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基向量法解决立体几何问题


数学专题二

利用空间向量解决立体几何问题

学习提纲
一、引入两个重要空间向量
1、直线的方向向量; 2、平面的法向量。

二、立体几何问题的类型及解法
1、判断直线、平面间的位置关系; (1)直线与直线的位置关系;

(2)直线与平面的位置关系;
(3)平

面与平面的位置关系; 2、求解空间中的角度; 3、求解空间中的距离。

二.立体几何问题的类型及解法
? 1.判定直线、平面间的位置关系 ? (1)直线与直线的位置关系 ? 不重合的两条直线a,b的方向向量分别为a ,b. ①若a∥b,即a=λb,则a∥b. ②若a⊥b,即a· = 0,则a⊥b b
a

a b b

? 例1已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是菱形,∠C1CB=∠C1CD=∠BCD=θ, 求证: C C1⊥BD
B1 A1

C1

D1

B

A

C

D

? 证明:设 CD ? a, CB ? b, CC 1 ? c, ? 依题意有| a |=| b |, ? 于是 BD ? CD ? CB ? a – b ? ∵ CC 1 ? BD = c (a – b)= c· –c· a b ? = |c|· |a|cosθ–|c|· cosθ=0 |b| ? ∴C C1⊥BD

2.P是△ABC所在平面外的一点,PD、PE、PF分别是∠APB、 ∠APC,∠BPC 的平分线,且PD⊥ PE,求证:PE⊥ PF,PF⊥ PD。
证明
在PA, PB, PC上取点A' , B' , C ' , 使 | PA' |?| PB' |?| PC ' | 设PA' ? a, PB' ? b, PC ' ? c,
P

则PD ? x(a ? b), PE ? y(b ? c), PF ? z (a ? c),

A’
C E F

B’

?

PD ? PE
A

? (a ? b ) ? (b ? c ) ? 0 ? a?b ?b ?a?c ?b?c ? 0
2

D

B

?

PE ? PF ? zy (a ? c ) ? (b ? c ) ? zy (a ? b ? c ? b ? a ? c ? c )
2 2

? zy (a ? b ? a ? c ? b ? c ? b ) ? 0.

所以

PF⊥ PE ;同理

PF⊥ PD 。
直线和直线垂直

10 ) 在三棱柱 ABC ? A ' B ' C ' 中,底面是正三角形, AA ' ? 底面 ABC , A ' C ? AB ' , 求证: BC ' ? AB '
C' A'

B'

证明:设底面边长为 , 1 设a ? AA', b ? AB, c ? AC a ? b ? 0, a ? c ? 0, b ? c ? 1 / 2.
C

B A

A' C ? A' A ? AC ? c ? a AB' ? AB ? BB ' ? b ? a BC ' ? BA ? AC ? CC ' ? c ? a ? b
0 ? A' C ? AB' ? (c ? a ) ? (b ? a ) ? c?b ? c?a ? a ?b ? a a ? c?b ?
2 2

BC ' ? AB' ? (c ? a ? b) ? (b ? a)
? (c ? a ? 2a ? b) ? (b ? a ) ? ( 2a ? b) ? (b ? a ) ? 2a ? a ? b ? b
2 2 2 2

1 2

? 2a ? b ? 1 ? 1 ? 0
线线垂直

7 在空间四边形ABCD中,M,N分别是AD,BC的中点,求证: 2MN=AB+DC,且MN,AB,CD平行于同一平面。
证明
D

MN ? MA ? AB ? BN , MN ? MD ? DC ? CN ,
M

MA ? MD ? 0 , BN ? CN ? 0 .
A

C

?

2 MN ? AB ? DC .
N

? ?

AB , DC 不共面。 MN , AB , CD 平行于同一平面。

B

共面问题

? (2)直线与平面的位置关系 ? 直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n, 且L ? α. ? ①若a∥n,即a =λn,则 L⊥ α ? ②若a⊥n,即a· = 0,则a ∥ α. n
n a L n a

α L

α

? (3)平面与平面的位置关系 ? 平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2 ? n α ? n α ? n
1 1

n2

2

β

β

? ①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ? ②若n1⊥n2,即n1 · 2= 0,则α⊥β n

8 在平行六面体AC’中,E,F,G分别是A’D’,DD’,D’C’的中点,求 证:平面EFG//平面AB’C。
证明 设 AB ? a , AD ? b , AA ' ? c , 1 则 EG ? ED ' ? D ' G ? ( a ? b ) 2
? ? 1 2 EG // AC , AC
D C

D'

G C'

E A' F B'

同理

EF // B ' C

A

B

又 EG 与 EF , AC 与 B ' C 分别相交, ? 平面 EFG // 平面 AB ' C
面面平行

13在平行六面体AC’中,AB=AD, ∠ A’AD=∠A’AB= ∠DAB=60? .

(1)求证:AA’ ⊥BD;
(2)当 AB 的值为多少时,才能使AC’⊥平面AB’D.请证明。
AA '

证明 设 AB ? a , AD ? b , AA ' ? c ,
设 | a |? | b |? m , | c |? n , a?b ? m 2
2

D'

C'

?

