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广东省揭阳市2014届高三第一次高考模拟考试数学(理数)


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绝密★ 启用前

揭阳市 2014 年高中毕业班第一次高考模拟考试
数学(理科) 2014.3.22
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分.考试用时 120 分钟. 注意事项: 1.答卷前,考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、 座位号填写在答题卡上. 2. 选择题

每小题选出答案后, 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑, 如需改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答,答案必须填写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上;如需改动,先划掉原来的答案,然后再写上新的答案;不准使用铅笔 和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后,将试卷和答题卡一并交回. 一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分. 1.若复数 z 满足: iz ? 3 ? 4i ,则 z ? A.1 2.设函数 f ( x) ? B. 2 C. 5 D.5

1 的定义域为 M ,函数 g ( x) ? lg(1 ? x) 的定义域为 N ,则 1? x A. M N ? (?1,1] B. M N ? R C.CR M ? [1, ??) D.CR N ? (??, ?1) 3.设平面 ? 、 ? ,直线 a 、 b , a ? ? , b ? ? , 则“ a / / ? , b / / ? ” 是“ ? / / ? ”的 0.5 0.5 2 2 1 1
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.下列函数是偶函数,且在 [0,1] 上单调递增的是
正视图 侧视图

1

? A. y ? sin( x ? ) 2 2 C. y ? ? x

图(1)

B. y ? 1 ? 2cos 2 x
2
俯视图

D. y ? sin(? ? x)
开始 输入x x≤2? 是 否 否

5.一简单组合体的三视图如图(1)所示,则该组合体的 体积为 A. 16 ? ? B. 12 ? 4? C. 12 ? 2? D. 12 ? ? 6.如图(2)所示的程序框图,能使输入的 x 值与输出的 y 值 相等的 x 值个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 7.设点 P 是函数 y ? ? 4 ? ( x ? 1) 图象上的任意一点,
2

y=x2

x≤5?
是 y=2x-3

y=

1 x

点 Q(2a, a ? 3) ( a ? R ),则| PQ | 的最小值为

输出y 结束

图(2)

1

柯正作品 必属精品 A.

8 5 ?2 5

B. 5

C.

5 ?2

D.

7 5 ?2 5

8.定义一个集合 A 的所有子集组成的集合叫做集合 A 的幂集,记为 P ( A) ,用 n( A) 表示 有限集 A 的元素个数,给出下列命题:①对于任意集合 A,都有 A ? P( A) ;②存在 集合 A,使得 n[ P( A)] ? 3 ;③用 ? 表示空集,若 A

B ? ? ,则 P( A)

P( B ) ? ? ;

④若 A ? B, 则 P( A) ? P( B) ;⑤若 n( A) ? n( B) ? 1, 则 n[ P( A)] ? 2 ? n[ P( B)]. 其中正确的命题个数为 A.4 B.3 C.2 D.1

二、填空题:本大题共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分. (一)必做题(9-13 题) 9 . 若点 (a, 27) 在函数 y ? 3x 的图象上,则 tan

? 的 a
x
0.0150 0.0100

频率/组距

值为 . 10.根据某固定测速点测得的某时段内过往的 100 辆 机动车的行驶速度(单位:km/h)绘制的频率分布 直方图如图(3)所示.该路段限速标志牌提示机动

0.0050

车辆正常行驶速度为 60 km/h~120 km/h,则该时 0.0025 段内过往的这 100 辆机动车中属非正常行驶的 有 辆,图中的 x 值为 .
0

40

60

80 100 120 140 图(3)

(km/h)

11.已知向量 a 、 b 满足 | a |?1,| b| ? 3 ,且 (3a ?2b) ? a ,则 a 与 b 的夹角 为 . 12.已知首项为正数的等差数列 ?an ? 中, a1a2 ? ?2 .则当 a 3 取最大值时,数列 {an } 的公 差d ? . 13.从 [0,10] 中任取一个数 x ,从 [0, 6] 中任取一个数 y ,则使 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 的概率 为 . (二)选做题(14-15 题,考生只能从中选做一题) 14.(坐标系与参数方程选做题)[来已知直线 l : ?

