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2015年高三期末东城文试卷


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北京市东城区2014-2015学年度第一学期期末高三数学(文科)
一、 选择题
1. 已知集合 A = {x ∈ Z | ? 1 A. {0, 2} C. {?1, 0, 2, 4} x 2} ,集合 B = {0, 2, 4} ,则 A ∩ B = ( B. {0, 2, 4} D. {?1, 0, 1, 2, 4} )


2. 下列函数中,既是奇函数,又在区间 (0, +∞) 上为增函数的是( A. y = ln x C. y = 3x B. y = x2 D. y = sin x



3. 设 x ∈ R ,则“ x > 1 ”是“ x2 > 1 ”的( A. 充分而不必要条件 C. 充分必要条件

) B. 必要而不充分条件 D. 即不充分也不必要条件

4. 当 n = 3 时,执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为(



A. 6

B. 8

C. 14

D. 30

5. 已知 cos α = 3 A. 8

π 3 , α ∈ ? , 0 ,则 sin 2α 的值为( ) 4 2 √ 3 3 7 B. ? C. 8 8

√ 3 7 D. ? 8

2 6. 如图所示,为了测量某湖泊两侧 A , B 的距离,某同学首先选定了与 A , B 不共线的一点 C ,然 后 给 出 四 种 测 量 方 案: ( ABC 的 角 A , B , C 所 对 的 边 分别 记 为 a , b , c )① 测 量 A , C ,

b ;② 测 量 a , b , C ;③ 测 量 A , B , a ;④ 测 量 a , b , B , 则 一 定 能 确 定 A , B 间 距 离 的 所 有方案的序号为( )

A. ①②③

B. ②③④

C. ①③④

D. ①②③④

→ ? → ? ? ? ? ? 7. 已知向量 → a = (1, 3) , b = (m, 2m ? 3) ,平面上任意向量 → c 都可以唯一地表示为 → c = λ→ a +? b ( λ, ? ∈ R ) ,则实数 m 的取值范围是( A. (?∞, 0) ∪ (0, +∞) C. (?∞, ?3) ∪ (?3, +∞) ) B. (?∞, 3) D. [?3, 3)

8. 已知两点 M (?1, 0) , N (1, 0) ,若直线 y = k (x ? 2) 上至少存在三个点 P ,使得 角三角形,则实数 k 的取值范围是( 1 1 A. ? , 0 ∪ 0, 3 3 ? ò 1 1 C. ? , 3 3
? ? ? ò

M N P 是直

) B.

? √

? ? √ ? 3 3 ? , 0 ∪ 0, 3 3

D. [?5, 5]

二、 填空题
9. 若抛物线的方程为 y 2 = 4x ,则其焦点到准线的距离为 10. 若 2+i = 1 + mi (m ∈ R) ,则 m = i . cm . .

11. 某几何体的三视图(单位: cm )如图所示,则该几何体最长棱的棱长为

3
? ? ? x ? ? ? ?

1, 4, 0,
? ? ??

12. 若实数 x , y 满足

x+y ? ? ? ? ? ?

则 z = 2x + y 的最大值为

.

x ? 2y ? 1 x > 0, x 0,

13. 已知函数 f (x) =

? ? ?log2 x, ? ?4x ,

则f f .

1 2

=

;若函数 g (x) = f (x) ? k 存在两个

零点,则实数 k 的取值范围是

14. 商场对顾客实行购物优惠活动,规定一次性购物付款要求如下: ①如果一次性购物不超过 200 元,则不给予优惠; ②如果一次性购物超过 200 元但不超过 500 元,则按标价给予 9 折优惠; ③如果一次性购物超过 500 元,则 500 元按第②条给予优惠,剩余部分给予 7 折优惠. 甲单独购买 A 商品实际付款 100 元,乙单独购买 B 商品实际付款 450 元,若丙一次性购买 A , B 两件商品,则应付款 元.

三、 解答题
π 15. 已知函数 f (x) = A sin ωx ? ( A > 0 , ω > 0 )的 最 大 值 为 2 , 其 图 象 相 邻 两 条 对 称 轴 之 间 的 6 π 距离为 . 2 (1)求 f (x) 的最小正周期及解析式; π α (2)设 α ∈ 0, ,且 f = 1 ,求 α 的值. 2 2 16. 已知数列 {an } 是等差数列,数列 {bn } 是公比大于零的等比数列,且 a1 = b1 = 2 , a3 = b3 = 8 . (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)记 cn = abn ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Sn . 17. 在三棱锥 P ? ABC 中, P B ⊥ 底面ABC , ∠BCA = 90? , M 为 AB 的中点, E 为 P C 的中 点,点 F 在 P A 上,且 AF = 2F P .

(1)求证: AC ⊥ 平面P BC ; (2)求证: CM 平面BEF ;

4 (3)若 P B = BC = CA = 2 ,求三棱锥 E ? ABC 的体积. 18. 为 普 及 宪 法 知 识, 某 中 学 举 行 了 首 届“宪 法 知 识 大 赛”活 动, 为了了 解 本 次 竞 赛 学 生 的 成 绩 情 况, 从中 抽 取 了 部 分 学 生 的 分 数(得 分 取 正 整数, 满 分 为 100 分)作 为 样 本(样 本 容 量 为 n )进 行 统 计,按照 [50, 60) , [60, 70) , [70, 80) , [80, 90) , [90, 100] 的分组作出频率分布直方图,并作出 样本分数的茎叶图(图中仅列出了得分在 [50, 60) , [90, 100] 的数据) .

(1)求样本容量 n 和频率分布直方图中的 x , y 的值; (2)在选取的样本中,从竞赛成绩在 80 分以上(含 80 分)的学生中随机抽取两名学生参加“全 民宪法知识大赛” ,求所抽取的两名学生中至少有一人得分在 [90, 100] 内的概率. 19. 已知椭圆 C1 : x2 + y 2 = 1 ,椭圆 C2 的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,与 C1 有相同的离心率, 4 且过椭圆 C1 的长轴端点.

(1)求椭圆 C2 的标准方程; ? ? → ? → (2)设 O 为坐标原点,点 A , B 分别在椭圆 C1 和 C2 上,若 OB = 2OA ,求直线 AB 的方程. 20. 已知函数 f (x) = a ln x ? bx2 , a, b ∈ R . (1)若 f (x) 在 x = 1 处与直线 y = ? (2)在(1)的条件下,求 f (x) 在 (3)若不等式 f (x)
?

1 相切,求 a , b 的值; 2
ò

1 , e 上的最大值; e x 对所有的 b ∈ (?∞, 0] , x ∈ (e, e2 ] 都成立,求 a 的取值范围.


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