΑΒ = ΒC

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????

4

点 Ρ 的坐标是 ?

? x1 + λ x2 , y1 + λ y2 1+λ ? 1+λ

?. ? ?

23、平面向量的数量积:

⑴ a ? b = a b cos θ a ≠ 0,b ≠ 0, 0? ≤ θ ≤ 180? .零向量与任一向量的数量积为 0 . ⑵性质:设 a 和 b 都是非零向量,则① a ⊥ b ? a ?b = 0 .②当 a 与 b 同向时, a ? b = a b ;当 a 与 b 反向 时, a ? b = ? a b ; a ? a = a 2 = a 或 a =

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(?

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?2

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? ? ? ? ? ? a ? a .③ a ? b ≤ a b . ? ?

⑶运算律:① a ? b = b ? a ;② ( λ a ) ? b = λ a ? b = a ? λb ;③ a + b ? c = a ?c +b ?c . ⑷坐标运算:设两个非零向量 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ? b = x1x 2 + y1 y 2 . 若 a = ( x , y ) ,则 a

? ?

? ?

?

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(? )
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( )

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(? )

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?

? ?

? ?

?2

? = x 2 + y 2 ,或 a = x 2 + y 2 . ? ?

设 a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) ,则 a ⊥ b ? x1 x2 + y1 y2 = 0 .

?

? a?b ? ? ? ? ? 设 a 、 b 都是非零向量, a = ( x1 , y1 ) , b = ( x2 , y2 ) , θ 是 a 与 b 的夹角, 则 cos θ = ? ? =

? ?

x1 x2 + y1 y 2
2 2 x12 + y12 x2 + y2



a b

24、两角和与差的正弦、余弦和正切公式: ⑴ cos (α ? β ) = cosα cos β + sin α sin β ; ⑵ cos (α + β ) = cos α cos β ? sin α sin β ; ⑶ sin ( α ? β ) = sin α cos β ? cos α sin β ; ⑷ sin ( α + β ) = sin α cos β + cos α sin β ; ⑸ tan (α ? β ) =

tan α ? tan β ( tan α ? tan β = tan (α ? β ) (1+ tan α tan β ) ) ; 1 + tan α tan β tan α + tan β ( tan α + tan β = tan (α + β ) (1 ? tan α tan β ) ) . 1 ? tan α tan β

⑹ tan (α + β ) =

25、二倍角的正弦、余弦和正切公式: ⑴ sin 2α = 2sin α cos α . ⑵ cos 2α = cos2 α ? sin2 α = 2 cos2 α ? 1 = 1 ? 2sin2 α ( cos 2 α =

cos 2α +1 1 ? cos 2α , sin 2 α = ) . 2 2

⑶ tan 2α =

2 tan α . 1 ? tan 2 α Α2 + Β2 sin (α +? ) ,其中 tan ? =
5

26、 Α sin α + Β cos α =

Β . Α


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