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2014年普通高等学校招生全国统一考试江西卷(数学文)


2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 数学(文科)
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的。 1.若复数 z 满足 z (1 ? i) ? 2i ( i 为虚数单位) ,则 | z | =( )

A.1

B.2

C. 2

D. 3

【答案】C 【解析】 :设 Z=a+bi 则(a+bi)( 1+i)=2i? (a-b)( a+b)i=2i a-b=0 a+b=2 解得 a=1 b=1 Z=1+1i

Z = 1 ? 1i = 2
(CR B) ? (
)

2.设全集为 R ,集合 A ? {x | x2 ? 9 ? 0}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,则 A

A.(?3, 0)
【答案】C

B. (? 3? , 1 ) C. ( ? 3? , 1]

D. (? 3 , 3 )

【解析】 A ? {x | ?3 ? x ? 3}, B ? {x | ?1 ? x ? 5} ,所以 A 3.掷两颗均匀的骰子,则点数之和为 5 的概率等于( )

(CR B ) ? ? x ? 3 ? x ? ?1?

A.

1 18

B.

1 9

C.

1 6

D.

1 12

【答案】B 【解析】点数之和为 5 的基本事件有: (1,4) (4,1) (2,3) (3,2) ,所以概率为 4

1 36 = 9

4. 已知函数 f ( x) ? ?

?a ? 2 x , x ? 0
?x ? 2 ,x ?0

(a ? R) ,若 f [ f (?1)] ? 1,则 a ? (



A.

1 4

B.

1 2

C .1

D.2

【答案】A

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【解析】 f (?1) ? 2 , f (2) ? 4a ,所以 f [ f (?1)] ? 4a ? 1 解得 a ?

1 4

5.在在 ?ABC 中,内角 A,B,C 所对应的边分别为 a, b, c, ,若 3a ? 2b ,则

2sin 2 B ? sin 2 A 的值为( sin 2 A



A. ?

1 9

B.

1 3

C .1

D.

7 2

【答案】D

2sin 2 B ? sin 2 A 2b2 ? a 2 7 ?b? ?3? 【解析】 ? ? 2 ? ? ?1 ? 2 ? ? ?1 ? 2 2 sin A a 2 ?a? ?2?
6.下列叙述中正确的是( )

2

2

A. 若 a, b, c ? R ,则 " ax 2 ? bx ? c ? 0" 的充分条件是 " b2 ? 4ac ? 0"

B. 若 a, b, c ? R ,则 " ab2 ? cb2 " 的充要条件是 " a ? c " C. 命题“对任意 x ? R ,有 x 2 ? 0 ”的否定是“存在 x ? R ,有 x 2 ? 0 ” D. l 是一条直线, ? , ? 是两个不同的平面,若 l ? ? , l ? ? ,则 ? / / ?
【答案】D
2 【解析】当 a ? 0 时,A 是正确的;当 b ? 0 时,B 是错误的;命题“对任意 x ? R ,有 x ? 0 ”的否定是

“存在 x ? R ,有 x ? 0 ” ,所以 C 是错误的。所以选择 D。
2

7.某人研究中学生的性别与成绩、学科 网视力、智商、阅读量这 4 个变量之间的关系,随机抽查 52 名中 学生,得到统计数据如表 1 至表 4,泽宇性别有关联的可能性最大的变量是( )

第一节 成绩 【答案】D

B.视力

C.智商

D.阅读量

52 ? ? 6 ? 22 ? 14 ?10 ? 52 ? 82 【解析】 ? ? , ? 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2 1

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52 ? ?16 ? 5 ? 16 ?12 ? 52 ? ?16 ? 7 ? 52 ? ? 24 ? 8 ? 8 ?12 ? 52 ? ?12 ? 8 ? , ?32 ? , ?2 ? ? ? 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2 2 2 2

52 ? ?14 ? 30 ? 2 ? 6 ? 52 ? ? 68 ? 6 ? 。分析判断 ? 4 2 最大,所以选择 D。 ?4 ? ? 16 ? 36 ? 20 ? 32 16 ? 36 ? 20 ? 32
2 2 2

