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教学及高考中的阿波罗尼斯圆

时间:2011-01-25


 

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中 数  学节
2 9 第 4 L= 】 ∞ 年 期 t旬  

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王雪峰 ( 北大 学数学 系数学 教育研 究生 ) 西  

1 阿波罗尼斯及其《   圆锥 曲线论》  
阿波 罗尼斯 , 约公 元 前 2 2 6 ~前 10 古 希腊 人 , 9,   其英文名 称为 A olnu fP r a 由于 习惯 不 同 有  p l iso  eg , o

2 阿波罗尼斯圆的证 明及相关性质   
当 已知两 点 A、 B及 定值 ( ≠1 , 们用 解析法    )我 完 全 可以证 明 : A、 与 B距 离 之 比等于  的点 的 轨迹 

些文献 上将其 名称 翻译为“ 阿波罗 尼 奥斯 ” 他 年轻 时  . 去亚历 山大城 向欧几 里德 的后继者 学 习数 学 , 嗣后 他  卜 居该地 和 当地 的大数 学家合 作研 究. 阿波 罗 尼斯 的  研究广泛 , 贡献 涉 及几 何 学 与 天文 学 等 , 他 最 主要  但 的数学成 就是 在前 人 的 基础 上 创 立 了相 当完 美 的 圆  锥曲线理 论 , 的巨著《 他 圆锥 曲线论 》 C nc ) 是这  ( oi 就 s
方面 的系统总结 .  

为 圆. 问题是 , 若每题 都采用 解析 法求 出圆 的方 程 , 定  出 圆心及半径 , 再作 出 圆, 然很 费事 , 别是 对一 些  显 特 选择题 或填空 题有点 小题 大做 , 能否 找 出阿波 罗尼斯  圆的 简捷作法 ?下述 定理 给出 明确 答案 .  
定理 A、 为 两 已 知 点 , B  

P、 Q分 别 为线 段 AB 的 定 比   为  (≠ 1 的 内 、 分 点 , 以   ) 外 则  

这本 书是 在前 人们奈 赫莫斯 ( n eh s 公元  Me ac mu , 前 4世 纪 ) 阿 里 斯 泰 奥 斯 ( r te s 约 公 元 前  、 A iau , s 3 0 、 几里得 ( u l , 4)欧 E ci 约公元 前 3 0 前 2 5 和 阿  d 3~ 7) 基米德 ( c i d s 公 元前 2 7 前 2 2 等 的研 究  Arhme e , 8~ 1) 基 础上 , 上他 自己的独 创成果 , 加 以全新 的理 论 , 欧  按 几 里得《 几何 原本 》 的方 式 ( 即后来 所 称 的 “ 学公 理  数 化 体系” 写 出_ . 把 综 合几 何 发 展到 最 高水 平. ) 1他 ] 这  著作将 圆锥 曲线 的 性 质 网 络殆 尽 , 几乎 使 将 近 2  O 个世 纪 的后 人 在 这 方 面 没有 增 添 多 少 新 内容 ( 到  直 1 世 纪 笛 卡 尔 、 斯 卡 出场 之 前 , 终 无 人 能 够 超  7 帕 始 越 ) 关 于 这 本 书 的 难 度 开 普 勒 (o a n sKe lr . J h n e  pe ,   1 7 ~1 3 ) 5 1 6 0 曾说 :我力 荐人们 去读 一读 阿 波罗尼 斯  “ 的《 圆锥 曲线 论 》 他 将 发现 有 些 问题 是 : , 没有 哪 个 有  才智 的人 , 不论 是 多 么有 天 分 的 , 以将 他表 述 为 仅  可 凭浏 览就可 以明 白的方 式. 得需 要 深 思 熟 虑 , 那 并且  仔细盘 想好所说 的内容 才行 ” 摘 自“n Ne   to — ( i   w Asrn 


P Q为直 径 的oo上 任 意点 到  A、 B两 点 的距 离 之 比等 于 常 
数 . 如 图所示 ) (   证 明 :  > 1为 例 . 以   设A B=a过 B作 o0 的 与直 径 P 垂 直 的 弦 C   , Q D,

舭 P ,一 , = ,= .   P南 A  B   B Q Q
由相 交弦定 理及勾 股定理 有 
Bc 一 PB ?BQ—  
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上 

A 。A  B2a   一 C= B+ C_ 。 “   +憎
强 B   C一 , - AC-  

,  
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, 且 



o y Ch p e 5 ”)  m   a tr9 .