? x ? 1? t ( t 为参数且 t ? R )与曲线 ? y ? 3 ? 2t

? x ? cos ? C:? ( ? 是参数且 ? ? [0, 2?) ),则直线 l 与曲线 C 的交点坐标 ? y ? 2 ? cos 2?
为 . 15.(几何证明选讲选做)如图(4),AB 是半圆的 直径,C 是 AB 延长线上一点,CD 切半圆于
2

柯正作品 必属精品 点 D,CD=2,DE⊥AB,垂足为 E,且 E 是 OB 的中点,则 BC 的长为 .

三.解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ?

sin 2 x ? 2sin x. sin x

(1)求函数 f ( x ) 的定义域和最小正周期; (2)若 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 求 f (? ?

?
12

) 的值.

17. (本小题满分 12 分) 图(5)是某市 2 月 1 日至 14 日的空气质量指数趋势图,空气质量指数(AQI)小于 100 表示空气质量优良,空气质量指数大于 200 表示空气重度污染,某人随机选择 2 月 1 日至 2 月 12 日中的某一天到达该市,并停留 3 天.

(1)求此人到达当日空气质量重度污染的概率; (2)设 ? 是此人停留期间空气重度污染的天数,求 ? 的分布列与数学期望.

18.(本小题满分 14 分) 如图(6),四棱锥 S—ABCD 的底面是正方形,侧棱 SA⊥底面 ABCD,过 A 作 AE 垂 直 SB 交 SB 于 E 点,作 AH 垂直 SD 交 SD 于 H 点, 平面 AEH 交 SC 于 K 点,且 AB=1,SA=2. (1)设点 P 是 SA 上任一点,试求 PB ? PH 的最小值; (2)求证:E、H 在以 AK 为直径的圆上; (3)求平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的
3

柯正作品 必属精品 余弦值. 19.(本小题满分 14 分)
2 已知正项数列 {an } 满足: an ? (n2 ? n ?1)an ? (n2 ? n) ? 0(n ? N? ) ,数列 {bn } 的前

n 项和为 Sn ,且满足 b1 ? 1 , 2Sn ? 1 ? bn (n ? N? ) . (1)求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式;
(2)设 cn ?

(2n ? 1)bn ,数列 ?cn ? 的前 n 项和为 Tn ,求证: T2 n ? 1 . an

20.(本小题满分 14 分) 如图(7)所示,已知 A、B、C 是长轴长为 4 的椭圆 E 上的三点,点 A 是长轴的一个端点,BC 过椭圆中心 O, 且 AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC|. (1)求椭圆 E 的方程; (2) 在椭圆 E 上是否存点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ? 若存在,有几个(不必求出 Q 点的坐标),若不存在,请说明理由.

4 的两条切线,切点分别 3 1 1 为 M、N,若直线 MN 在 x 轴、 y 轴上的截距分别为 m 、n ,证明: 2 ? 2 为定值. 3m n
(3)过椭圆 E 上异于其顶点的任一点 P,作

O : x2 ? y 2 ?

21.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? a ln x ? 1(a ? 0). (1)当 a ? 1 且 x ? 1 时,证明: f ( x) ? 3 ?

(2)若对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)当 a ?
n ?1 1 时,证明: ? f (i) ? 2(n ? 1 ? n ? 1) . 2 i ?2

4 ; x ?1

4

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揭阳市 2014 年高中毕业班高考第一次模拟考 数学(理科)参考答案及评分说明
一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则. 二、对计算题当考生的解答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内容 和难度,可视影响的程度决定给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半;如果后 续部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数. 一、选择题:DCBD DCCB 5.由三视图知,此组合体为一个长为 4,宽为 3,高为 1 的长方体、中心去除一个半径为 1 的圆柱,故其体积为 3 ? 4 ?1 ? ? ?1 ?1 ? 12 ? ?
2