8.阅读如下程序框图,运行相应的程序,则程序运行后输出的结果为(



A.7

B.9

C.10

D.11

【答案】B 【解析】当 i ? 1 时, S ? 0 ? lg

1 ? ? lg 3 >-1, 3

3 ? ? lg 5 >-1, 5 5 i ? 3 ? 2 ? 5 , S ? ? lg 5 ? lg ? ? lg 7 >-1 7 7 i ? 5 ? 2 ? 7 , S ? ? lg 7 ? lg ? ? lg 9 >-1 9 9 i ? 7 ? 2 ? 9 , S ? ? lg 9 ? lg ? ? lg11 <-1 11
i ? 1 ? 2 ? 3 , S ? ? lg 3 ? lg
所以输出 i ? 9

x2 y2 第二节 过双曲线 C: 2 ? 2 ? 1 的右顶点作 x 轴的垂线与 C 的一条渐近线相交于 A .若以 C 的右焦点为 a b
圆心、半径为 4 的圆经过 A、O两点(O为坐标原点), 则双曲线 C 的方程为( )

第三节

x2 y2 ? ?1 4 12

B.

x2 y2 ? ?1 7 9

C.

x2 y2 ? ?1 8 8

D.

x2 y2 ? ?1 12 4

【答案】A 【解析】以 C 的右焦点为圆心、半径为 4 的圆经过 坐标原点O, 则 c=4.且 CA ? 4 .设右顶点为 B ? a, 0 ? ,
2 2 2 2 2 2 2 C ? a, b ? , Q ?ABC为Rt? ,? BA ? BC ? AC ,? ? 4 ? a ? ? b ? 16, 又 Q a ? b ? c ? 16 。得 2

16 ? 8a ? 0, a ? 2, a2 ? 4, b2 ? 12, 所以双曲线方程
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x2 y2 ? ?1。 4 12
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10.在同一直角坐标系中,函数 y ? ax ? x ?
2

a 与y ? a 2 x3 ? 2ax 2 ? x ? a (a ? R ) 的图像不可能的是( 2



【答案】B

1 a 的对称轴为 x ? ,对函数 2a 2 1 1 y ? a2 x3 ? 2ax2 ? x ? a ,求导得 y' ? 3a2 x2 ? 4ax ?1 ? ?3ax ?1?? ax ?1? ,令 y' ? 0 , x1 ? , x2 ? .所 3a a 1 1 1 , x2 ? ,之间,所以 B 是错误的。所以选择 B。 以对称轴 x ? 介于两个极值点 x1 ? 2a 3a a
2 【解析】当 a ? 0 时,D 符合;当 a ? 0 时,函数 y ? ax ? x ?

第四节 填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 第五节 若曲线 y ? x ln x上点P 处的切线平行于直线 2 x ? y ? 1 ? 0, 则点P 的坐标是_______. 【答案】(e,e) 【解析】 y ? 1? ln x ? x ?

1 ? ln x ? 1 x

切线斜率 K=2 则 ln x0 ? 1 ? 2 , ln x0 ? 1 ,? x0 ? e 所以 P(e,e) 第六节 已知单位向量 e1 , e2的夹角为? , 且cos? ? 【答案】3

? f ? x0 ? ? e

1 , 若向量a ? 3e1 ? 2e2 , 则 | a |? _______. 3

2 【解析】 a ? a ? ? 3e1 ? 2e2 ? ? ? 3e1 ? ? ? 2e2 ? ? 12e1 ? e2 ? 9 ? 4 ? 12 cos ? ? 9 2 2 2 2

解得 a ? 3 第七节 在等差数列 ?an ? 中, a1 ? 7 ,公差为 d ,前 n 项和为 Sn ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值, 则 d 的取值范围_________. 【答案】 ?1 ? d ? ?

7 8

【解析】 因为 a1 ? 7 ? 0 ,当且仅当 n ? 8 时 Sn 取最大值,可知 d ? 0 且同时满足 a8 ? 0, a9 ? 0 , 所以, ?

?a8 ? 7 ? 7 d ? 0 7 ,易得 ?1 ? d ? ? 8 ?a9 ? 7 ? 8d ? 0

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x2 y 2 第八节 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? 的左右焦点为 F1, F2 ,作 F2 作 x 轴的垂线与 C 交于 a b
A,B 两点, F1 B 与 y 轴交于点 D ,若 AD ? F1B ,则椭圆 C 的离心率等于________.
【答案】

3 3
2b 2 b2 ,则由椭圆的定义可知: AF1 ? 2a ? , a a

【解析】 因为 AB 为椭圆的通径,所以 AB ?

c 2b 2 b2 b2 2 ? 2a ? ,得 2 ? ,又离心率 e ? ,结合 a 2 ? b2 ? c2 又因为 AD ? F1B ,则 AF 1 ? AB ,即 a a 3 a a

得到: e ?

