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最全的递推数列求通项公式方法


高考递推数列题型分类归纳解析
各种数列问题在很多情形下,就是对数列通项公式的求解。特别是在一些综合性比较 强的数列问题中, 数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的瓶颈。 本文总结出几种求 解数列通项公式的方法,希望能对大家有帮助。 类型 1

an ?1 ? an ? f (n)

解法:把原递推公式转化为 an?1 ? an

? f (n) ,利用累加法(逐差相加法)求解。 例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ?

1 1 , a n ?1 ? a n ? 2 ,求 an 。 2 n ?n

解:由条件知: a n ?1 ? a n ?

1 1 1 1 ? ? ? n ? n n(n ? 1) n n ? 1
2

分 别 令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) , 代 入 上 式 得 (n ? 1) 个 等 式 累 加 之 , 即

(a2 ? a1 ) ? (a3 ? a2 ) ? (a4 ? a3 ) ? ? ? ? ? ? ? ?(an ? an?1 )
1 1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ? ? ? ? ?( ? ) 2 2 3 3 4 n ?1 n 1 所以 a n ? a1 ? 1 ? n 1 1 1 3 1 ? a1 ? ,? a n ? ? 1 ? ? ? 2 2 n 2 n
变式:(2004,全国 I,个理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 {an } 中a1 ? 1,且 a2k=a2k-1+(-1)K, (I)求 a3, a5; (II)求{ an}的通项公式. 解:? a2k ? a2k ?1 ? (?1) k , a2k ?1 ? a2k ? 3k a2k+1=a2k+3k, 其中 k=1,2,3,…….

? a2k ?1 ? a2k ? 3k ? a2k ?1 ? (?1) k ? 3k ,即 a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k ? a3 ? a1 ? 3 ? (?1) ,
a5 ? a3 ? 32 ? (?1) 2
…… ……

a2k ?1 ? a2k ?1 ? 3k ? (?1) k
将以上 k 个式子相加,得

3 1 a 2 k ?1 ? a1 ? (3 ? 32 ? ? ? ? ? 3k ) ? [( ?1) ? (?1) 2 ? ? ? ? ? (?1) k ] ? (3k ? 1) ? [( ?1) k ? 1] 2 2
将 a1 ? 1 代入,得
1

a 2 k ?1 ? a2k

1 k ?1 1 ? 3 ? (?1) k ? 1 , 2 2 1 1 ? a 2 k ?1 ? (?1) k ? ? 3k ? (?1) k ? 1 。 2 2

?1 n ?1 ? 1 n2 1 2 ? ? 3 ? ? (?1) ? 1(n为奇数) ?2 2 经检验 a1 ? 1 也适合,? a n ? ? n n ? 1 ? 3 2 ? 1 ? (?1) 2 ? 1(n为偶数) ? 2 ?2

类型 2

an?1 ? f (n)an
an?1 ? f (n) ,利用累乘法(逐商相乘法)求解。 an

解法:把原递推公式转化为 例:已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 解:由条件知 之,即

2 n a n ,求 an 。 , a n ?1 ? 3 n ?1

an?1 n ,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 (n ? 1) 个等式累乘 ? an n ?1

a a a 2 a3 a 4 1 2 3 n ?1 1 ? ? ? ?????? ? n ? ? ? ? ??????? ? n ? n a1 a2 a3 an?1 2 3 4 a1 n
2 2 ,? a n ? 3 3n 3n ? 1 a n (n ? 1) ,求 an 。 例:已知 a1 ? 3 , a n ?1 ? 3n ? 2
又? a1 ? 解: a n ?

3(n ? 1) ? 1 3(n ? 2) ? 1 3? 2 ?1 3 ?1 ? ? ???? ? a1 3(n ? 1) ? 2 3(n ? 2) ? 2 3? 2 ? 2 3 ? 2
3n ? 4 3n ? 7 ? ? 3n ? 1 3n ? 4 5 2 6 ? ?3 ? 8 5 3n ? 1 。

?

变式( : 2004, 全国 I,理 15. ) 已知数列{an}, 满足 a1=1,an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 (n≥2),则{an}的通项 an ? ?

?1 ? ___

n ?1 n?2

解:由已知,得 an?1 ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ? ? ? ? (n ? 1)an?1 ? nan ,用此式减去已知式,得 当 n ? 2 时, an?1 ? an ? nan ,即 an?1 ? (n ? 1)an ,又 a2 ? a1 ? 1,

? a1 ? 1,

a a a2 a n! ? 1, 3 ? 3, 4 ? 4,? ? ?, n ? n ,将以上 n 个式子相乘,得 an ? (n ? 2) 2 a1 a2 a3 an?1
2

类型 3

。 an?1 ? pan ? q (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1) ? 0) )

解法(待定系数法) :把原递推公式转化为: an?1 ? t ? p(an ? t ) ,其中 t ? 换元法转化为等比数列求解。 例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ,求 an .

q ,再利用 1? p

解:设递推公式 an?1 ? 2an ? 3 可以转化为 an?1 ? t ? 2(an ? t ) 即 an?1 ? 2an ? t ? t ? ?3 . 故递推公式为 an?1 ? 3 ? 2(an ? 3) ,令 bn ? an ? 3 , 则 b1 ? a1 ? 3 ? 4 ,且

bn?1 an?1 ? 3 ? ?2. bn an ? 3

所 以 ?bn ? 是 以 b1 ? 4 为 首 项 , 2 为 公 比 的 等 比 数 列 , 则 bn ? 4 ? 2n?1 ? 2n?1 , 所 以

an ? 2n?1 ? 3 .
变式:(2006,重庆,文,14) 在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 3(n ? 1) ,则该数列的通项 an ? _______________ (key: an ? 2 n?1 ? 3 ) 变式:(2006. 福建.理 22.本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ). (I)求数列 ?an ? 的通项公式; (II)若数列{bn}滿足 4 1 4 2 (Ⅲ )证明:
b ?1 b ?1

4bn ?1 ? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明:数列{bn}是等差数列;

a n 1 a1 a2 n ? ? ? ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an ?1 2

(I)解:

an?1 ? 2an ? 1(n ? N * ),

?an?1 ? 1 ? 2(an ? 1),

??an ?1? 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
? an ? 1 ? 2n.


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an ? 2n ?1(n ? N * ). 4k1 ?14k2 ?1...4kn ?1 ? (an ? 1)kn .

(II)证法一:

3

? 4( k1 ?k2 ?...?kn )?n ? 2nkn .

