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2015年北京市朝阳区高三一模数学(理)试题及答案


北京市朝阳区高三年级第一次综合练习 数学试卷(理工类) 2015.4
(考试时间120 分钟 满分150 分) 本试卷分为选择题(共40 分)和非选择题(共110 分)两部分 第一部分(选择题 共40 分) 一、选择题:本大题共8 小题,每小题5 分,共40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.已知集合 A={1,2,m2},B ={1,m}.若

B ? A,则m = A.0 B.2 C.0 或2 D.1 或2 2.已知点A(1,y0 )( y 0> 0) 为抛物线 y2 = 2px( p > 0)上一点.若点 A到该抛物线焦点的距离为 3,则y 0 = A. 2 B. 2 C.2 2 D. 4

3.在△ABC 中,若 A= ,cosB=

?

3

6 ,BC = 6,则 AC = 3
D.

A.4 2

B. 4

C.2 3

4 3 3

4.“? x∈R,x2 + ax +1≥0成立”是“ |a |≤2”的 A.充分必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分而不必要条件 D.既不充分也不必要条件 5.某商场每天上午10 点开门,晚上 19 点停止进入.在如图所示的框图中,t表示整点时刻,a(t )表示时间段[t-1, t)内进入商场人次,S 表示某天某整点时刻前进入商场人次总和,为了统计某天进入商场的总人次数,则判断框内 可以填

A.t≤17? 6.设

B.t≥19?

C.t≥18?

D.t≤18? 则

均为实数,且

7.在平面直角坐标系中, O 为坐标原点,已知两点 A?1,0??, B?1,1??,且∠BOP ??90??。设OP ??OA??kOB?k

? R?,则|OP|=
1

8.设集合 A.61 B.65 C.69

,则M 中元素的个数为 D.84

第二部分(非选择题 共110 分)
二、填空题:本大题共6 小题,每小题5 分,共30 分。 9.i 为虚数单位,计算 =_______。

10.设n S 为等差数列

的前n 项和。若

,则通项公式

=____。

11.在极坐标系中,设ρ > 0,0≤θ < 2π,曲线 ρ=2 与曲线 ρ sinθ =2 交点的极坐标为___。 12.已知有身穿两种不同队服的球迷各三人,现将这六人排成一排照相,要求身穿同一种队服的球迷均不能相邻, 则不同的排法种数为_____(用数字作答) 。

13.设 z = 3x + y,实数x,y 满足

其中t > 0,若z 的最大值为 5,则实数t的值为

_

此时z 的最小值为_____。 14.将体积为1 的四面体第一次挖去以各棱中点为顶点构成的多面体,第二次再将剩余的每个四面体均挖去以各棱 中点为顶点构成的多面体,如此下去,共进行了n(n∈N* )次,则第一次挖去的几何 体的体积是______;这n 次共挖去的所有几何体的体积和是_____。 三、解答题:本大题共6 小题,共80 分,解答写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15. (本小题满分13 分) 已知函数 f (x) = cos2 x +

3 sin x cos x,x∈R.

(1)求 f (x)的最小正周期和单调递减区间; (2)设 x = m(m∈R )是函数 y = f (x)图象的对称轴,求sin 4m的值.

16. (本题满分13 分) 如图所示,某班一次数学测试成绩的茎叶图和频率分布直方图都受到不同程度的污损,其中,频 率分布直方图的分组区间分别为[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100),据此解 答如下问题.

2

(1)求全班人数及分数在[80,100]之间的频率; (2)现从分数在[80,100]之间的试卷中任取 3 份分析学生失分情况,设抽取的试卷分数在 [90,100]的份数为 X ,求 X 的分布列和数学望期. 17. (本小题满分14 分) 如图,正方形 ADEF 与梯形 ABCD所在平面互相垂直,已知 AB∥CD,AD⊥CD, AB = AD =

1 CD. 2

(1)求证: BF ∥平面CDE ; (2)求平面BDF 与平面CDE 所成锐二面角的余弦值; (3)线段EC 上是否存在点M ,使得平面BDM ⊥平面BDF ?若存在,求出 说明理由. 18. (本小题满分13 分) 已知函数 (1)当a = ?1时,求函数 f (x)的最小值; (2)当a≤1时,讨论函数 f (x)的零点个数。

EM 的值;若不存在, EC

19. (本小题满分14 分)

x2 y 2 已知椭圆C: 2 ? 2 ? 1? a ? b ? ? ? 的一个焦点为F(2,0),离心率为 a b
3

6 。 3

过焦点F 的直线l 与椭圆C交于 A,B两点,线段 AB中点为D,O为坐标原点,过O,D的直线交椭圆于M,N 两点。 (1)求椭圆C 的方程; (2)求四边形AMBN 面积的最大值。

20. (本小题满分13 分) 若数列 (m)是 中不超过 f (m)的项数恰为b m (m∈N * ),则称数列 生成
2 的控制函数。设 f (m) = m 。

是数列

的生成数列,称相应的函数 f

(1)若数列 (2)若数列

单调递增,且所有项都是自然数, b1 =1,求a1; 单调递增,且所有项都是自然数, a 1= b1 ,求a1 ; 生成
2 q, r∈Z) 的控制函数 g(n) = pn + qn + r (其中常数p, ,

2 , 3) , (3) 若an = 2 n (n =1 , 是否存在 使得数列

也是数列{ } m b 的生成数列?若存在,求出 g (n);若不存在,说明理

4

5

6

7

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9

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