? ? x 2 , ( x ? 2) ? 6.由框图知,x 与 y 的函数关系为 y ? ? 2 x ? 3, (2 ? x ? 5) ,由 y ? x 得 ?1 ? .( x ? 5) ?x 2 若 x ? 2 ,则 x ? x ? x ? 0 或 x ? 1 ,若 2 ? x ? 5 ,则 2 x ? 3 ? x ? x ? 3 ,若 x ? 5 , 1 显然 ? x ,故满足题意的 x 值有 0,1,3,故选 C. x 7.如图示,点 P 在半圆 C 上,点 Q 在直线 x ? 2 y ? 6 ? 0 上,过圆心 y
C 作直线的垂线,垂足为 A,则 | PQ |min ?| CA | ?2 ? 5 ? 2 ,故选 C. 8.由 P ( A) 的定义可知①、④正确,又若 A ? B ? ?,
o C x-2y-6=0 x A

则 P( A) ? P( B) ? {?} ,设 n( A) ? n, 则 n( P( A)) ? 2 ,
n

所以②错误,⑤正确,故选 B。 二、填空题:9. 3 ;10.15、0.0175;11.

? 1 2 3 ;12.-3;13. ;14.(1,3); 15. . 2 6 3

10.由直方图可知,这 100 辆机动车中属非正常行驶的有

(0.0025+0.005) ? 20 ?100=15 (辆),x 的值 = [1 ? (0.0025 ? 0.0050 ? 0.0100 ? 0.0150) ? 20] ? 20 ? 0.0175 .
11.由 (3a ? 2b) ? a 得 (3a ? 2b) ? a ? 3| a |2 ?2a ? b ? 0

? a ?b ?

3 3 3 3 ? | a |2 ? ?| a | ? | b | cos ? a, b ? , cos ? a, b ?? ? ?? a, b ?? . 2 2 2 6 2 3
5

柯正作品 必属精品 12.设数列 ?an ? 的公差为 d ,由 a1a2 ? ?2 得 a1 (a1 ? d ) ? ?2 ? d ? ? 则 a3 ? a1 ? 2d ? ?(

2 ? a1 , a1

4 4 4 4 ? a1 ) ,因 a1 ? 0, 故 ? a1 ? 2 ? a1 ? 4 ,当且仅当 ? a1 , a1 a1 a1 a1

即 a1 ? 2 “=”成立,这时 a3 取得最大值,由 a1 ? 2 得 a2 ? ?1 ,所以 d ? ?3 。 13.如右图,使 | x ? 5 | ? | y ? 3 |? 4 是图中阴影部分,

1 4? ? ( 1+4) ?3 S 1 故所求的概率 2 P ? 阴影 = = 60 60 2 14.把直线 l 的参数方程化为普通方程得 2 x ? y ? 5 , 把曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y ? 1 ? 2x2 (?1 ? x ? 1) ,
由方程组 ?

? y ? 1 ? 2 x 2 (?1 ? x ? 1) ?2 x ? y ? 5
2

解得交点坐标为(1, 3) 【或将曲线 C 的参数方程化为普通方程得 y ? 1 ? 2x (?1 ? x ? 1) 后 将?

? x ? 1? t 代入解得 t ? 0 ,进而得点坐标为(1,3)】 ? y ? 3 ? 2t
DE 为 OB 的中垂线且 OD=OB,? ?OBD 为等边三角形, ?COD ? 60 ,
0

15.

OD ?

2 3 4 3 2 3 2 3 , BC ? OC ? OB ? ? ? . 3 3 3 3

三.解答题: 16.解:(1)由 sin x ? 0 ,解得 x ? k? ( k ? Z ) , 所以函数 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? k? ( k ? Z )} ????????????????2 分 sin 2 x ? ? ? f ( x) ? ? 2sin x ? 2 cos x ? 2sin x ? 2 2(sin cos x ? cos sin x) ? 2 2 sin( ? x). sin x 4 4 4

? f ( x ) 的最小正周期 T ?