?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn , 2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
② -① ,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0,

① ②

nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
③ -④ ,得 即

nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0,

bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列

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证法二:同证法一,得

(n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0
令 n ? 1, 得 b1 ? 2. 设 b2 ? 2 ? d (d ? R), 下面用数学归纳法证明 (1)当 n ? 1, 2 时,等式成立
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bn ? 2 ? (n ? 1)d .

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(2)假设当 n ? k (k ? 2) 时, bk ? 2 ? (k ?1)d , 那么

k 2 k 2 bk ? ? [2 ? (k ? 1)d ] ? ? 2 ? [(k ? 1) ? 1]d . k ?1 k ?1 k ?1 k ?1 这就是说,当 n ? k ? 1 时,等式也成立 bk ?1 ?
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根据(1)和(2) ,可知 bn ? 2 ? (n ? 1)d 对任何 n ? N 都成立
*

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bn?1 ? bn ? d ,??bn ? 是等差数列
(III)证明:

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ak 2k ? 1 2k ? 1 1 ? k ?1 ? ? , k ? 1, 2,..., n, ak ?1 2 ? 1 2(2k ? 1 ) 2 2

?

a a1 a2 n ? ? ... ? n ? . a2 a3 an?1 2
4

ak 2k ? 1 1 1 1 1 1 1 1 ? k ?1 ? ? ? ? k ? ? . k , k ? 1, 2,..., n, k ?1 k ak ?1 2 ? 1 2 2(2 ? 1) 2 3.2 ? 2 ? 2 2 3 2
? a a1 a2 n 1 1 1 1 n 1 1 n 1 ? ? ... ? n ? ? ( ? 2 ? ... ? n ) ? ? (1 ? n ) ? ? , a2 a3 an?1 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3

a n 1 a a n ? ? ? 1 ? 2 ? ... ? n ? (n ? N * ). 2 3 a2 a3 an?1 2
变式:递推式: an?1 ? pan ? f ?n? 。解法:只需构造数列 ?bn ? ,消去 f ?n ? 带来的差异. 类型 4 。 an?1 ? pan ? q n (其中 p , q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) (或

an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数) 。
解法:一般地,要先在原递推公式两边同除以 q n?1 ,得:

an?1 p an 1 ? ? ? 引入辅助数列 q n?1 q q n q

?bn ? (其中 bn ? an n
q

) ,得: bn?1 ?

p 1 bn ? 再待定系数法解决。 q q

5 1 1 n ?1 , a n ?1 ? a n ? ( ) ,求 an 。 6 3 2 1 1 n ?1 2 n n ?1 n ?1 解:在 a n ?1 ? a n ? ( ) 两边乘以 2 得: 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) ? 1 3 2 3 2 2 n 令 bn ? 2n ? an ,则 bn ?1 ? bn ? 1 ,解之得: bn ? 3 ? 2( ) 3 3 b 1 1 ? 3( ) n ? 2( ) n 所以 a n ? n n 2 3 2
例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 变式:(2006,全国 I,理 22,本小题满分 12 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项的和 S n ?

4 1 2 a n ? ? 2n ?1 ? , n ? 1, 2,3, 3 3 3

(Ⅰ)求首项 a1 与通项 an ; (Ⅱ)设 Tn ?

2n , n ? 1, 2,3, Sn

,证明:

?T ? 2
i ?1 i

n

3

解: (I)当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 当

4 4 2 a1 ? ? ? a1 ? 2 ; 3 3 3 4 1 2 4 1 2 an ? ? 2 n?1 ? ? ( a n?1 ? ? 2 n ? ) 3 3 3 3 3 3
, 即

n?2

时 ,

an ? S n ? S n ?1 ?

。 an ? 4an?1 ? 2n ,利用 an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) )

5

(或 an?1 ? pan ? rqn ,其中 p,q, r 均为常数)的方法,解之得: an ? 4n ? 2n 4 1 2 1 (Ⅱ)将 an ? 4n ? 2n 代入①得 Sn= ×(4n-2n)- ×2n+1 + = ×(2n+1-1)(2n+1-2) 3 3 3 3 2 = ×(2n+1-1)(2n-1) 3 2n 3 2n 3 1 1 Tn= = × n+1 = ×( n - n+1 ) Sn 2 (2 -1)(2n-1) 2 2 -1 2 -1 - i+1 ) = ×( 1 - i+1 ) < Ti = 2 ? ( i ? 2 2 -1 2 2 -1 2 -1 2 -1 i ?1 i ?1
n

所以,

3

n

1

1

3

1

1

3

类型 5 递推公式为 an?2 ? pan?1 ? qan (其中 p,q 均为常数) 。 解法一(待定系数法):先把原递推公式转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 其中 s,t 满足 ?

?s ? t ? p ?st ? ?q

解法二(特征根法):对于由递推公式 an?2 ? pan?1 ? qan ,a1 ? ? , a2 ? ? 给出的数列 ?an ? , 方程 x ? px ? q ? 0 , 叫做数列 ?an ? 的特征方程。 若 x1 , x 2 是特征方程的两个根, 当 x1 ? x 2
2

n?1 n?1 时,数列 ?an ? 的通项为 an ? Ax1 ,其中 A , B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定(即把 ? Bx2 n?1 n?1 代入 an ? Ax1 , 得到关于 A、 B 的方程组) ; 当 x1 ? x 2 时, a1 , a2 , x1 , x2 和 n ? 1,2 , ? Bx2 n?1 数列 ?an ? 的通项为 an ? ( A ? Bn) x1 , 其中 A, B 由 a1 ? ? , a2 ? ? 决定 (即把 a1 , a2 , x1 , x2 n?1 和 n ? 1,2 ,代入 an ? ( A ? Bn) x1 ,得到关于 A、B 的方程组) 。

解法一(待定系数——迭加法): 数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b ,求数列 ?an ? 的通项 公式。 由 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0 ,得

a n ? 2 ? a n ?1 ?

2 (a n ?1 ? a n ) , 3

且 a2 ? a1 ? b ? a 。 则数列 ?an?1 ? an ?是以 b ? a 为首项,

2 为公比的等比数列,于是 3
6

2 a n ?1 ? a n ? (b ? a)( ) n ?1 。把 n ? 1,2,3,? ? ?, n 代入,得 3

a2 ? a1 ? b ? a ,
2 a3 ? a 2 ? (b ? a ) ? ( ) , 3 2 a 4 ? a3 ? (b ? a) ? ( ) 2 , 3 ??? 2 a n ? a n ?1 ? (b ? a)( ) n ? 2 。 3
把以上各式相加,得

2 1 ? ( ) n ?1 2 2 2 3 a n ? a1 ? (b ? a)[1 ? ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) n ? 2 ] ? (b ? a) 。 2 3 3 3 1? 3 2 2 ? a n ? [3 ? 3( ) n ?1 ]( b ? a) ? a ? 3(a ? b)( ) n ?1 ? 3b ? 2a 。 3 3
解法二(特征根法) :数列 ?an ? : 3an?2 ? 5an?1 ? 2an ? 0(n ? 0, n ? N ) , a1 ? a, a2 ? b 的特征方程是: 3x ? 5 x ? 2 ? 0 。
2

? x1 ? 1, x 2 ?