3 3

y ? R ,若 x ? y ? x ?1 ? y ?1 ? 2 ,则 x ? y 的取值范围为__________. 第九节 x,
【答案】 0 ? x ? y ? 2 【解析】? x ? x ? 1 ? 1

y ? y ?1 ? 1

要使 x ? x ? 1 ? y ? y ? 1 ? 2 只能 x ? x ? 1 ? y ? y ? 1 ? 2

x ? x ?1 ? 1
?0 ? x ? 1

y ? y ?1 ? 1
0 ? y ?1

? 0? x? y ?2
三、解答题:本大题共 6 小题,学 科网共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ?x? ? a ? 2 cos x cos?2 x ? ? ? 为奇函数,且 f ?
2

?

?

?? ? ? ? 0 ,其中 ?4?

a ? R, ? ? ?0, ? ?.

? 的值; 第十节 求 a,
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第十一节

若 f?

?? 2 ? ?? ? ?? ? ? ?? , ? ? ,求 sin?? ? ? 的值. ??? , 3? 5 ? ?4? ?2 ?

【解析】解;(1) f ?

?? ? ?? ? ? ? ? a ? 1? cos ? ? ? ? ? ? ? a ? 1? sin ? ? 0 ?4? ?2 ?

Q ? ? ? 0, ? ? ,? sin ? ? 0 ,? a ? 1 ? 0,? a ? ?1??????????????2 分 Q 函数 f ?x? ? ?a ? 2 cos2 x?cos?2x ? ? ? 为奇函数
? f ? 0? ? ? a ? 2? cos? ? cos? ? 0 ??????????????4 分
?? ?

?
2

??????????????5 分 有(1)得 f ? x ? ? ?1 ?2cos

第十二节 7分

?

2

?? x cos cos2 ? sin2 xg ? 2? ? x? ?? 2? ?

xsin4 ??

1 2

x ??????

1 2 ?? ? Q f ? ? ? ? sin ? ? ? 2 5 ?4?

?? ?s i n

4 ??????????????8 分 5

3 ?? ? ? ? ,? cos ? ? ? ??????????????10 分 Q ? ?? , 5 ?2 ?

?? ? ? 4 1 3 3 4?3 3 ? ??????????12 分 ?sin ? ? ? ? ? sin ? cos ? cos ? sin ? ? ? ? ? 3? 3 3 5 2 5 2 10 ?

第十三节

(本小题满分 12 分)

3n 2 ? n ,n ? N ? . 已知数列 ?a n ?的前 n 项和 S n ? 2
第十四节 第十五节 求数列 ?a n ?的通项公式; 证明:对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ,使得 a1, an, am 成等比数列.
?

解析: (1)当 n ? 1 时 a1 ? S1 ? 1 当 n ? 2时
an ? S n ? S n ?1 ?

? ?n? 1 3n 2 ? n 3 ? n ? 1 ? ? 3n ? 2 2 2
2

检验 当 n ? 1 时 a1 ? 1
? an ? 3n ? 2
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 第 6 页 共 6 页

(2)使 a1, an, am 成等比数列. 则 an 2 = a1am
?? 3n ? 2? =3m ? 2
2

即满足 3m ? ?3n ? 2? ? 2? 9n2 ?12n ? 6
2

所以 m ? 3n 2 ? 4n ? 2 则对任意 n ? 1 ,都有 3n2 ? 4n ? 2 ? N ? 所以对任意 n ? 1 ,都有 m ? N ,使得 a1, an, am 成等比数列. 18.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? (4x 2 ? 4ax ? a 2 ) x ,其中 a ? 0 . (1)当 a ? ?4 时,求 f ( x) 的单调递增区间; (2)若 f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 8,求 a 的值. 【解析】解:(1)当 a ? ?4 时, f ? x ? ? ? 2 x ? 4 ?
2

?

x ? 2 ? x ? 2?

2

x,

f ? x ? 的定义域为 ?0, ?? ?
f ? x ? ? 4 ? x ? 2?
'

? x ? 2? x?
x
2

2

=

? x ? 2?? 5x ? 2 ?
x

令f

'

? x? ? 0 得 0 ? x ? 5 , x ? 2
? 2? ? 5?

所以当 a ? ?4 时, f ( x) 的单调递增区间为 ?0, ? 和 ? 2, +? ? 第十六节

f ? x? ? ? 2x ? a ?

2

x
2

f ? x ? ? 2 ? 2x ? a ?
'

? 2x ? a ? x?
2 x
a

?
a

? 2 x ? a ??10 x ? a ?
2 x

令f

'

? x? ? 0 ,得 x1 ? ? 2 , x2 ? ? 10
? ? a ? ? a ? ' ? , ? - , ?? ? 上, f ? x ? ? 0 , f ( x) 的单调递增; 10 ? ? 2 ?

