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高中数学椭圆双曲线和抛物线的总结及例题精讲


椭圆 2012 年高考文科数学

E: 1 . (2012 年高考(课标文) )设 F 1 , F2 是椭圆
直线 x ? A.

x2 y 2 ? =1( a > b >0)的左、右焦点, P 为 a 2 b2


1 2

3a 0 E 的离心率为 ( 上一点,△

F2 PF 1 是底角为 30 的等腰三角形,则 2 2 3 4 B. C. D. 3 4 5

x2 y 2 2 . (2012 年高考(江西文) )椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左、右顶点分别是 A,B,左、右 a b
焦点分别是 F1,F2.若|AF1|,|F1F2|,|F1B|成等比数列,则此椭圆的离心率为 A. ( )

1 4


B.

5 5

C.

1 2

D. 5-2

3. (2012 年高考(大纲文) )椭圆的中心在原点,焦距为 4,一条准线为 x ? ?4 ,则该椭圆的方

程为(

x2 y 2 ? ?1 A. 16 12

x2 y 2 ? ?1 B. 12 8

x2 y 2 ? ?1 C. 8 4

x2 y 2 ? ?1 D. 12 4

4 ( 2012 年高考(四川 文) ) 椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a 为定值,且 a ? 5) 的的左焦点为 F ,直线 a2 5

x ? m 与椭圆相交于点 A 、 B , ?FAB 的周长的最大值是 12, 则该椭圆的离心率是
______.
5(2012 年高考(重庆文) )(本小题满分 12 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ)小问 7 分)

已知椭圆的中心为原点 O ,长轴在 x 轴上,上顶 点 为 A , 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 , F2 , 线 段

OF1 , OF2

的中点分别为 B1 , B2 , 且△ AB1B2

是面积为 4 的直角三角形.(Ⅰ)求该椭圆的离心 率 和 标 准 方 程 ;( Ⅱ ) 过 B1 作 直 线 交 椭 圆 于

P, Q , PB2 ? QB2 ,求△ PB2Q 的面积

x2 y 2 5 2 6(2012 年高考(天津文) )已知椭圆 2 + 2 =1 (a >b>0) ,点 P( a, a) 在椭圆上. a b 5 2
(I)求椭圆的离心率. (II)设 A 为椭圆的右顶点, O 为坐标原点,若 Q 在椭圆上且满足 | AQ |?| AO | ,求直线

OQ 的斜率的值.

双曲线高考文科真题
一、选择题 1.(2007 宁夏海南文 2)双曲线 (A)3 2
2

x2 y2 ? ? 1 的焦距为 ( 10 2 (B)4 2 (C)3 3
2

) (D)4 3

【解析】由已知有 c ? a ? b ? 12, 所以 c ? 2 3, 故双曲线焦距为 4 3, 故选 D.
2

x2 y 2 2.(2009 浙江 9)过双曲线 2 ? 2 ? 1 (a>0,b>0)的右顶点 A 作斜率为-1 的直线,该直线 a b 1 与双曲线的两条渐近线的交点分别为 B , C ,若 AB ? BC ,则双曲线的离心率是 2
( ) (A) 2 【解析】由 AB ? (B) 3 (C) 5 (D) 10

1 2 1 BC , OB ? OA ? OC ,又直线 BC 的方程 y ? ? x ? a ,与渐近线交 2 3 3 2 2 a ab a ab , ), C ( ,? ) ,所以 点 B( a?b a?b a ?b a ?b ab 1 ab ?? ? ? 2a ? b ? 4a 2 ? c 2 ? a 2 ? e ? 5 。 a?b 3 a ?b
3.(2009 海南宁夏 4)双曲线 (A) 2 3 【解析】双曲线

x2 y2 ? ? 1 的焦点到渐近线的距离为( 4 12
(C) 3 (D)1



(B)2

x2 y2 ? ? 1 的一条渐近线是 y ? 3x, c ? 4 ? 12 ? 4 ,其一焦点的坐标 4 12
4 3 1 ? ( 3 )2 ? 2 3 。选 A

为(4,0) ,由点到直线的距离公式可得焦点到渐近线的距离为

4.(2009 安徽理 3)下列曲线中离心率为 (A)

6 的是( 2
(C)

)

x2 y2 ? ?1 2 4

(B)

x2 y2 ? ?1 4 2

x2 y2 ? ?1 4 6

(D)

x2 y2 ? ?1 4 10

【解析】? e ?

c c2 a2 ? b2 3 b2 1 ,? e 2 ? 2 ? ? ? ? ,选 B a 2 a a2 a2 2 x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左焦点 F,右顶点为 A,点 B 在椭圆 a 2 b2
)

5.(2009 浙江文 6)已知椭圆

上,BF⊥x 轴, 直线 AB 交 y 轴于点 P.若 AP ? 2 PB ,则椭圆的离心率是( (A)

3 2

(B)

2 2

(C)

1 3

(D)

1 2

【解析】由题意知,因为 AP ? 2 PB ,则 OA ? 2 AF ,? a ? 2c,? e ?