从 而 , Q、 同时 在 到 A、 两 点距 离 之 比等 于  P、 c B 的曲线 ( 即圆) , 不共 线 的三 点所 确 定 的 圆是 唯  上 而 的, 因此 , o0上 任意点 到 A、 B两 点 的距离 之 比等 

在《 圆锥 曲线论 》 , 中 阿波罗尼 斯第 一次 从 一个对  顶 圆锥 ( 直或斜 ) 得到所 有 的圆锥 曲线 , 并给 它 们正式  命名 , 现在 通用 的椭 圆 (lp e 、 曲线 ( y eb l) el s) 双 i h p roa  和抛 物线 (aa oa就 是 他 提 出 的. 圆 锥 曲线 论 》 p rb l) 《 可 

于常数 .   根 据 以上过程 , 关于 阿波罗尼 斯 圆我们 还有 如下 

以说是 希腊演绎 几何 的最高成就 [ . 2  ] 在 这本晦涩 难懂 的书 中有一 个 著名 的几 何 问题 :   “ 在平 面上给定 两点 A、 设 P点 在 同一 平 面上 且满  B,
D 

足 


一 , 当  大 于 0且 ≠ 1时 , 点 的 轨迹 是 个  P

上 J 

显而易 见 的性 质 , 证明均 已略去 , 别 的仅 做说 明. 其 个   ( )  > 1 , B在 o0 内 , A 在o0外 ; 1当 时 点 点 当  o <1时 , A在 ④0内 , B在 (0外 ; <  点 点 三 )   ( ) AC 一AP ? 2因 。 AQ, AC为 oo 的一 条 切  故 线 . 已知 o0及 o0外 一点 A , 可作 出 与 点 A 对  若 则 应 的点 B. 要过 点 A 作 o0两 条切 线 , 只 切点 分 别 为  C、 连 结 C 与 AQ 即交 于 点 B. 之 , D, D 反 可作 出 与点 
B对 应的点 A;  

圆”这 个 圆我们 称之 为“ , 阿波 罗尼斯 圆” 这 个结论 称  , 作“ 阿波罗尼斯 轨迹” .  

( 下转第 6 2页 )  

数 

6 2

一  

苎  墼学   奎
2 09年 第 4 U=龟} O 期 l  

—    f …一一 ‘ _i  一中学 ,  ∞一 J _ -   蓝 囊4 - 角   -  

∞ 教膏  
彭  刚( 广西 师范大 学数学科 学学 院)  
W iho   W o ds  Ex r ie   i  V iu l T h nk ng t ut r : e cs s n s a  i i  

1 引言   
近年来 , 以美 国 L wi e s& C ak大学 教 授 Ro e lr gr  

( 9 3 以 及 Pr o sW i o tW o d   I 19 ) o f  t u  r sI:M o e Ex r i h r  e c—  

s si  s a  ikn ( 0  )由 Th   t e tc l e   Viu lTh n ig 2 0 n 1 e Mah maia 

B esn为 首的一些 数学 家特别关 注将 数学命 题 用  .N l e 简单 、 有创意 而且 易 于理 解 的几何 图形 来 呈 现 , 就  这 是所谓 的“ 字证 明” po f to tw rs , 内容  无 ( ro  h u  o d ) 其 wi 涵盖代 数 、 几何 、 三角 、 微积分 以及 组合 数学 等众 多 数  学分 支 , 相关 文章发 表在 Mah mai   g z e F — t e t sMa ai , o  c n
r m  o erc r m , eColg   a h ma isJ u — u Ge m tio u Th   l eM t e tc o r  e

Asoit no  s c i  f ao Amei r a相继 出版 , 数学教 育产生 了  c 对
深 远 的 影 响.  

2 历 史上 的 无 字 证 明 
无 字 证 明 的思 想历 史 悠久 , 在 公元 3世 纪 , 早 我  国数学 家赵 爽在 注 《 髀算 经 》 周 时用 以证 明勾 股 定理  的 “ 图” 如 图 1 后 被设计 为北京 2 0 弦 ( , 0 2年 国际数学 

nl a 等多个 杂 志 上 . 中, l n教 授 主 编 的 P o f 其 Nes e ros  
( 接第 6 上 l页 )   ( 所作 出 的阿 波罗 尼斯 圆 的直径 为 P 3) Q 
一  



圆面 为( ) 的积 耳     ;  

()20 2 (0 5年 高考 数 学江 苏卷 ) 1 o 2 O0 与 0 的半  径都是 10 0 —4 过动 点 P分 别作 o l与o  的  ,  2 , O 02 切线 P M、PN ( 、 分 别 是 切 点 ) 使 得 P M N , M 


() 4 过点 A 作 (0 的切线 AC( 三 ) C为切 点 ) , P、 后 C   C Q分别 为  AC 的内 、 角平分线 ; B 外   ( ) 点 B 作 o0 的不 与 C 重 合 的 弦 E 则  5过 D F, AB 平 分  E .因 为 BC 一 B ?B B 。 A   AF   E F, C 一 B
?