Q a ? 0 ,? x1 ? x2 ? 0
所以,在区间 ? 0, -

在区间 ? -

? a a? ,- ? 上, f ' ? x ? ? 0 , f ( x) 的单调递减; 10 2? ?
第 7 页 共 7 页

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又易知 f ? x ? ? ? 2 x ? a ? ① 当?

2

? a? x ? 0 ,且 f ? ? ? ? 0 ? 2?

a ? 1 时,即 ?2 ? a ? 0 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 f ?1? ,由 f ?1? ? 4 ? 4a ? a2 =8,得 2

a ? ?2 ? 2 2 ,均不符合题意。
? a? a f ?? ? ? 0 ② 当 1 ? ? ? 4 时,即 ?8 ? a ? ?2 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值为 ? 2 ? ,不符合题意 2
③当 ?

a ? 4 时,即 a ? ?8 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值可能为 x ? 1 或 x ? 4 处取到,而 f ?1? ? 8 , 2

,当 a ? ?10 时, f ( x) 在区间 [1,4] 上单调递 f ? 4? ? 2(64 ?16a ? a2 ) ? 8 ,得 a ? ?10 或 a ? ?6 (舍去) 减, f ( x) 在区间 [1,4] 上的最小值 f ? 4? ? 8 符合题意, 综上, a ? ?10

19.(本小题满分 12 分) 如图,三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AA 1 ? BC, A 1 B ? BB 1.

(1)求证: A1C1 ? CC1 ; (2)若 AB ? 2, AC ? 3, BC ? 7 ,问 AA1 为何值时,三棱 柱 ABC ? A1B1C1 体积最大,并求此最大值。 19.(1)证明:三棱柱 ABC ? A1B1C1 中,

AA1 ? BC ? BB1 ? BC ,
又 BB1 ? A1B 且

BC

A1B ? C

? BB1 ? 面BCA1,
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 第 8 页 共 8 页

又 BB1∥CC1

?CC1 ? 面BCA1,
又? AC1 ? 面BCA 1,

,所以AC ? CC1. (4 分) 1
AB = A1 B1 -BB1 = 4 ? x (2)设 AA1 ? x, 在 Rt△ A 1BB 1 中,
2 2

同理, A1C= A1C1 ? CC1 ? 3 ? x ,在△ A 1BC 中
2 2 2

A1 B 2 ? A1C 2 ? BC 2 x2 ?? , cos ? BA1C = 2 A1 B A1C (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )

sin ? BA1C =

12 ? 7 x 2 , (6 分) (4 ? x 2 )(3 ? x 2 )
1 12 ? 7 x 2 , (7 分) A1B A1C sin ? BA1C ? 2 2 x 12 ? 7 x 2 (8 分) 2

所以 S△A1BC ?

从而三棱柱 ABC ? A 1 ? 1B 1C1 的体积 V ? S ? l ? S△A1BC ? AA

(x - )+ 因 x 12 ? 7 x = 12 x ? 7 x = -7
2 2 4
2 2

6 7

36 (10 分) 7

故当 x =

42 42 3 7 即 AA1 = 体积 V 取到最大值 (12 分) 时, 时, 7 7 7

试题分析:本题第一小问考查了立体几何空间垂直关系,属于容易题,大部分考生可以轻松解决,第二小 问考查了棱柱体积的求法并且与解三角形和二次函数结合考查最值问题,有一定的综合性,属于中档题, 解决该类问题关键在于合适的引入变量,建立函数模型,另外在计算过程中应谨慎小心,避免粗心。 第十七节 (本小题满分 13 分 )
2

如图,已知抛物线 C : x

? 4 y ,过点 M (0, 2) 任作一直线与 C 相交于 A, B 两点,过点 B 作 y 轴的平行

线与直线 AO 相交于点 D ( O 为坐标原点). 第十八节 证明:动点 D 在定直线上; 作 C 的任意一条切线 l (不含 x 轴)与直线 y
2

第十九节

? 2 相交于点 N1 ,与(1)中的定直线相

交于点 N 2 ,证明: | MN2 |

? | MN1 |2 为定值,并求此定值.
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(kx+2) 20(1)解:根据题意可设 AB 方程为 y=kx+2,代入 x 2 =4y ,得 x2 =4 ,
即 x 2 -4kx-8=0 ,设 A ,B ,则有: x1 x2 =-8, (2 分) (x1,y1) (x2,y2)