2 , 3

2 n?1 ? A ? B ? ( ) n ?1 。 ? an ? Ax1n?1 ? Bx2 3
又由 a1 ? a, a2 ? b ,于是

?a ? A ? B ? A ? 3b ? 2a ? 2 ?? ? b ? A ? B ?B ? 3(a ? b) ? 3 ?
故 a n ? 3b ? 2a ? 3(a ? b)( )

2 3

n ?1

例:已知数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 , a n ? 2 ? 解:由 a n ? 2 ?

2 1 a n ?1 ? a n ,求 an 。 3 3

2 1 a n ?1 ? a n 可转化为 an?2 ? san?1 ? t (an?1 ? san ) 3 3

即 an ? 2

2 ? 1 s ? t ? ?s ? 1 ? ? ? ? ?s ? ? 3 ? (s ? t )an?1 ? stan ? ? ?? 3 1或? 1 t ? ? ?st ? ? ? 3 ? ? ?t ? 1 ? 3 ?

7

?s ? 1 ? 这里不妨选用 ? 1 (当然也可选用 t?? ? 3 ?

1 ? ?s ? ? 3 , 大 家 可 以 试 一 试 ), 则 ? ? ?t ? 1

1 1 an? 2 ? a n?1 ? ? (an ?1 ? a n ) ? ?an?1 ? an ?是以首项为 a2 ? a1 ? 1 , 公比为 ? 的等比数列, 3 3 1 n?1 所以 a n ?1 ? a n ? (? ) ,应用类型 1 的方法,分别令 n ? 1,2,3,? ? ? ? ??, (n ? 1) ,代入上式得 3 1 1 ? (? ) n?1 1 0 1 1 1 n?2 3 (n ? 1) 个等式累加之,即 a n ? a1 ? (? ) ? (? ) ? ? ? ? ? ? ? ?(? ) ? 1 3 3 3 1? 3 7 3 1 n?1 又? a1 ? 1 ,所以 a n ? ? (? ) 。 4 4 3
变式:(2006,福建,文,22,本小题满分 14 分) 已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? 3, an?2 ? 3an?1 ? 2an (n ? N * ). (I)证明:数列 ?an?1 ? an ? 是等比数列; (II)求数列 ?an ? 的通项公式; (III)若数列 ?bn ? 满足 4 1 4 2 ...4 n
b ?1 b ?1 b ?1

? (an ?1)bn (n ? N * ), 证明 ?bn ? 是等差数列

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(I)证明:

an?2 ? 3an?1 ? 2an ,

? an ? 2 ? an ?1 ? 2(an ?1 ? an ), a1 ? 1, a2 ? 3, ? an ? 2 ? an?1 ? 2(n ? N * ). an ?1 ? an
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??an?1 ? an ? 是以 a2 ? a1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列
(II)解:由(I)得 an?1 ? an ? 2n (n ? N * ),

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?an ? (an ? an?1 ) ? (an?1 ? an?2 ) ? ... ? (a2 ? a1 ) ? a1

? 2n ?1 ? 2n ?2 ? ... ? 2 ? 1 ? 2n ? 1(n ? N * ).
(III)证明:

4b1 ?14b2 ?1...4bn ?1 ? (an ?1)bn ,

? 4(b1 ?b2 ?...?bn ) ? 2nbn , ?2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ) ? n] ? nbn ,

8

2[(b1 ? b2 ? ... ? bn ? bn?1 ) ? (n ? 1)] ? (n ? 1)bn?1.
② -① ,得 2(bn?1 ?1) ? (n ? 1)bn?1 ? nbn , 即 (n ?1)bn?1 ? nbn ? 2 ? 0. ③ ④



nbn?2 ? (n ? 1)bn?1 ? 2 ? 0.
④ -③ ,得 nbn?2 ? 2nbn?1 ? nbn ? 0, 即 bn?2 ? 2bn?1 ? bn ? 0,

?bn?2 ? bn?1 ? bn?1 ? bn (n ? N * ),

??bn ? 是等差数列

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类型 6 递推公式为 S n 与 an 的关系式。(或 Sn ? f (an ) ) 解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用

?S1 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?(n ? 1) an ? ? ?S n ? S n ?1 ? ? ? ? ? ? ? (n ? 2)



an ? S n ? S n?1 ? f (an ) ? f (an?1 ) 消去 S n (n ? 2) 或与 S n ? f (S n ? S n?1 ) (n ? 2) 消去 an
进行求解。 例:已知数列 ?an ? 前 n 项和 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

.

(1)求 an?1 与 an 的关系; (2)求通项公式 an . 解: (1)由 S n ? 4 ? a n ?

1 2
n?2

得: S n ?1 ? 4 ? a n ?1 ?

1 2 n ?1

于是 S n ?1 ? S n ? (a n ? a n ?1 ) ? ( 所以 a n ?1 ? a n ? a n ?1 ?

1 2
n?2

1 ? a n ?1 2 n?1

) 2 n ?1 1 1 ? an ? n . 2 2

?

1

(2)应用类型 4( an?1 ? pan ? q n (其中 p,q 均为常数, ( pq( p ? 1)(q ? 1) ? 0) ) )的方 法,上式两边同乘以 2 由 a1 ? S1 ? 4 ? a1 ?
n ?1

得: 2

n?1

an?1 ? 2n an ? 2

1 ? a1 ? 1 .于是数列 2 n an 是以 2 为首项,2 为公差的等差数列, 2 n n 所以 2 an ? 2 ? 2(n ?1) ? 2n ? a n ? n ?1 2
1? 2

?

?

