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5.备课资料(2.3.2 等差数列的前n项和(二))


备课资料 等差数列的几个性质? 等差数列的内容内涵丰富, 通项公式与前 n 项和公式是其核心内容, 我们对其进行合理 整合、变形,可以得到诸多的性质,它们的应用使解题变得轻松愉悦,与常规方法相比较, 过程要简捷得多.? 【性质 1】 已知等差数列{an},m、p、q∈N*,若存在实数 λ 使 m ? 则 am ?

p ? ?q (λ≠-1),? 1? ?

r />
a p ? ?a q 1? ?

.?

证明:由等差数列{an}的通项公式 an=dn+a1-d 的几何意义:点(p,ap)、(m,am)、(q,aq)共线, 由斜率公式得

am ? a p m? p

?

aq ? am q?m

,因为 m ?

p ? ?q p?m ? ? .? ,所以 1? ? m?q

所以 λ(am-aq)=ap-am.所以(1+λ)am=ap+λaq,即 a m ?

a p ? ?a q 1? ?

.?

评析:特别地,当 λ=1 时,2am=ap+aq,我们不妨将性质 1 称为等差数列的定比分点公式.?? 【性质 2】 等差数列{an},ni,mi∈N*,i=1,2,3,…,k,若
k k

? ni ? ? mi .?
i ?1 i ?1

k

k



? a m ? ? a m .?
i ?1 i ?1

证明:设等差数列{an}的公差为 d.根据 ani=ami+(ni-mi)d,i=1,2,3,…,k,? 则

?a
i ?1

k

ni

? ? ami ? (? ni ? ? mi )d ? ? ami .所以 ? ani ? ? ami
i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1 i ?1

k

k

k

k

k

k

推论:等差数列{an},n i,m∈N *,i=1,2,3,…,k,若 km ?

? ni .则 kam ? ? ani .
i ?1 i ?1

k

k

评析:本性质实质上是等差中项性质的推广.? 【性质 3】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d.n,m∈N*,?

Sm Sn 1 ? ? (m ? n)d .? m n 2 S S nS m ? mS n 证明:因为 m ? n ? ? m n mn m(m ? 1) n(n ? 1) n[m a1 ? d ] ? m[na1 ? d] 2 2 = ? mn m n(m ? 1) m n(n ? 1) m na d ? m na d 1? 1? 2 2 = ? mn


=

m 2 n ? m n? m n2 ? m n d? 2m n m 2 n ? m n2 d 2m n

=

mn ( m ? n) d 2mn 1 = ( m ? n) d 2 S S 1 所以 m ? n ? (m ? n)d .? m n 2
= 评析:实质上数列 ?

d ? Sn ? ? 是公差为 的等差数列.? 2 ?n?

【性质 4】 等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,公差为 d.n,m∈N *,则 S m+n=Sm+Sn+mnd. 证明:因为 Sm+n=Sn+(an+1+an+2+…+an+m)? =Sn+(a1+nd)+(a2+nd)+…+(am+nd)? =Sn+(a1+a2+…+am)+mnd? =Sm+Sn+mnd,? 所以 Sm+n=Sm+Sn+mnd.? 【性质 5】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn,若 m=p+q(m、p、q∈N*且 p≠q),? 则有

Sm S p ? Sq .? ? m p?q
1 1 1 p(p-1)d-qa1q(q-1)d=(p-q)[a1+ (p+q-1)d] ,? 2 2 2

证明:设等差数列{an}的公差为 d.? 因为 Sp-Sq=pa1+

所以

S p ? Sq

S 1 1 ? a1 ? ( p ? q ? 1)d .又因为 m ? a1 ? (m ? 1)d 且 m=p+q,? m 2 p?q 2

所以有

Sm S p ? Sq .? ? m p?q

推 论 : 等 差 数 列 {an} 前 n 项 和 为 Sn , 若 m+t=p+q(m 、 t 、 p 、 q∈N* 且 m≠t,p≠q), 则

S m ? St S p ? S q .? ? m?t p?q
【性质 6】 等差数列{an}前 n 项和为 Sn.? (1)当 n=2k(k∈N*)时,S2k=k(a k+ak+1);? (2)当 n=2k-1(k∈N*)时,S2k-1=kak.?


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