√ P 试 建 立适 当 的坐 标 系 , 2 N, 并求 动 点 P 的 轨迹 

方程.  

( )( 0 6年 高 考 数 学 四 川 卷 )已 知 两 定 点  3 20 A( , )B( , ) 如果 动点 P满足 l Al I 一2 0 、 1 O , P 一2 PBI ,   则点 P的轨迹 所包 围的 面积等于 (   ) .  
A.c 7   B.   4n C. n 8   D. n 9  

B 所 以 BE ?BF: AB ?B0, 而 A 、 o、 四  0, 从 F、 E

点 共 圆, AB平分  E . AF 

()20 4 ( 0 8年 高考数 学 江苏卷 ) 足 条件 AB一2  满 ,

3 教 学 及高 考 中 的 阿 波 罗 尼斯 圆 
在人教 版 课 本 《 面 解 析 几 何 》 必 修 ) 6 平 ( 第 8页  上 , 如下 的一道例 题 : 有   “ 已知 一 曲线 是与两个 定点 o 0 0 、 3 0 的距  ( ,) A( , )
1  

AC = ̄ B C的△ABc的面积 的最 大值是 

.  

离 比为÷ 的点 的轨迹 , 求这 个 曲线 的方 程 , 画 出 曲 并  
线. 求 得 的结 果是 以 C( , ) ” 一1 0 为圆 心 , r 以 一2为 半 
径 的 圆 , ( 1 + Y 一4 ( 略 ) 即  + ) 。 .图  

教 材上并 没有 明确的指 出这是 阿 波罗 尼斯 圆 , 但  经过上 面的讨论 及证 明其结 果是显 而 易见 的. 我们 可  以再 给出一 道 例 题 : 设 复 数 z   +y ( Y∈R) “ — iz, 且  l 一1 一2 z 1 , 复 数 z对 应 的 点 的轨 迹 ” 易 知       +  求 z l 1   I ,
,   C 、2   1C    

以上 试题充 分彰显 着新课 标 的要求 : 得必要 的  获 数学基 础知识 和基 本 技 能 , 理解 基 本 的 数学 概 念 、 数  学结 论 的本 质 , 了解 概念 、 论 等 产 生 的背 景 、 结 应用 ,   体会 其 中所蕴涵 的数 学思 想 和 方法 以及 它们 在 后 续  学 习 中的作 用. 过不 同形式 的 自主学 习 、 通 探究 活 动 ,   体验 数学 发现和创 造 的历程. 阿波 罗尼斯 圆在 数学 学  习 和数 学 解 题 中发 挥 着 很 大 的作 用 , 中学 教 师 在 平 时  的教 学 中要 重视 渗透和 应用它.   注 : 圆锥 曲线 论 》 有八 册 , 《 共 阿拉伯 版本 的《 圆锥  曲线论 》 七 册 被 保 留下 来 , 今 翻译 的 英文 版 本 较  前 现 多, 但多少都有纰漏之处. 而大陆现 有 的汉语 版本仅 有  《 圆锥 曲线论 》 的前 四册可供参考 ( 即参考文献[ ] . 1)  
参 考 文献  1 朱 恩 宽 , . 波 罗 尼 奥 斯 圆 锥 曲 线 论 ( I~ Ⅳ ) M3 西  等 阿 卷 [ .

其题解的代数形式为f  +昔 1   一 , +   即圆口. ]  
、   0 ,  

近 几年 来 , 波 罗 尼斯 圆在 高 考 中是 一 个亮 点 , 阿   有 关这类 考题屡 见不鲜 . 请欣 赏 :   ()20 1 ( 0 3年 北 京 春 季 高 考 卷 ) A( f 0 ,   设 一 ,) B ( , )f 0 为 两 定 点 , 点 P 到 点 A 的 距 离 与 到 点  c0 ( > ) 动 B 的距离 的 比为定值 a n ) 求点 P 的轨 迹. ( >0 ,  

安 : 西 科 学 技 术 出 版 社 ,0 7 陕 20  2 李 文 林 . 学 史 概 论 ( 二 版 ) M3 北 京 : 等 教 育 出版  数 第 [ . 高
社 ,0 2 2 0 

3 穆 金 陵. 波 罗尼 斯 圆 与数 学 巨 匠 阿 波 罗 尼 斯 [] 中 学 生  阿 J.
数 学 ,0 2 8 2 0 ,