1 。选 D 2

6.(2009 天津文 4)设双曲线 线的渐近线方程为 ( (A) y ? ? 2 x

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲 a2 b2
) (C) y ? ?

(B) y ? ?2 x

2 x 2

(D) y ? ?

1 x 2

【解析】由题意知, 2b ? 2,2c ? 2 3, ?b ? 1, c ? 3,a ?

2 ,故双曲线的渐近线方程为

y??

2 x ,选 C 2

7.已知 m,n 为两个不相等的非零实数,则方程 mx-y+n=0 与 nx2+my2=mn 所表示的曲线可 能是( ) y o y o y o y o

x

x

x

x D

A 【解析】选 C

B

C

8.(2009 福建文 4)若双曲线 A.2

x2 y2 ? ? 1 的离心率为 2,则 a 等于( a 2 32 3 B. 3 C. D.1 2



【解析】由离心率公式,选 B

二、填空题 9.(2008 山东文 13)已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 6x ? 4 y ? 8 ? 0. 以圆 C 与坐标轴的交点分别作为双 曲线的一个焦点和顶点,则适合上述条件的双曲线的标准方程为
2 2

.[

【解析】令 y ? 0 得 x ? 2或x ? 4 符合条件的双曲线 a ? 2, c ? 4, ?b ? c ? 16 ? 4 ? 12 且

x2 y 2 ? ? 1. 焦点在 x 轴上。? 双曲线方程为: 4 12
10.(2009 上海春文 7)过点 A( 4, ? 1 ) 和双曲线 【 解析】双曲线

x2 y2 ? ? 1 右焦点的直线为 9 16

.

y ? x ? 5.

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点为(5,0) ,过(4,-1)和(5,0)两点的直线方程为 9 16

11.(2007 宁夏海南 13)已知双曲线的顶点到渐近线的距离为 2,焦点到渐近线的距离为 6, 则该双曲线的离心率为 .

【解析】设焦点在 x 轴上,渐近线为 y ? ?

b x, 顶点到渐近线 d1 ? a

b 1? b2 a2

?

ab ? 2, 焦点 c

b ?c c a d ? ? b ? 6. 则 c ? ? 3. 到渐近线距离 2 2 a b 1? 2 a
12.(2009 辽宁 16)已知 F 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左焦点,A(1,4),P 是双曲线右支上 4 12


的动点, 则|PF|+|PA|的最小值为

【解析】设双曲线的右交点为 F1 ,则由双曲线的定义可知 PF ? 2a ? PF 1 ? 4 ? PF 1 ,所 以当满足|PF 1 |+|PA|最小时就满足|PF|+|PA|取最小值。 由双曲线的图像可知当点 A,P,F 1 共 线时,满足|PF 1 |+|PA|最小,而 AF1 即为|PF 1 |+|PA|的最小值, AF1 =5,故所求最小值 为 9. 三、解答题 13.已知双曲线与椭圆

x2 y2 4 ? ? 1 共焦点,且以 y ? ? x 为渐近线,求双曲线方程. 3 49 24
x2 ? y 2 ? 1, P 是双曲线上一点. 4

14.(2008 上海 18)已知双曲线

(1)求证 P 点到双曲线两条渐进线的距离的乘积是一个定值;(6 分) (2)已知点 A(3,0) ,求 PA 的最小值. (9 分)

【解析】 ( 1 )设 P( x1 , y1 ) 是双曲线上任意一点,该双曲线的两条渐近线方程分别是

x ? 2 y ? 0 和 x ? 2 y ? 0, 点P( x1 , y1 ) 到两条渐近线的距离分别是
它们的乘积是

| x1 ? 2 y1 | | x1 ? 2 y1 | 和 . 5 5

| x1 ? 2 y1 | | x1 ? 2 y1 | | x12 ? 4 y12 | 4 ? ? ? , 5 5 [来源:Z_xx_k.Com] 5 5
∴点 P 到双曲线 C 的两条渐近线的距离的乘积是一个常数. (2)设 P 的坐标为 ( x, y ) ,则 | PA | 2 ? ( x ? 3) 2 ? y 2

x2 5 12 4 ?1 ? (x ? )2 ? . 4 4 5 5 12 4 2 5 ?| x |? 2 ,? 当x ? 时 ,|PA|2 的最小值为 ,即|PA|的最小值为 . 5 5 5 ? ( x ? 3) 2 ?

