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苏州大学2014届高考考前指导卷(1)定稿

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苏州大学 2014 届高考考前指导卷(1)
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.不需要写出解答过程,请把答案 直接填在答题卡相应位置上 . ........ 1. 已知集合 A={x|x>5}, 集合 B={x|x<a}, 若 A B={x|5<x<6}, 则实数 a 的值为 2.设(1+2i)2=a+bi( a , b

? R ),则 ab= . . . .

3.若函数 f(x)=sin(x+φ)(0<φ<π)是偶函数,则 φ=

x2 y2 4. 已知双曲线 C:2- 2=1 的焦距为 10, 点 P(2,1)在 C 的渐近线上, 则 C 的方程为 a b 5.从 3 位男生 1 位女生中任选两人,恰好是一男一女的概率是________.
a 6.已知函数 y ? x 2 ? (a ? R ) 在 x ? 1 处的切线与直线 2 x ? y ? 1 ? 0 平行,则 a ? ________. x

7.图 1 是某学生的数学考试成绩茎叶图,第 1 次到第 14 次的考试成绩依次记为 A1,A2,…, A14.图 2 是统计茎叶图中成绩在一定范围内考试次数的一个算法流程图.那么算法流程图输 出的结果是________.

8.已知等差数列{an}的公差不为零,a1+a2+a5>13,且 a1,a2,a5 成等比数列,则 a1 的取 值范围为 . .

→ → BA· BC 9.在△ABC 中,若 AB=1, AC ? 3,| AB ? AC |?| BC | ,则 = → |BC|

10.在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,a=8,b=10,△ABC 的面积为 20 3, 则△ABC 的最大角的正切值是________.
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11.已知三棱锥 P ? ABC 的底面是边长为 3 的正三角形,其三条侧棱的长分别为 3,4,5, 则该三棱锥 P ? ABC 的体积为 .

12.已知函数 f(x)= |x2+2x-1|,若 a<b<- 1,且 f(a)=f(b),则 ab+a+ b 的取值范围 是 .

13.已知实数 a , b 分别满足 a 3 ? 3a 2 ? 5a ? 1 , b 3 ? 3b 2 ? 5b ? 5 , 则 a ? b 的值 为 .

c b 14.已知 A,B,C 是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,则 y= + 的最小值 a+b c 是 .

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内 作答,解答时应写出必 ........ 要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15.已知△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2acos B=ccos B+bcos C. (1)求角 B 的大小; (2)设向量 m=(cos A,cos 2A),n=(12,-5),求当 m· n 取最大值时,tan C 的值.

16.如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,已知 AB =1,BC = 2,CD = 4,AB∥CD,BC⊥CD,平 面 PAB ? 平面 ABCD,PA⊥AB. (1)求证:BD⊥平面 PAC; (2)已知点 F 在棱 PD 上,且 PB∥平面 FAC,求 DF:FP.
P F

A

B

D

C

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17.某创业投资公司拟投资开发某种新能源产品,估计能获得 10 万元到 1 000 万元的投资收 益.现准备制定一个对科研课题组的奖励方案:资金 y(单位:万元)随投资收益 x(单位: 万元)的增加而增加,且奖金不超过 9 万元,同时奖金不超过投资收益的 20%. (1)若建立函数 y=f(x)模型制定奖励方案,试用数学语言表述该公司对奖励函数 f(x)模 x 型的基本要求,并分析函数 y= +2 是否符合公司要求的奖励函数模型,并说明 150 原因; 10x-3a (2) 若该公司采用模型函数 y= 作为奖励函数模型, 试确定最小的正整数 a 的值. x+2

18.椭圆 C:

3 x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点分别是 F1 , F2 ,离心率为 ,过 F1 且垂直于 2 2 a b x 轴的直线被椭圆 C 截得的线段长为 1. (1)求椭圆 C 的方程; (2)点 P 是椭圆 C 上除长轴、短轴端点外的任一点,过点 P 作直线 l,使得 l 与椭圆 C 有 且只有一个公共点,设 l 与 y 轴的交点为 A,过点 P 作与 l 垂直的直线 m,设 m 与 y 轴的交点为 B,求证:△PAB 的外接圆经过定点.

y A P

O

x

B

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19.已知函数 f(x)=ax+ln x,g(x)=ex. (1)当 a≤0 时,求 f(x)的单调区间; x-m (2)若不等式 g(x)< 有解,求实数 m 的取值范围. x

20.已知无穷数列{an}的各项均为正整数,Sn 为数列{an}的前 n 项和. (1)若数列{an}是等差数列,且对任意正整数 n 都有 Sn3 ? (Sn ) 成立,求数列{an}的通
3

项公式; (2)对任意正整数 n,从集合{a1,a2,…,an}中不重复地任取若干个数,这些数之间经 过加减运算后所得数的绝对值为互不相同的正整数,且这些正整数与 a1,a2,…, an 一起恰好是 1 至 Sn 全体正整数组成的集合. (ⅰ)求 a1,a2 的值; (ⅱ)求数列{an}的通项公式.