变式:(2006,陕西,理,20 本小题满分 12 分) 已知正项数列{an},其前 n 项和 Sn 满足 10Sn=an2+5an+6 且 a1,a3,a15 成等比数列,求数列{an} 的通项 an
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9

解: ∵ 10Sn=an2+5an+6, ① ∴ 10a1=a12+5a1+6,解之得 a1=2 或 a1=3 又 10Sn-1=an-12+5an-1+6(n≥2),② 由① -② 得 10an=(an2-an-12)+6(an-an-1),即(an+an-1)(an-an-1-5)=0 ∵ an+an-1>0 , ∴ an-an-1=5 (n≥2) 当 a1=3 时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15 不成等比数列∴ a1≠3; 2 当 a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a3 =a1a15 , ∴ a1=2, ∴ an=5n-3 变式: (2005,江西,文,22.本小题满分 14 分)
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已知数列{an}的前 n 项和 Sn 满足 Sn-Sn-2=3 (? ) 的通项公式. 解:? Sn ? Sn?2 ? an ? an?1 ,

1 2

n ?1

3 (n ? 3), 且S1 ? 1, S 2 ? ? , 求数列{an} 2

1 ? an ? an?1 ? 3 ? (? ) n?1 (n ? 3) ,两边同乘以 (?1) n ,可得 2 1 1 (?1) n an ? an?1 (?1) n?1 ? 3 ? (?1) n (? ) n?1 ? ?3 ? ( ) n?1 2 2
令 bn ? (?1) n an

1 ? bn ? bn?1 ? ?3 ? ( ) n?1 (n ? 3) 2 1 n?2 bn?1 ? bn?2 ? ?3 ? ( ) 2
…… ……

1 b3 ? b2 ? ?3 ? ( ) 2 2

1 1 1 n?2 ? ?( ) 1 n?1 1 n?2 1 2 4 4 2 ? bn ? b2 ? 3 ? [( ) ? ( ) ? ? ? ? ? ( ) ] ? b2 ? 3 ? 1 2 2 2 1? 2 3 1 n ?1 ? b2 ? ? 3 ? ( ) (n ? 3) 2 2 3 5 又? a1 ? S1 ? 1 , a 2 ? S 2 ? S1 ? ? ? 1 ? ? , 2 2 5 ? b1 ? (?1)1 a1 ? ?1 , b2 ? (?1) 2 a 2 ? ? 2 5 3 1 1 ? bn ? ? ? ? 3 ? ( ) n ?1 ? ?4 ? 3 ? ( ) n?1 (n ? 1) 。 2 2 2 2
1 ? 4 ? 3 ? ( ) n ?1 , n为奇数, ? 1 ? 2 ? an ? (?1) n bn ? ?4(?1) n ? 3 ? (?1) n ? ( ) n?1 ? ? 2 ?? 4 ? 3 ? ( 1 ) n?1 , n为偶数. ? 2 ?

、 0,a ? 0) 类型 7 an?1 ? pan ? an ? b ( p ? 1

10

解 法 : 这 种 类 型 一 般 利 用 待 定 系 数 法 构 造 等 比 数 列 , 即 令

an?1 ? x(n ? 1) ? y ? p(an ? xn ? y) , 与 已 知 递 推 式 比 较 , 解 出 x, y , 从 而 转 化 为

?an ? xn ? y?是公比为 p 的等比数列。
例:设数列 ?an ? : a1 ? 4, an ? 3an?1 ? 2n ? 1, (n ? 2) ,求 an .

解:设 bn ? an ? An ? B, 则an ? bn ? An ? B ,将 a n , a n ?1 代入递推式,得

bn ? An ? B ? 3?bn?1 ? A(n ?1) ? B? ? 2n ?1 ? 3bn?1 ? (3A ? 2)n ? (3B ? 3A ? 1)
? ? A ? 3A ? 2 ?? ? ? B ? 3 B ? 3 A ? 1 ?

?A ? 1 ? ?B ? 1

? 取bn ? an ? n ? 1 …(1)则 bn ? 3bn?1 ,又 b1 ? 6 ,故 bn ? 6 ? 3n?1 ? 2 ? 3n
代入(1)得 an ? 2 ? 3n ? n ? 1 说明: (1) 若 f ( n) 为 n 的二次式, 则可设 bn ? an ? An2 ? Bn ? C ;(2) 本题也可由 an ? 3an?1 ? 2n ? 1 , an?1 ? 3an?2 ? 2(n ? 1) ? 1( n ? 3 ) 两式相减得 an ? an ?1 ? 3(an ?1 ? an ? 2 ) ? 2 转化为 bn?2 ? pbn?1 ? qbn 求之. 变式:(2006,山东,文,22,本小题满分 14 分) 已知数列{ an }中, a1 ?

1 、点(n、 2an ?1 ? an) 在直线 y=x 上,其中 n=1,2,3… 2

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(Ⅰ)令 bn ? an?1 ? an ? 3, 求证数列 ?bn ?是等比数列; (Ⅱ)求数列 ?an ? 的通项; (Ⅲ)设 S n、Tn 分别为数列?a n ? ?bn ?的前 n 项和,是否存在实数 ? ,使得数列 ? 、 为等差数列?若存在,试求出 ? 解: (I)由已知得
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? Sn ? ?Tn ? ? ? n ?

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若不存在,则说明理由

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a1 ?

1 , 2an ?1 ? an ? n, 2

11

3 3 1 3 a2 ? , a2 ? a1 ? 1 ? ? ? 1 ? ? , 4 4 2 4
又 bn ? an?1 ? an ?1,

bn?1 ? an?2 ? an?1 ?1,
b a ? a ?1 ? n ?1 ? n ?1 n ? bn an ? 2 ? an ?1 ? 1 an ?1 ? (n ? 1) an ? n an ?1 ? an ? 1 ? 1 2 2 ? 2 ? . an ?1 ? an ? 1 an ?1 ? an ? 1 2
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3 1 ?{bn } 是以 ? 为首项,以 为公比的等比数列 4 2 3 1 n ?1 3 1 (II)由(I)知, bn ? ? ? ( ) ? ? ? n , 4 2 2 2 3 1 ? an ?1 ? an ? 1 ? ? ? n , 2 2 3 1 ? a2 ? a1 ? 1 ? ? ? , 2 2 3 1 a3 ? a2 ? 1 ? ? ? 2 , 2 2 ?????? 3 1 ? an ? an ?1 ? 1 ? ? ? n ?1 , 2 2
将以上各式相加得:

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3 1 1 1 ? an ? a1 ? (n ? 1) ? ? ( ? 2 ? ??? ? n ?1 ), 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ?1 ) 3 1 3 1 3 2 ? an ? a1 ? n ? 1 ? ? 2 ? ? (n ? 1) ? (1 ? n ?1 ) ? n ? n ? 2. 1 2 2 2 2 2 1? 2 3 ? an ? n ? n ? 2. 2
(III)解法一: 存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列 n 1 1 1 Sn ? a1 ? a2 ? ??? ? an ? 3( 1 ? 2 ? ??? ? n ) ? (1 ? 2 ? ??? ? n) ? 2n 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n(n ? 1) ? 2n ? 3? 2 1 2 1? 2
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? 3(1 ?