2? ? 2? -????????????????????6 分 1 (2)解法 1:由 f (? ) ? 2 ? cos ? ? sin ? ? 1 ? 2cos ? sin ? ? 0, ????????8 分

? ?[0, ? ] 且 sin ? ? 0 ,? ? ?
∴ f (? ?

?
2

. ????????????????????10 分

? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. ?????????????12 分 12 4 12 6 解法 2:由 f (? ) ? 2, ? ?[0, ? ], 得 sin ? ? cos ? ? 1 ? cos ? ? 1 ? sin ? ,
2 2 代入 sin ? ? cos ? ? 1 得 sin ? ? (1 ? sin ? ) ? 1 ? 2sin ? (sin ? ? 1) ? 0 ,???8 分
2 2

?

sin ? ? 0 ,∴ sin ? ? 1 ,又 ? ?[0, ? ] ,? ? ?
∴ f (? ?

?
2

. ????????????10 分

? ? ? 5? ) ? 2 2 sin( ? ? ? ) ? 2 2 sin ? 2. -????????????12 分 12 4 12 6 17.解:设 Ai 表示事件“此人于 2 月 i 日到达该市”( i =1,2,?,12).
6

柯正作品 必属精品 依题意知, P( Ai ) ?

1 ,且 Ai 12

Aj ? ?(i ? j ) .????????????????2 分
A2 A3 A7
5 . 12

(1)设 B 为事件“此人到达当日空气质量重度污染”,则 B ? A 1 所以 P( B) ? P( A 1

A12 ,

A2

A3

A7

A12 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P( A7 ) ? P( A12 ) ?

即此人到达当日空气质量重度污染的概率为

(2)由题意可知, ? 的所有可能取值为 0,1,2,3,???????????????6 分

5 .???????????????5 分 12

P( ? =0)=P(A4∪A8∪A9)= P(A4)+P(A8)+P(A9)= P( ? =2)=P(A2∪A11)= P(A2)+P(A11) =

3 1 ? , ???????????7 分 12 4

2 1 ? ,???????????????8 分 12 6 2 1 P( ? =3)=P(A1∪A12)= P(A1)+P(A12) = ? ,???????????????9 分 12 6 1 1 1 5 P( ? =1)=1-P( ? =0)-P( ? =2)-P( ? =3)= 1 ? ? ? ? , ??????10 分 4 6 6 12 5 (或 P( ? =1)=P(A3∪A5∪A6∪A7∪A10)= P(A3)+P(A5)+ P(A6)+P(A7)+P(A10)= ) 12
所以 ? 的分布列为:

?
P

0

1

2

3

1 4

5 12

1 6

1 6

?????????????????????????11 分

故 ? 的期望 E? ? 0 ?

1 5 1 1 5 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? . ??????????????12 分 4 12 6 6 4

18.(1)将侧面 SAB 绕侧棱 SA 旋转到与侧面 SAD 在同一平面内,如右图示, 则当 B、P、H 三点共线时, PB ? PH 取最小值,这时, PB ? PH 的 最小值即线段 BH 的长,?????????1 分 设 ?HAD ? ? ,则 ?BAH ? ? ? ? , 在 Rt ?AHD 中,∵ AH ? ∴ cos ? ?
S

SA ? AD 2 ? , SD 5
P B A

H

AH 2 ? ,?????????2 分 AD 5

D

在三角形 BAH 中,有余弦定理得:

4 2 2 17 ? (? )? BH 2 ? AB2 ? AH 2 ? 2 AB ? AH cos(? ? ? ) ? 1 ? ? 2 ? 5 5 5 5
7

柯正作品 必属精品 ∴ ( PB ? PH )min ? BH ?