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苏州大学 2014 届高考考前指导卷(1)参考答案
一、填空题 1.6 7.10 8.(1, +∞) 14. 2- 9. 1 2 10. 5 3 或- 3 3 11. 11 12.(-1,1) 13.2 2.?12 π 3. 2 x2 y2 4. - =1 20 5 5.
1 2

6.0

1 2 二、解答题 15.(1)由题意, 2sin Acos B=sin Ccos B+cos Csin B, 所以 2sin Acos B=sin(B+C)=sin(π-A)=sin A. 2 π 因为 0<A<π,所以 sin A≠0.所以 cos B= .因为 0<B<π,所以 B= . 2 4 (2)因为 m· n=12cos A-5cos 2A, 3 43 cos A- ?2+ . 所以 m· n=-10cos2A+12cos A+5=-10? 5 ? ? 5 3 4 π 4 所以当 cos A= 时,m· n 取最大值.此时 sin A= (0<A< ),于是 tan A= . 5 5 2 3 tan A+tan B 所以 tan C=-tan(A+B)=- =7. 1-tan Atan B 16.证明(1)∵平面 PAB ? 平面 ABCD,平面 PAB ? 平面 ABCD = AB, PA ? AB,PA ? 平 面 PAB,∴ PA ? 平面 ABCD.∵BD ? 平面 ABCD, ∴PA ? BD.连结 AC BD ? O ,∵AB = 1,BC = 2,CD = 4, ∴

AB BC 1 ? ? . BC CD 2

P F

∵AB∥CD,BC⊥CD, ∴ Rt?ABC ∽ Rt?BCD . A B ∴ ?BDC ? ?ACB . O ∴ ?ACB ? ?CBD ? ?BDC ? ?CBD ? 90? . D C 则 AC⊥BD.∵ AC PA ? A ,∴BD⊥平面 PAC. (2)∵PB // 平面 FAC,PB ? 平面 PBD,平面 PBD 平面 FAC= FO,∴FO∥PB,∴ DF DO . ? PF OB 又∵AB // CD,且

BO AB 1 ? ? ,∴DF:FP=4:1. OD CD 4

17.(1)设奖励函数模型为 y=f(x),按公司对函数模型的基本要求,函数 y=f(x)满足: x 当 x∈[10,1 000]时,①f(x)在定义域[10,1 000]上是增函数;②f(x)≤9 恒成立;③f(x)≤ 恒 5 成立. x 对于函数模型 f(x)= +2. 150

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当 x∈[10,1 000]时,f(x)是增函数,f(x)max=f(1 000)= 恒成立.

1 000 20 +2= +2<9,所以 f(x)≤9 150 3

1 10 x 但 x=10 时,f(10)= +2> ,即 f(x)≤ 不恒成立,故该函数模型不符合公司要求. 15 5 5 10x-3a 3a+20 20 (2)对于函数模型 f(x)= , 即 f(x)=10- , 当 3a+20>0, 即 a>- 时递增; 3 x+2 x+2 982 要使 f(x)≤9 对 x∈[10,1 000]恒成立,即 f(1 000)≤9,3a+18≥1 000,a≥ ; 3 10x-3a x 2 x 192 要使 f(x)≤ 对 x∈[10,1 000]恒成立, 即 ≤ , x -48x+15a≥0 恒成立, 所以 a≥ . 5 5 5 x+2 982 综上所述,a≥ ,所以满足条件的最小的正整数 a 的值为 328. 3

b b x2 y2 18.(1)由于 c =a -b ,将 x=-c 代入椭圆方程 2 ? 2 ? 1 ,得 y=± .由题意知 2 = a b a a
2 2 2

2

2

1,即 a=2b2,又 e=

c x2 3 ? y 2 ? 1. = , 所以 a=2,b=1. 所以椭圆 C 的方程为 2 a 4

(2)设 P(x0,y0)(y0≠0),则直线 l 的方程为 y-y0=k(x-x0).