抛物线高考文科真题
一、选择题 1.(2007 宁夏海南文 7)已知抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) 、
P3 ( x3 , y3 ) 在抛物线上,且 2 x2 ? x1 ? x3 ,则有(

)
2

A. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 C. 2 FP2 ? FP 1 ? FP 3 【解析】

B. FP 1 ? FP 2 ? FP 3 D. FP2 ? FP 1 ? FP 3
2

2

2

| FP 1 |? x1 ?

p p p , | FP2 |? x2 ? , | FP3 |? x3 ? , 2 2 2 2 | FP | ? 2 x ? p ? x ? x ? p ? | FP | ? | FP 2 2 1 3 1 3 | . 故选 C.
2

y 2.(2009 山东文 10)设斜率为 2 的直线 l 过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点 F,且和 轴交
于点 A,若 ?OAF (O 为坐标原点)的面积为 4,则抛物线方程为( (A) y ? ?4
2



(B) y ? ?8x
2 2

(C) y ? 4 x
2

(D) y ? 8x
2

a 【解析】不论a值正负,过抛物线 y ? ax(a ? 0) 的焦点坐标都是 ( ,0) ,故直线 l 的方程 4
为 y ? 2( x ?

a a 1 a a a2 ), 令 x ? 0 得 y ? ? , 故 ?OAF 的 面 积 为 ? ? ? ? ? 4 ,故 4 2 2 4 2 16

a ? ?8 。选B
二、填空题 3.(2007 广东文 11)在平面直角坐标系 xOy 中,已知抛物线关于 x 轴对称,顶点在原点 O,且过 点 P(2,4), 则该抛物线的方程是 .
2 【 解析】设抛物线方程 y ? ax , 又抛物线图象过 p(2, 4), 则 16 ? 2a, ? a ? 8,? y ? 8x.

2 4.(2008 上海文 6)若直线 ax ? y _ 1 ? 0 经过抛物线 y ? 4 x 的焦点,则 a=

.

【解析】抛物线 y ? 4 x 的焦点 F (1, 0) 在直线 ax ? y ? 1 ? 0 上,? a ? 1 ? 0, a ? ?1.
2

5.(2009 上海春 5)抛物线 y 2 ? x 的准线方程是 【解析】由 y 2 ? x ,得 2 p ? 1, 故准线方 程为 x ? ?

.

p 1 ,即x ? ? . 2 4
0

6.(2009福建理13)过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F作倾斜角为45 的直线交抛物线于A、 B两点,线段AB的长为8,则 p ? . 【解析】设点 A, B 的坐标分别为 ( x1 , y1 ) , ( x2 , y 2 ) ,过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点F 作倾斜角为4 5 的直线方程为 y ? x?
0

p p , 把 x ? y ? 代 入 y 2 ? 2 px( p ? 0) 得 , 2 2

y 2 ? 2 py ? p 2 ? 0 。因为 AB ? 8 ,所以

y1 ? y2 ? 4 2,?( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? (4 2 ) 2 , ?(2 p)2 ? 4 ? (? p 2 ) ? 32,? p ? 2。

? 2 7.(2009 上海文 9)过点 A(1,0)作倾斜角为 4 的直线,与抛物线 y ? 2 x 交于 M 、N 两
点,则

MN =



2 【解析】 由已知条件可得直线方程为 y ? x ? 1 , 代入抛物线方程可得 y ? 2 y ? 2 ? 0 , 设

M(

x1 , y1 ),N( x2 , y2 ), 由 y1 ? y2 ? 2, y1 y2 ? ?2 可得
| MN |? ( x1 ? x2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? ( y1 ? y2 ) 2

? 2 ? ( y1 ? y2 ) 2 ? 4 y1 y2 ? 2 ? 22 ? 8 ? 2 6
8.(2009 海南宁夏文 14)已知抛物线 C 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上,直 线 y ? x 与抛 物线 C 交于 A,B 两点,若 P(2,2) 为 AB 的中点,则抛物线 C 的方程为
2

.

【 解 析 】 设 抛 物 线 的 方 程 为 y ? ax(a ? 0) , 由 方 程 组 ?
2

? y ? ax 得交点坐标为 ?y ? x

A(0,0), B(a, a) , 而点 P(2,2) 是AB的中点, 从而有 a ? 4 , 故所求抛物线C的方程为 y 2 ? 4 x 。
三、解答题 9.(2008 广东文 20)设 b ? 0, 椭圆方程为

x2 y2 ? ? 1 抛物线方程为 x 2 ? 8( y ? b). 如图所 2b 2 b 2

示,过点 F (0, b ? 2)作x 轴的平行线,与抛物线在第一象限的交点为 G.已知抛物线在点 G 的切线经过椭圆的右焦点 F1.求满足条件的椭圆方程和抛物线方程。 【解析】由 x ? 8( y ? b) 得 y ?
2