85 .??????????????????????4 分 5

(2)证明:∵SA⊥底面 ABCD,∴SA⊥BC,又 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 SAB,又 EA ? 平面 SAB,∴EA⊥BC,???????????????6 分 又∵AE⊥SB,∴AE⊥平面 SBC ,???????????????????????7 分 又 EK ? 平面 SBC,∴EA⊥EK,???????????????????????8 分 同理 AH⊥KH,∴E、H 在以 AK 为直径的圆上??????????????????9 分 (3)方法一:如图,以 A 为原点,分别以 AB、AD、AS 所在的直线为 x、y、z 轴,建立空间 直角坐标系如右图示,???????????????????????????10 分 则 S(0,0,2),C(1,1,0),由(1)可得 AE⊥SC,AH⊥SC,∴SC⊥平面 AEKH,

SC ? ( 1,1, ? 2 ) 为平面 AEKH 的一个法向量,????11 分

AS ? ( 0 , 0 , 2 ) 为平面 ABCDF 的一个法向量,????12 分 设平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的平面角为 ? ,
则 cos ? ?| cos ? AS ? SC ?|? | AS ? SC | ? 4 ? 6 . ???13 分 3 | AS | ? | SC | 2 6

∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值

6 ?14 分 3

【方法二:由 ?SAB ? ?SAD 可知 又∵ EH ? 面 AEKH,

SE SH ? ,故 EH / / BD , SB SD

BD ? 面 AEKH, ∴ BD / / 面 AEKH. ????10 分
设平面 AEKH ? 平面 ABCD=l,∵ BD / / 面 AEKH, ∴ l / / BD ????????????????11 分 ∵BD⊥AC,∴ l ⊥AC, 又 BD⊥SA,∴BD⊥平面 SAC,又 AK ? 平面 SAC, ∴BD⊥AK, ∴ l ⊥AK, ∴ ? CAK 为平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的一个平面角,???????13 分

cos ?CAK ? cos ?CSA ?

2 6 ? 3 6

8

柯正作品 必属精品 ∴平面 AEKH 与平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值为

6 .??????????14 分 3

2 2 19.解:(1)由 an ? (n2 ? n ?1)an ? (n2 ? n) ? 0 ,得 ? ? an ? (n ? n) ? ? (an ? 1) ? 0 . ?2 分

由于 ?an ? 是正项数列,所以 an ? n2 ? n .???????????????????3 分 由 2Sn ? 1 ? bn 可得当 n ? 2 时, 2Sn?1 ? 1 ? bn?1 ,两式相减得 bn ? ?bn?1 ,?????5 分 ∴数列 {bn } 是首项为 1,公比 ?1 的等比数列,?bn ? (?1)n?1. ??????????7 分 (2)∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 ???????????????????8 分 ? (?1)n?1 ? an n(n ? 1)
4n ? 1 4n ? 1 (4n ? 1)(2n ? 1) ? (4n ? 1)(2n ? 1) ? ? 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1) 2n(2n ? 1)(2n ? 1)

方法一:∴ c2 n ?1 ? c2 n ?

?

2 1 1 ? ? ????????????????????11 分 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1
1 1 1 1 ? (c2 n ?1 ? c2 n ) ? ? ? ? ? 1 3 3 5 ? 1 1 ? 2n ? 1 2n ? 1

?T2 n ? (c1 ? c2 ) ? (c3 ? c4 ) ?

? 1?

1 ? 1. ?????????????????????????????14 分 2n ? 1

【方法二:∵ cn ?

(2n ? 1)bn 2n ? 1 1 1 ? (?1)n?1 ? ? (?1)n?1 ? ( ? ) ??????11 分 an n(n ? 1) n n ?1
1 1 1 1 1 1 1 1 ? c2 n ?1 ? c2 n ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 1 2 2 3 3 4 4 5

?T2 n ? c1 ? c2 ? c3 ? c4 ?