1 n 2 ? 3n 3 n 2 ? 3n ) ? ? ? ? ? 3. 2n 2 2n 2

12

3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 . Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n ?1 1? 2 S ? ?Tn S ? ?Tn } 是等差数列的充要条件是 n ? An ? B, ( A 、 B 是常数 ) 数列 { n n n
即 Sn ? ?Tn ? An2 ? Bn,

3 n2 ? 3n 3 3 ? 3 ? ? (? ? n?1 ) 又 Sn ? ?Tn ? ? n ? 2 2 2 2 ? n2 ? 3n ? 1 ? 3(1 ? )(1 ? n ) 2 2 2

? 当且仅当 1 ?
解法二:

?
2

? 0 ,即 ? ? 2 时,数列 {

S n ? ?Tn } 为等差数列 n

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存在 ? ? 2 ,使数列 {

S n ? ?Tn } 是等差数列 n

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由(I) 、 (II)知, an ? 2bn ? n ? 2

? S n ? 2T ?

n(n ? 1) ? 2n 2 n(n ? 1) ? 2n ? 2Tn ? ?Tn Sn ? ?Tn 2 ? n n n?3 ? ?2 ? ? Tn 2 n 3 1 ? (1 ? n ) 2 ? ? 3 (1 ? 1 ) ? ? 3 ? 3 又 Tn ? b1 ? b2 ? ??? ? bn ? 4 1 2 2n 2 2n?1 1? 2 Sn ? ?Tn n ? 3 ? ? 2 3 3 ? ? (? ? n ?1 ) n 2 n 2 2 S ? ?Tn } 是等差数列 ? 当且仅当 ? ? 2 时,数列 { n n
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r 类型 8 an?1 ? pan ( p ? 0, an ? 0)

解法:这种类型一般是等式两边取对数后转化为 an?1 ? pan ? q ,再利用待定系数法求解。 例:已知数列{ an }中, a1 ? 1, a n ?1 ? 解:由 a n ?1

1 2 ? a n (a ? 0) ,求数列 ?an ? 的通项公式 . a 1 2 1 ? ? an 两边取对数得 lg a n ?1 ? 2 lg a n ? lg , a a
13

令 bn ? lg an ,则 bn ?1 ? 2bn ? lg

1 1 2 n ?1 ,再利用待定系数法解得: a n ? a ( ) 。 a a
1 an (4 ? an ), n ? N . 2

变式:(2005,江西,理,21.本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的各项都是正数 , 且满足 : a0 ? 1, an?1 ? (1)证明 an ? an?1 ? 2, n ? N ; (2)求数列 {an } 的通项公式 an. 解:用数学归纳法并结合函数 f ( x ) ? (1)方法一 用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ?

1 x(4 ? x) 的单调性证明: 2

1 3 a0 (4 ? a0 ) ? , 2 2

∴ a0 ? a1 ? 2 ,命题正确. 2°假设 n=k 时有 ak ?1 ? ak ? 2. 则 n ? k ? 1时, a k ? a k ?1 ?

1 ? 2 (ak ?1 ? ak ) ? (ak?1 2
而 ak ?1 ? ak ? 0. 又 a k ?1 ?

1 1 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) 2 2 1 ? ak ) (a? k1 ? a? k ) ( ak ?1 ? ak )(4 ? ak ?1 ? ak ). 2

4 ? ak ?1 ? ak ? 0,

? ak ? ak ?1 ? 0.

1 1 a k (4 ? a k ) ? [4 ? (a k ? 2) 2 ] ? 2. 2 2 ∴ n ? k ? 1 时命题正确.
由 1°、2°知,对一切 n∈N 时有 an ? an?1 ? 2. 方法二:用数学归纳法证明: 1°当 n=1 时, a 0 ? 1, a1 ?

1 3 a 0 (4 ? a0 ) ? , ∴ 0 ? a0 ? a1 ? 2 ; 2 2

2°假设 n=k 时有 ak ?1 ? ak ? 2 成立,

1 x(4 ? x) , f ( x) 在[0,2]上单调递增,所以由假设 2 1 1 1 有: f (ak ?1 ) ? f (ak ) ? f (2), 即 a k ?1 (4 ? a k ?1 ) ? a k (4 ? a k ) ? ? 2 ? (4 ? 2), 2 2 2
令 f ( x) ? 也即当 n=k+1 时

ak ? ak ?1 ? 2 成立,所以对一切 n ? N , 有ak ? ak ?1 ? 2
1 1 a n (4 ? a n ) ? [?(a n ? 2) 2 ? 4], 2 2

(2)解法一: a n ?1 ? 所以

2(an?1 ? 2) ? ?(an ? 2) 2

14

1 2 1 1 2 2 1 1 1 1? 2??? 2n ?1 2n 22 令bn ? a n ? 2, 则bn ? ? bn (? bn ? 2 ) ? ? ? ( ) 2 bn bn , ?1 ? ? ?1 ? ? ? ?( ) 2 2 2 2 2 2 1 2 n ?1 1 n , 即a n ? 2 ? bn ? 2 ? ( ) 2 ?1 又 bn=-1,所以 bn ? ?( ) 2 2 1 1 2 解法二:? a n ?1 ? a n (4 ? a n ) ? ? (a n ? 2) ? 2, 2 2

1 ? 2 ? a n ?1 ? (2 ? a n ) 2 2
由(I)知, 2 ? an ? 0 ,两边取以 2 为底的对数,

? log2 (2 ? an?1 ) ? ?1 ? 2 log2 (2 ? an )
令 bn ? log2 (2 ? an ) ,则 bn?1 ? ?1 ? 2bn ? bn ? 1 ? 2n
n 1 ? an ? 2 ? 21?2 或 a n ? 2 ? ( ) 2 2
n

?1

变式:(2006,山东,理,22,本小题满分 14 分) 已知 a1=2,点(an,an+1)在函数 f(x)=x2+2x 的图象上,其中=1,2,3,… (1) 证明数列{lg(1+an)}是等比数列; (2) 设 Tn=(1+a1) (1+a2) …(1+an),求 Tn 及数列{an}的通项; 记 bn=

1 1 2 ,求{bn}数列的前项和 Sn,并证明 Sn+ =1 ? an an ? 2 3Tn ? 1

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2 解: (Ⅰ)由已知 an?1 ? an ? 2an ,

?an?1 ? 1 ? (an ? 1)2
a1 ? 2 ? an ? 1 ? 1,两边取对数得 lg(1 ? an?1 ) ? 2lg(1 ? an ) ,


lg(1 ? an?1 ) ?2 lg(1 ? an )
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?{lg(1 ? an )} 是公比为 2 的等比数列

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(Ⅱ)由(Ⅰ)知 lg(1 ? an ) ? 2n?1 ? lg(1 ? a1 ) ? 2n?1 ? lg3 ? lg32

n?1

?1 ? an ? 32

n?1

(*)

?Tn ? (1 ? a1 )(1 ? a2 )…(1+an )

15

? 32 ? 32 ? 32 ?…? 32
? 31?2?2
2

0

1

2

n-1

?…+2n-1

=3
n?1

2n -1

由(*)式得 an ? 32 (Ⅲ)

?1
1 1 1 1 ? ( ? ) an?1 2 an an ? 2

2 an?1 ? a0 ? 2an , ?an?1 ? an (an ? 2) ,?