,a ? c ? b ? c ?

mn 2

B' A'

D

BD ? BA ? AD ? b ? a
A

C

B

AA ' ? BD ? c ? ( b ? a ) ? c ? b ? c ? a ? 0 所以 AA ' ? BD .
线线线面垂直

13(2)在平行六面体AC’中,AB=AD,∠A’AD=∠A’AB=∠DAB=60? . (2)当 解:
AC ' ? 平面 A ' BD ? AC ' ? A ' B 且 AC ' ? A ' D
D'

AB AA '

的值为多少时,才能使AC’⊥平面A’BD.请证明。

? AC ' ? A ' B ? 0 且 AC ' ? A ' D ? 0
?(a ? b ? c ) ? (a ? c ) ? 0 ? ? ? (a ? b ? c ) ? (b ? c ) ? 0 2 ? 2 mn m mn ? ? ? ?m ? ? 2 2 2 ? ? 2 m mn mn 2 ? ? ?m ? ? ? 2 2 2 ?
B' A'

C'

D

mn 2 mn 2

?n ?0
2
A

C

B

?n ?0
2

?

3 m ? mn ? 2 n ? 0 , 解得 m ? n
2 2

所以当 AB / AA ' ? 1时, AC ' ? 平面 A ' BD .
线线线面垂直2

如图,60°的二面角的棱上有A、B两点,直线AC、BD分别在这个 二面角的两个半平面内,且都垂直AB,已知AB=4,AC=6,BD= 8,求CD的长.
??? ? ??? ? 解: C A ? 6 , A B ? 4 , ??? ? ??? ??? ? ? ??? ? 且CA ? AB , BD ? AB ,

??? ? ∵CD ? ??? 2 ? ∴CD ?

??? ??? ? ? ??? ? CA ? AB ? BD ??? 2 ??? 2 ??? 2 ? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? C A ? A B ? B D ? 2C A ? A B ? 2 A B ? B D ? 2C A ? B D
2 2 2

??? ? BD ? 8 ??? ??? ? ? CA, BD

? C

B A
?

? 120

?

D

? 6 ? 4 ? 8 ? 0 ? 0 ? 2? 6? 8?

1 2

= 68
17



??? ? C D ? 2 17

答: CD 的长为 2

.

注:利用本题中的向量关系我们还可以倒过来求二 面角的大小.

2.求空间中的角
? (1)两异面直线的夹角 ? 利用向量法求两异面直线所成的夹角,不用 再把这两条异面直线平移,求出两条异面直 线的方向向量,则两方向向量的夹角与两直 线的夹角相等或互补,我们仅取锐角或直角 就行了.

? (2)直线与与平面所成的角 ? 若n是平面α的法向量, a是直线L的方向向量, 设L与α所成的角θ, n与a所成的角α ? ? ? 则 θ= α或θ= -α 2 2 n a ? a ? θ θ ? ? n
α α

? 于是, ? 因此

sin ? ? | cos ? | ? |
? ? arcsin
|a ?n | | a |?| n |

a?n | a |?| n |

|?

|a ?n | | a |?| n |

? (3)二面角 ? 设n1 、n2分别是二面角两个半平面α、β的法 向量,由几何知识可知,二面角α-L-β的大小 与法向量n1 、n2夹角相等(选取法向量竖坐 标z同号时相等)或互补(选取法向量竖坐标 z异号时互补),于是求二面角的大小可转化 为求两个平面法向量的夹角,这样可避免了 二面角的平面角的作图麻烦.
n1 α n2 β n2 n1

3.求解空间中的距离
? (1)异面直线间的距离 ? 两条异面直线间的距离也不必寻找公垂线段,只需利用 向量的正射影性质直接计算. n ? 如图,设两条异面直线a、b的公 a A 垂线的方向向量为n, 这时分别在 a、b上任取A、B两点,则向量在n b 上的正射影长就是两条异面直线 a、b的距离. ∴ d ? | AB ? n | ? | AB ? n | , |n | |n | B ?
? 即两异面直线间的距离等于两异面直线上分别任取两 点的向量和公垂线方向向量的数量积的绝对值与公垂 线的方向向量模的比值.

? (2)点到平面的距离 ? A为平面α外一点(如图), n为平面α的法向量,过A作 A 平面α的斜线AB及垂线AH. ? | AH |? | AB | ? sin ? ? | AB | ? | cos ? AB , n ? | n ? = | AB | ? | AB ? n |
| AB | ? | n |

θ

?

=

| AB ? n | |n|

.

α

B

H

? 于是,点到平面的距离等于平面内外两点的向量和 平面的法向量的数量积的绝对值与平面的法向量模 的比值.
d ? | AB ? n | |n|

? 空间向量理论引入立体几何中,通常涉及到 夹角、平行、垂直、距离等问题,其方法是 不必添加繁杂的辅助线,只要建立适当的空 间直角坐标系,写出相关点的坐标,利用向 量运算解决立体几何问题 。这样使问题坐标 化、符号化、数量化,从而将推理问题完全 转化为代数运算,降低了思维难度,这正是 在立体几何中引进空间向量的独到之处。


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