?(

1 1 1 1 1 ? )?( ? ) ? 1? ? 1. ???????????????14 分 2n ? 1 2n 2n 2n ? 1 2n ? 1
x2 y2 ? 2 ? 1 ??????2 分 4 b

20.解:(1)依题意知:椭圆的长半轴长 a ? 2 ,则 A(2,0), 设椭圆 E 的方程为

由椭圆的对称性知|OC|=|OB|,又∵ AC ? BC ? 0 ,|BC|=2|AC| ∴AC⊥BC,|OC|=|AC| ∴△AOC 为等腰直角三角形, ∴点 C 的坐标为(1,1),点 B 的坐标为(-1,-1) ,?????????????4 分 将 C 的坐标(1,1)代入椭圆方程得 b2 ?

4 3
9

柯正作品 必属精品 ∴所求的椭圆 E 的方程为

x 3y ? ? 1 ????????????????????5 分 4 4
2 2 2

2

2

(2)解法一:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,
2 2 2 则 | QB | ? | QA| ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.

即点 Q 在直线 3x ? y ? 2 ? 0 上,??????????????????????7 分 ∴点 Q 即直线 3x ? y ? 2 ? 0 与椭圆 E 的交点, ∵直线 3x ? y ? 2 ? 0 过点 (

2 2 , 0 ) ,而点椭圆 ( , 0 ) 在椭圆 E 的内部, 3 3

∴满足条件的点 Q 存在,且有两个.?????????????????????9 分 【解法二:设在椭圆 E 上存在点 Q,使得 |QB|2 ? |QA|2 ? 2 ,设 Q( x0 , y0 ) ,则

| QB |2 ? | QA|2 ? ? x0 ? 1? ? ? y0 ? 1? ? ? x0 ? 2 ? ? y0 2 ? 6 x0 ? 2 y0 ? 2 ? 2.
2 2 2

即 3x0 ? y0 ? 2 ? 0 , ????①???????????????????????7 分
2 2 又∵点 Q 在椭圆 E 上,∴ x0 ? 3 y0 ? 4 ? 0 ,??????②
2 由①式得 y0 ? 2 ? 3x0 代入②式并整理得: 7 x0 ? 9x0 ? 2 ? 0 ,???③

∵方程③的根判别式 ? ? 81 ? 56 ? 25 ? 0 , ∴方程③有两个不相等的实数根,即满足条件的点 Q 存在,且有两个.??????9 分 (3)解法一:设点 P( x1 , y1 ) ,由 M、N 是 且圆的直径为 OP,则圆心为 (

O 的切点知, OM ? MP,ON ? NP ,

∴O、M、P、N 四点在同一圆上,??????????????????????10 分

x1 y1 , ), 2 2 x 2 y 2 x 2 ? y12 其方程为 ( x ? 1 ) ? ( y ? 1 ) ? 1 ,???11 分 2 2 4 2 2 即 x ? y ? x1x ? y1 y ? 0 ??????④ 即点 M、N 满足方程④,又点 M、N 都在 O 上,
∴M、N 坐标也满足方程

O : x2 ? y 2 ?

4 ????⑤ 3

⑤-④得直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? 令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ?

4 ,???12 分 3

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,??????13 分 3 y1 3x1

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

10

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4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值. ?????????????14 分 ∴( 3m 3n 3m n 4
【解法二:设点 P( x1 , y1 ),M( x2 , y2 ),N( x3 , y3 ), 则 k PM ? ?

1

kOM 4 x 直线 PM 的方程为 y ? y2 ? ? 2 ( x ? x2 ), 化简得 x2 x ? y2 y ? ,??????④ 3 y2 4 同理可得直线 PN 的方程为 x3 x ? y3 y ? ,??????⑤???????????11 分 3 4 ? x1 x2 ? y1 y2 ? ? ? 3 把 P 点的坐标代入④、⑤得 ? ?x x ? y y ? 4 1 3 1 3 ? 3 ? 4 ∴直线 MN 的方程为 x1 x ? y1 y ? , ?????????????????????12 分 3
令 y ? 0, 得 m ? ∴ x1 ? ∴(

??