?

1 1 2 1 1 1 1 ,又 bn ? ,? bn ? 2( ? ? ? ? ) an ? 2 an an ?1 an an ? 2 an an ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? …+ ? ) ? 2( ? ) a1 a2 a2 a3 an an ?1 a1 an ?1
n

? Sn ? b1 ? b2 ? …+bn ? 2(
n?1

an ? 32 ? 1, a1 ? 2, an?1 ? 32 ? 1
? Sn ? 1 ? 2 3 ?1
2n

,又 Tn ? 32

n

?1

,? Sn ?

2 ?1 3Tn ? 1

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类型 9 a n?1 ?

f ( n) a n g ( n) a n ? h( n)

解法:这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为 an?1 ? pan ? q 。 例:已知数列{an}满足: an ?

an?1 , a1 ? 1 ,求数列{an}的通项公式。 3 ? an?1 ? 1

解:取倒数:

1 3 ? an?1 ? 1 1 ? ? 3? an an?1 an?1

?1? 1 1 1 ? ? ? 是等差数列, ? ? (n ? 1) ? 3 ? 1 ? (n ? 1) ? 3 ? a n ? 3n ? 2 an a1 ? an ?
变式:(2006,江西,理,22,本大题满分 14 分) 已知数列{an}满足:a1=

3 3na n-1 (n ? 2,n ? N?) ,且 an= 2 2a n-1+n- 1

(1) 求数列{an}的通项公式; (2) 证明:对于一切正整数 n,不等式 a1?a2?……an?2?n! 解: (1)将条件变为:1- 为

1 n-1 n n 1- ) =( ,因此{1- }为一个等比数列,其首项 a n-1 an 3 an

16

1-

1 1 n ? 3n 1 1 n = ,公比 ,从而 1- = n ,据此得 an= n (n?1)…………1? 3 3 -1 a1 3 an 3

(2)证:据 1?得,a1?a2?…an= 为证 a1?a2?……an?2?n!

n! 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 )…( 1- n ) 3 3 3
1 1 1 )…( 1- n ) ? …………2? 2 3 3 2

( 1- ) ? ( 1- 只要证 n?N?时有

1 3

显然,左端每个因式都是正数,先证明,对每个 n?N?,有

1 1 1 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 )…( 1- n ) ?1-( + 2 +…+ n )…………3? 3 3 3 3 3 3
用数学归纳法证明 3?式: (i) n=1 时,3?式显然成立, (ii) 设 n=k 时,3?式成立,

( 1- ) ? ( 1- 即

1 3

1 1 1 1 1 )…( 1- k ) ?1-( + 2 +…+ k ) 2 3 3 3 3 3

则当 n=k+1 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 ( 1- ) ? ( 1- 2 ) ? …( 1- k ) ? ( 1- k+1 ) ?〔1-( + 2 +…+ k ) 〕?( 1- k+1 ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 1 1 1 1 =1-( + 2 +…+ k )- k+1 + k+1 ( + 2 +…+ k ) 3 3 3 3 3 3 3 3 1 1 1 1 ?1-( + 2 +…+ k + k+1 )即当 n=k+1 时,3?式也成立 3 3 3 3
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故对一切 n?N?,3?式都成立 利用 3?得,

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1 1 n 〔 1-( ) 〕 1 1 1 1 1 1 3 ( 1- ) ? ( 1- 2 )…( 1- n ) ?1-( + 2 +…+ n )=1- 3 1 3 3 3 3 3 3 1- 3 1 1 n 1 1 1 n 1 1-( ) 〕= + ( )? =1- 〔 2 3 2 2 3 2
故 2?式成立,从而结论成立
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类型 10

an?1 ?

pan ? q ra n ? h pan ? q (其 ra n ? h

解法:如果数列 {an } 满足下列条件:已知 a1 的值且对于 n ? N ,都有 a n ?1 ? 中 p、q、r、h 均为常数,且 ph ? qr , r ? 0, a1 ? ? 当特征方程有且仅有一根 x0 时,则 ?

h px ? q ) ,那么,可作特征方程 x ? , r rx ? h

?

1 ? x2 ? 是等差数列;当特征方程有两个相异的根 x1 、 ? an ? x0 ?
17

时,则 ?

? an ? x1 ? ? 是等比数列。 ? an ? x2 ?

例:已知数列 {an } 满足性质:对于 n ? N, a n?1 ? 解 : 数列 {an } 的特征方程为 x ?

an ? 4 , 且 a1 ? 3, 求 {an } 的通项公式. 2an ? 3

x?4 , 变形得 2x 2 ? 2 x ? 4 ? 0, 其根为 ?1 ? 1, ?2 ? ?2. 2x ? 3

故特征方程有两个相异的根,使用定理 2 的第(2)部分,则有

cn ?

a1 ? ?1 p ? ?1r n?1 3 ? 1 1 ? 1 ? 2 n?1 ?( ) ? ?( ) , n ? N. a1 ? ?2 p ? ?2 r 3 ? 2 1? 2 ? 2
2 1 n ?1 (? ) , n ? N. 5 5

∴ cn ?

2 1 ? 2 ? (? ) n?1 ? 1 ? c ? ?1 5 5 ∴ an ? 2 n ? , n ? N. 2 1 n?1 cn ? 1 (? ) ? 1 5 5
即 an ?

(?5) n ? 4 , n ? N. 2 ? (?5) n
? 13an ? 25 . an ? 3
1

例: 已知数列 {a } 满足: 对于 n ? N, 都有 a
n
1

n ?1

(1)若 a ? 5, 求 a ; (2)若 a ? 3, 求 a ; (3)若 a ? 6, 求a ; (4)当 a 取哪些值时,无穷数列 {a } 不存在?
n
1

n

n

1

n

? 25 . 变形得 x 解:作特征方程 x ? 13xx? 3

2

? 10x ? 25 ? 0,

特征方程有两个相同的特征根 ? ? 5. 依定理 2 的第(1)部分解答. (1)∵ a ? 5,? a ? ?.?对于 n ? N, 都有 a ? ? ? 5; (2)∵ a ? 3,? a ? ?.
1 1

n

1

1

∴b

n

?