当 y ? b ? 2 得 x ? ?4 ,? G 点的坐标为 (4, b ? 2) ,

1 2 x ?b, 8

1 x , y ' |x ? 4 ? 1 , 4 过点 G 的切线方程为 y ? (b ? 2) ? x ? 4 即 y ? x ? b ? 2 , 令 y ? 0 得 x ? 2 ? b ,? F 1 点的坐标 为 (2 ? b, 0) ,由椭圆 y'?
方程得 F 1 点的坐标为 (b, 0) ,

? 2 ? b ? b 即 b ? 1 ,即椭圆和抛物线的方程分别为

x2 ? y 2 ? 1和 x2 ? 8( y ? 1) 2

10.(2009 浙江文 22)已知抛物线 C : x 2 ? 2 py( p ? 0) 上一点 A(m,4)到其焦点的距离为

17 .求 p 与 m 的值。 4
【解析】由抛物线的定义,得

p 17 1 4 ? ( ? ) ? , 又 m 2 ? 8 p ,所以 p ? , m ? ?2. 2 4 2

x2 y 2 11.(2009 福建文 22) 已知直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 经过椭圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左顶点 a b A 和上顶点 D,椭圆 C 的右顶点为 B ,点 S 是椭圆 C 上位于 x 轴上方的动点,直线 AS , BS 10 与直线 l : x ? 分别交于 M , N 两点。 3 (I)求椭圆 C 的方程;
(Ⅱ)求线段 MN 长度的最小值。 【解析】 (I)由已知得,椭圆 C 的左顶点为 A(?2,0) , 上顶点为 D(0,1) ? a ? 2, b ? 1. 故椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4
10 16 k , ). 3 3 [

(Ⅱ)直线 AS 的斜率 k 显然存在, 且 k ? 0 ,故可设直线 AS 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,从而 M (

? y ? k ( x ? 2), ? 由 ? x2 2 ? ? y ?1 ?4

得 (1 ? 4k ) x ? 16k x ? 16k ? 4 ? 0.
2 2 2 2

16k 2 ? 4 2 ? 8k 2 4k , 从而y1 ? 设 S ( x1 , y1 ), 则 (?2) ? x1 ? ,得 x1 ? 2 2 1 ? 4k 1 ? 4k 2 1 ? 4k 1 2 ? 8k 2 4k , ) ,又 B(2,0). 故直线 BS 的方程为 y ? ? ( x ? 2). 即 S( 2 2 4k 1 ? 4k 1 ? 4k 1 10 ? ? y ? ? ( x ? 2), x? , ? ? 10 4 ? ? 4k 3 ? N ( ,? ) 由? 得? 3 3k ? x ? 10 ?y ? ? 1 , ? ? 3 3k ? [ ] ?
16 k 1 16k 1 16k 1 8 ? | 又 k ? 0,? | MN |? ? ?2 ? ? , 3 3k 3 3k 3 3k 3 16 k 1 1 ? 当且仅当 ,即 k ? 时 等号成立。 3 3k 4
故 | MN |?|

?k ?

1 8 时,线段 MN 的长度取最小值 . 4 3

四、证明题 12.若 AB 是抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点弦(过焦点的弦) ,且 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) , 求证:

p2 x1 x2 ? , y1 y2 ? ? p2 。 4
证明:因为焦点坐标为 F(

p ,0), 当 AB 不垂直于 x 轴时,可设直线 AB 的方程为: 2

p y ? k(x ? ) , 2
由 ? y ? k ( x ? 2 ) 得: ky 2 ? 2 py ? kp2 ? 0 ∴ y1 y2 ? ? p2 x1 x2 ? 1 ? 2 ? 。 ? 2 ? 2 p 2 p 4 p 4 2
? y ? 2 px ? ? p

y2 y

2

p4

p2

当 AB⊥x 轴时,直线 AB 方程为 x ? 有: x1 x2 ?

p ,则 y1 ? p , y2 ? ? p ,∴ y1 y2 ? ? p2 ,同上也 2

p2 。 4

13.已知直线 AB 是过抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) 焦点 F,求证: 1 ? 1 为定值。
AF BF

证明:设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,由抛物线的定义知: AF ? x1 ?

p p , BF ? x2 ? ,又 2 2 2 p 。 AF + BF = AB ,所以 x1 + x2 = AB -p,且由前一题结论知: x1 x2 ? 4

AB AB AB 2 则: 1 ? 1 ? AF ? BF ? = ? ? (常数) 2 2 2 p p p p p AF BF AF ? BF ( x ? p )( x ? p ) p x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? ? ( AB ? p) ? 1 2 2 2 2 4 4 2 4


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