x2 , ????10 分 y2

4 4 ,令 x ? 0 得 n ? ,?????????????????13 分 3 y1 3x1

4 4 , y1 ? ,又点 P 在椭圆 E 上, 3m 3n

4 2 4 1 1 3 ) ? 3( )2 ? 4 ,即 2 ? 2 ? =定值.??????????????14 分 3m 3n 3m n 4

4 4 ? 2 ? 0 ,?????????1 分 ,即证 ln x ? x ?1 x ?1 4 1 4 ( x ? 1)2 ? 2, 则 m?( x) ? ? 令 m( x) ? ln x ? ? ? 0. ????????3 分 x ?1 x ( x ? 1)2 x( x ? 1)2 ∴ m( x) 在 (1, ??) 单调递增,? m( x) ? m(1) ? 0 , 4 4 ? ln x ? ? 2 ? 0 ,即 f ( x) ? 3 ? 成立.???????????????4 分 x ?1 x ?1 x ?1 , ??????????????5 分 (2)解法一:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 a ? ln x 1 ln x ? 1 ? x ?1 x , ?????????????????????6 分 , h?( x) ? 令 h( x ) ? ln x (ln x) 2
21.(1)证明:要证 f ( x) ? 3 ?

1 1 4 ( x ?1)2 ? 1? ? ? ? 0, ???????????????8 分 x x x ? 1 x( x ? 1) ? h?( x) ? 0, 函数 h( x) 在 (1, e) 单调递增,当 x ? (1, e) 时, h( x) ? h(e) ? e ? 1, ? a ? e ? 1 .???????????????????????????????9 分
由(1)知 ln x ? 1 ?
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a a?x ?1 ? ,??????????5 分 x x 当 a ? e 时, h '( x) ? 0 ,函数 h( x) 在 (1, e) 上是增函数,有 h( x) ? h(1) ? 0 ,???6 分 当 1 ? a ? e 时,∵函数 h( x) 在 (1, a ) 上递增,在 ( a, e) 上递减, 对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 ,即 a ? e ? 1 .?????????7 分 当 a ? 1 时,函数 h( x) 在 (1, e) 上递减,对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立,只需 h(e) ? 0 , 而 h(e) ? a ? 1 ? e ? 0 ,不合题意,?????????????????????8 分 综上得对 ?x ? (1, e) , f ( x) ? x 恒成立, a ? e ? 1 .??????????????9 分 1 ln x , ???5 分 【解法三:由 f ( x) ? x 且 x ? (1, e) 可得 ? a x ?1 ln x 由于 表示两点 A( x,ln x), B(1,0) 的连线斜率,???6 分 x ?1 ln x 由图象可知 y ? 在 (1, e) 单调递减, x ?1 ln x ln e 1 ? ? , ????????8 分 故当 x ? (1, e) 时, x ?1 e ?1 e ?1 1 1 ?0 ? ? 即 a ? e ? 1 ?????????????????????????9 分 a e ?1 n ?1 1 1 1 (3)当 a ? 时, f ( x) ? ln x ? 1. 则 ? f (i ) ? ln(n ? 1)!? n , 2 2 2 i ?2
【解法二:令 h( x) ? a ln x ? 1 ? x ,则 h '( x) ? 要证

? f (i) ? 2(n ? 1 ?
i ?2

n ?1

n ? 1) ,即证 ? ln i ? 2n ? 4 ? 4 n ? 1 ????????10 分
i ?2

n ?1

4 由(1)可知 ln(n ? 1) ? 2 ? ,又 n?2

n ? 2 ? (n ? 1) ? 1 ? 2 n ? 1 ? n ? 1 ? n ,?
∴ ln(n ? 1) ? 2 ? ∴ ln 2 ? ln3 ?
n ?1 i ?2

4 4 ? , ??????11 分 n?2 n ?1 ? n

4 ? 2 ? 4( n ? 1 ? n ), n ?1 ? n

? ln(n ?1) ? 2n ? 4[( 2 ?1) ? ( 3 ? 2) ?

? ( n ?1 ? n )]

=2n ? 4 ? 4 n ? 1 ,???????????????13 分


? f (i) ? 2(n ? 1 ?

n ? 1) 得证.????????????????????14 分

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