1 r ? (n ? 1) a1 ? ? p ? r?

18

?

1 1 ? (n ? 1) ? 3?5 13 ? 1 ? 5 1 n ?1 ?? ? , 2 8

令 bn ? 0 ,得 n ? 5 .故数列 {an } 从第 5 项开始都不存在, 当 n ≤4, n ? N 时, a n ?

1 5n ? 17 . ?? ? bn n?5

(3)∵ a1 ? 6, ? ? 5, ∴ a1 ? ?. ∴ bn ?

1 r n ?1 ? (n ? 1) ? 1? , n ? N. a1 ? ? p ? ?r 8

令 bn ? 0, 则 n ? ?7 ? n. ∴对于 n ? N, b n ? 0. ∴ an ?

1 ?? ? bn

1 5n ? 43 ?5? , n ? N. n ?1 n?7 1? 8

(4)、显然当 a1 ? ?3 时,数列从第 2 项开始便不存在.由本题的第(1)小题的解答过程知,

a1 ? 5 时 , 数 列 {an } 是 存 在 的 , 当 a1 ? ? ? 5 时 , 则 有
bn ?
5n ? 13 1 r 1 n ?1 ,n? N ? (n ? 1) ? ? , n ? N. 令 bn ? 0, 则 得 a1 ? n ?1 a1 ? ? p ? ?r a1 ? 5 8

且 n ≥2. ∴当 a1 ?

5n ? 13 (其中 n ? N 且 N≥2)时,数列 {an } 从第 n 项开始便不存在. n ?1 5n ? 13 : n ? N , 且 n ≥2}上取值时,无穷数列 {an } 都不存 于是知:当 a1 在集合 {?3 或 n ?1

在. 变式:(2005,重庆,文,22,本小题满分 12 分) 数列 {an }满足a1 ? 1且8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0(n ? 1). 记 bn ? (Ⅰ)求 b1、b2、b3、b4 的值; (Ⅱ)求数列 {bn } 的通项公式及数列 {an bn } 的前 n 项和 S n .

1 1 an ? 2

(n ? 1).

解法一:由已知,得 a

n ?1

?

2a n ? 5 16 ? 8an

2x ? 5 ,其特征方程为 x ? 16 解 ? 8x

19

之得, x

1

?

1 或 x2 ? 5 2 4

1 5 6(a n ? ) 12(a n ? ) 1 5 2 ,a ? ? 4 ? a n ?1 ? ? n ?1 2 16 ? 8a n 4 16 ? 8a n

1 1 an ? 2 ? 1? 2 ? 5 2 5 a n?1 ? an ? 4 4 a n?1 ?

,

1 1 a1 ? 2? 2 ? ( 1 ) n?1 ? ? 4 ? 5 5 2 2n an ? a1 ? 4 4 an ?

? an ?

2 n?1 ? 5 2n ? 4

解法二: (I) a1 ? 1, 故b1 ?

? 2; 1 1? 2 7 1 8 a2 ? , 故b2 ? ? ; 7 1 3 8 ? 8 2 3 1 a3 ? , 故b3 ? ? 4; 3 1 4 ? 4 2 13 20 a4 ? , 故b4 ? . 20 3 4 4 2 8 4 2 (II)因 (b1 ? )( b3 ? ) ? ? ? ( ) , 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 (b2 ? ) 2 ? ( ) 2 , (b1 ? )( b3 ? ) ? (b2 ? ) 2 3 3 3 3 3 4 2 故猜想 {bn ? }是首项为 , 公比 q ? 2的等比数列 . 3 3
因 an ? 2 , (否则将 an ? 2 代入递推公式会导致矛盾)

1

故a n ?1 ? 因bn ?1 ?

5 ? 2a (n ? 1). 16 ? 8a n 4 ? 3 1 a n ?1 ? 2 an ? 1 2 1 2 ? ? 4 16 ? 8a n 4 20 ? 16a n ? ? ? , 3 6a n ? 3 3 6a n ? 3

4 2(bn ? ) ? 3
故 | bn ?

8 20 ? 16a n 4 4 ? ? bn ?1 ? , b1 ? ? 0, 3 6a n ? 3 3 3

4 | 确是公比为 q ? 2 的等比数列. 3
20

因b1 ?

1 n 4 4 2 4 1 ? , 故bn ? ? ? 2 n , bn ? ? 2 ? ( n ? 1) 3 3 3 3 3 3

由bn ?

1 1 an ? 2

1 得an bn ? bn ? 1, 2

故S n ? a1b1 ? a2b2 ? ? ? an bn

1 (1 ? 2n ) 1 5 3 1 ? n ? (2n ? 5n ? 1) ? (b1 ? b2 ? ? bn ) ? n ? 3 2 1? 2 3
解法三: (Ⅰ)由 bn ?

1 an ? 1 2

得an ?

1 1 ? , 代入递推关系 8an?1an ? 16an?1 ? 2an ? 5 ? 0, bn 2

整理得

4 6 3 4 ? ? ? 0,即bn?1 ? 2bn ? , bn?1bn bn?1 bn 3

8 20 由a1 ? 1, 有b1 ? 2, 所以 b2 ? , b3 ? 4, b4 ? . 3 3 4 4 4 4 2 (Ⅱ)由 bn ?1 ? 2bn ? , bn ?1 ? ? 2(bn ? ), b1 ? ? ? 0, 3 3 3 3 3 4 2 所以 {bn ? }是首项为 , 公比 q ? 2的等比数列 , 故 3 3

bn ?

4 1 n 1 4 ? ? 2 , 即bn ? ? 2n ? (n ? 1). 3 3 3 3
1 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2
1 ? anbn ? (b1 ? b2 ? 2 ? bn ) ? n

由bn ?

1

故Sn ? a1b1 ? a2b2 ?

1 (1 ? 2n ) 1 5 ?3 ? n ? (2 n ? 5n ? 1). 3 1? 2 3
解法四: (Ⅰ)同解法一 (Ⅱ) b2 ? b1 ?

2 4 8 2 8 4 , b3 ? b2 ? , b4 ? b3 ? , ? ? ( ) 2 3 3 3 3 3 3

2 1 猜想{bn ?1 ? bn }是首项为 , 公比q ? 2的等比数列 , bn ?1 ? bn ? ? 2 n 3 3 5 ? 2a n 又因a n ? 2, 故a n ?1 ? (n ? 1).因此 16 ? 8a n

bn ?1 ? bn ?