? y ? kx ? y0 ? kx0 , ? 联立 ? x 2 2 ? ? y ? 1, ?4

2 2 整理得(1+4k2)x2+8(ky0-k2x0)x+4(y2 0-2kx0y0+k x0-1)=0.

2 2 由题意 Δ=0, 即(4-x2 又 0)k +2x0y0k+1-y0=0.

2 x0 2 2 2 ? y0 ? 1, 所以 16y2 0k +8x0y0k+x0= 4

0,故 k=-

x0 . 4 y0

x0 x 1 ? y0 y ? 1 ,令 x=0,解得点 A (0, ) , 4 y0 4 y0 x ? 3 y0 ,令 x=0,解得点 B (0, ?3 y0 ) , 又直线 m 方程为 y ? x0 1 2 △PAB 的外接圆方程为以 AB 为直径的圆方程,即 x ? ( y ? )( y ? 3 y0 ) ? 0 . y0
所以直线 l 方程为 整 理 得 : x ? y ? 3 ? y (3 y0 ?
2 2

? x 2 ? y 2 ? 3 ? 0, 1 解得圆过定点 ) ? 0 ,分别令 ? y0 ? y ? 0,

(? 3,0) .
1 19.(1)f(x)的定义域是(0,+∞),f′(x)=a+ (x>0), x 1° 当 a=0 时,f′(x)>0,∴f(x)在(0,+∞)上单调递增; 1 2° 当 a<0 时,由 f′(x)=0,解得 x=- , a 1 ? ? 1 ? 则当 x∈? ?0,-a?时,f′(x)>0,f(x)单调递增,当 x∈?-a,+∞?时,f′(x)<0,f(x)单调递
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减, 综上所述:当 a=0 时,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 1? ? 1 ? 当 a<0 时,f(x)在? ?0,-a?上单调递增,在?-a,+∞?上单调递减. x-m (2)由题意:ex< 有解,即 ex x<x-m 有解,因此只需 m<x-ex x,x∈(0,+∞)有解 x 即可, 1 ? ex 设 h(x)=x-ex x,h′(x)=1-ex x- =1-ex? x+ , 2 x? ? 2 x 1 1 因为 x+ ≥2 = 2>1,且 x∈(0,+∞)时 ex>1, 2 2 x 1 ? 所以 1-ex? x+ <0,即 h′(x)<0.故 h(x)在(0,+∞)上单调递减,∴h(x)<h(0)=0, 2 x? ? 故 m<0. 20.(1)设无穷等差数列{an}的公差为 d, 因 为 Sn3 ? (Sn )3 对 任 意 正 整 数 n 都 成 立 , 所 以 分 别 取 n = 1 , n = 2 时 , 则 有 :
3 ? ?a1=a1, ? 3 ?8a1+28d=?2a1+d? . ?

因为数列{an}的各项均为正整数,所以 d≥0. 可得 a1=1,d=0 或 d=2. 当 a1=1, d=0 时, an=1,Sn3 ? (Sn ) 成立; 当 a1=1, d=2 时, Sn=n2, 所以 Sn3 ? (Sn ) .
3 3

因此,共有 2 个无穷等差数列满足条件,通项公式为 an=1 或 an=2n-1. (2)(ⅰ)记 An={1,2,…,Sn},显然 a1=S1=1.对于 S2=a1+a2=1+a2,有 A2={1,2,…, Sn}={1,a2,1+a2,|1-a2|}={1,2,3,4},故 1+a2=4,所以 a2=3. (ⅱ)由题意可知,集合{a1,a2,…,an}按上述规则,共产生 Sn 个正整数. 而集合{a1,a2,…,an,an+1}按上述规则产生的 Sn+1 个正整数中,除 1,2,…,Sn 这 Sn 个正整数外,还有 an+1,an+1+i,|an+1-i|(i=1,2,…,Sn),共 2Sn+1 个数. 所以,Sn+1=Sn+(2Sn+1)=3Sn+1. 1 1 n ?1 1 1 n 1 1 S + ?,所以 Sn=?S1+ ?· 又 Sn+1+ =3? 3- . 2? 3 -2=2· ? 2 ? n 2? 2 1 n 1 ?1 n ?1 1? 3 -2?= 3n ?1 ,而 a1=1 也满足 an= 3n ?1 . 当 n≥2 时,an=Sn-Sn-1= · 3 - -?2· 2 2 所以,数列{an}的通项公式是 an= 3
n ?1



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