1 a n ?1 ? 1 2

?

1 an ? 1 2

?

1 2 ? 5 ? 2a n 1 2a n ? 1 ? 16 ? 8a n 2
21

?

16 ? 8an 10 ? 8an 6 ? ? ; 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3
1 an?2 ? 1 2 ? 1 a n ?1 ? 1 2 ? 16 ? 8a n ?1 16 ? 8a n ? 6a n ?1 ? 3 6a n ? 3

bn ? 2 ? bn ?1 ?

?
因b2 ? b1 ?

36 ? 24an 16 ? 8an 20 ? 16an ? ? ? 2(bn?1 ? bn ). 6an ? 3 6an ? 3 6an ? 3

2 1 ? 0,{bn ?1 ? bn }是公比 q ? 2的等比数列 , bn ?1 ? bn ? ? 2 n , 3 3

从而 bn ? (bn ? bn?1 ) ? (bn?1 ? bn?2 ) ? ? ? (b2 ? b1 ) ? b1

1 1 1 4 ? (2n ?1 ? 2n ? 2 ? ? 21 ) ? 2 ? (2n ? 2) ? 2 ? ? 2 n ? ( n ? 1). 3 3 3 3 1 1 由bn ? 得anbn ? bn ? 1, 1 2 an ? 2 1 故Sn ? a1b1 ? a2b2 ? ? anbn ? (b1 ? b2 ? ? bn ) ? n 2 1 (1 ? 2n ) 1 5 ?3 ? n ? (2 n ? 5n ? 1). 3 1? 2 3
类型 11 an?1 ? an ? pn ? q 或 an?1 ? an ? pqn 解法:这种类型一般可转化为 ?a2 n?1 ?与 ?a2 n ? 是等差或等比数列求解。 例: (I)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an?1 ? 6n ? an ,求 an (II)在数列 {an } 中, a1 ? 1, an an?1 ? 3n ,求 an 类型 12 归纳猜想法 解法:数学归纳法 变式:(2006,全国 II,理,22,本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,且方程 x2-anx-an=0 有一根为 Sn-1,n=1,2,3,… (Ⅰ)求 a1,a2; (Ⅱ) {an}的通项公式
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提示:1 Sn ? 1, n ? 1, 2,3,... 为方程的根,代入方程可得 (Sn ?1)2 ? an (Sn ?1) ? an ? 0 将 n=1 和 n=2 代入上式可得 a1 ?

1 2

a2 ?

1 6

22

2 求出 a1 , a2 , a3 , a4 等,可猜想 an ?
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1 并用数学归纳法进行证明,本题主要考察 一般 n(n ? 1)

数列的通项公式与求和公式间的关系 3 方程的根的意义(根代入方程成立)
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4

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数 学 归 纳 法 证 明 数 列 的 通 项 公 式 ( 也 可 以 把 an ?

1 分 开 为 n(n ? 1)

an ?

1 1 1 ? ? 然后求和,中间项均抵消, 只剩下首项和末项 ,可得 Sn n(n ? 1) n n ? 1

解:(Ⅰ)当 n=1 时,x2-a1x-a1=0 有一根为 S1-1=a1-1, 1 于是(a1-1)2-a1(a1-1)-a1=0,解得 a1= 2
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1 当 n=2 时,x2-a2x-a2=0 有一根为 S2-1=a2- , 2 1 1 1 于是(a2- )2-a2(a2- )-a2=0,解得 a1= 2 2 6 (Ⅱ)由题设(Sn-1)2-an(Sn-1)-an=0, 即 Sn2-2Sn+1-anSn=0 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1,代入上式得 Sn-1Sn-2Sn+1=0 ①
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1 1 1 2 由(Ⅰ)知 S1=a1= ,S2=a1+a2= + = 2 2 6 3 3 由①可得 S3= 4
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n 由此猜想 Sn= ,n=1,2,3,… n+1 下面用数学归纳法证明这个结论 (i)n=1 时已知结论成立
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……8 分

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k (ii)假设 n=k 时结论成立,即 Sk= , k+1 当 n=k+1 时,由①得 Sk+1= 故 n=k+1 时结论也成立
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k+1 1 ,即 Sk+1= , 2-Sk k+2

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n 综上,由(i)、(ii)可知 Sn= 对所有正整数 n 都成立 n+1 于是当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= 1 1 又 n=1 时,a1= = ,所以 2 1×2 {an}的通项公式 an= n ,n=1,2,3,… n+1
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……10 分

n-1 n 1 - = , n n+1 n(n+1)

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……12 分
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本题难度较大,不过计算较易,数列的前面一些项的关系也比较容易发现

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类型 13 双数列型 解法:根据所给两个数列递推公式的关系,灵活采用累加、累乘、化归等方法求解。 例 : 已 知 数 列 ?an ? 中 , a1 ? 1 ; 数 列 ?bn ? 中 , b1 ? 0 。 当 n ? 2 时 ,

1 1 a n ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) , bn ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ,求 an , bn . 3 3 1 1 解:因 an ? bn ? (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n ?1 ? 2bn ?1 ) ? an?1 ? bn?1 3 3
所以 an ? bn ? an?1 ? bn?1 ? an?2 ? bn?2 ? ? ? ? ? a2 ? b2 ? a1 ? b1 ? 1 即 an ? bn ? 1 …………………………………………(1)

1 1 1 (2a n ?1 ? bn ?1 ) ? (a n?1 ? 2bn?1 ) ? (a n ?1 ? bn ?1 ) 3 3 3 1 1 2 1 n ?1 所以 an ? bn ? ( a n ?1 ? bn ?1 ) ? ( ) a n ? 2 ? bn ? 2 ) ? …… ? ( ) ( a1 ? b1 ) 3 3 3 1 1 ? ( ) n ?1 .即 an ? bn ? ? ( ) n ?1 ………………………(2) 3 3 1 1 n ?1 1 1 n ?1 由(1) 、 (2)得: a n ? [1 ? ( ) ] , bn ? [1 ? ( ) ] 2 3 2 3
又因为 an ? bn ? 类型 14 周期型 解法:由递推式计算出前几项,寻找周期。

例:若数列 ?an ? 满足 a n ?1

1 ? 2a n , (0 ? a n ? ) ? 6 ? 2 ?? ,若 a1 ? ,则 a 20 的值为___________。 7 ?2a ? 1, ( 1 ? a ? 1) n n ? 2 ?

变式:(2005,湖南,文,5) 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, a n ?1 ?

an ? 3 3a n ? 1

(n ? N * ) ,则 a 20 =





A.0

B. ? 3

C. 3

D.

3 2

24


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