? x=x2 y1 ? 直线 AO 的方程为 y= x ;BD 的方程为 x=x2 ,解得交点 D 的坐标为 ? y1 x2 x1 ? y= x ? 1
(4 分) ,注意到 x1 x2 =-8 及 x12 =4y1 ,则有 y=

y1 x1 x2 -8y1 = =-2, (5 分) x12 4y1

因此 D 点在定直线 y=-2 上( x ? 2 ) (6 分) (2)依据题设,切线 l 的斜率存在且不等于 0,设切线 l 的方程为 y=ax+b (a ? 0)
2 2 (ax+b) 代入 x 2 =4y 得 x =4 ,即 x -4ax-4b=0 ,由 ? =0 得 16a2 ? 16b ? 0,

化简整理得 b ? ?a , (8 分)
2

故切线 l 的方程可写为 y ? ax ? a .分别令 y=2、y=-2 得
2

2 2 (11 分) N1 , N2 的坐标为 N1 ( ? a, 2), N 2 (? ? a, ?2) , a a 2 2 2 2 2 2 2 则 MN 2 ? MN1 ? ( ? a) ? 4 ? ( ? a) ? 8, a a
即 MN 2 ? MN1 为定值 8.(13 分) 试题分析:本题考查了直线与抛物线的位置关系,对学生的分析和转化能力要求较高,解决该类问题应抓 住问题的实质,充分合理的运用已知条件是解决该题的关键。
2014 年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷) 第 10 页 共 10 页
2 2

第二十节

(本小题满分 14 分)

将连续正整数1,2,

, n(n ? N*) 从小到大排列构成一个数123

n , F (n) 为这个数的位数(如 n ? 12

时,此数为123456789101112 ,共有 15 个数字, f (12) ? 15 ) ,现从这个数中随机取一个数字, p ( n) 为恰好取到 0 的概率. 第二十一节 求

p(100) ;

第二十二节 当 n ? 2014 时,求 F ( n) 的表达式; (3)令 g ( n) 为这个数字 0 的个数,

f (n) 为这个数中数字 9 的个数, h(n) ? f (n) ? g (n) ,

S ? {n | h(n) ? 1, n ? 100, n ? N*},求当 n ? S 时 p (n) 的最大值.

21.解: (1)当 n=100 时,这个数中总共有 192 个数字,其中数字 0 的个数为 11,所以恰好取到 0 的概率 为 p(100)=

11 ;(2 分) 192

?n,1 ? n ? 9, ?2n ? 9,10 ? n ? 99, ? (2) F (n) ? ? (5 分) ?3n ? 108,100 ? n ? 999, ? ?4n ? 1107,1000 ? n ? 2014.
(3)当 n=b( 1 ? b ? 9,b ? N+ ),g(n)=0; 当 n=10k+b (1 ? k ? 9,0 ? b ? 9, k ? N? , b ? N )时, g(n)=k;

?0,1 ? n ? 9, ? n=100 时 g(n)=11,即 g (n) ? ?k , n ? 10k ? b,1 ? k ? 9, 0 ? b ? 9, k ? N ? ,b ? N , (8 分) ?11, n ? 100 ?

?0,1 ? n ? 8, ?k , n ? 10k ? b,1 ? k ? 9, 0 ? b ? 9, k ? N b ? N , ? ?, 同理有 f ( n) ? ? (10 分) ?n ? 80,89 ? n ? 98, ? ?20, n ? 99,100
由 h(n)=f(n)-g(n)=1,可知 n=9,19,29,29,49,59,69,79,89,90 所以当 n ? 100 时,S= 9,19,29,39,49,59,69,79,89,90 当 n=9 时,p(9)=0,
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?

? (11 分)

当 n=90,p(90)=

g (90) 1 = F (90) 19 g (n) k k (13 分) ? ? F (n) 2n ? 9 20k ? 9

当 n=10k+9( 1 ? k ? 8, k ? N ? , )时,p(n)= 由 y=

k 关于 k 单调递增,故当当 n=10k+9( 1 ? k ? 8, k ? N ? , )时, 20 k ? 9 8 8 1 1 < ,所以最大植为 .(14 分) P(n)的最大值为 p(89)= ,又 169 169 19 19
试题分析:本题为信息题,也是本卷的压轴题,考查学生认识问题、分析问题、解决问题的能力,本题 的命题新颖,对学生能力要求较高,难度较大,解决本题的关键首先在于审清题意,搞清楚

F (n) 、p(n)的含义,这样就可以解决前两问,同时为第三问做好铺垫,第三问在前两问的
基础上再加以深入,考查学生综合分析问题的能力。本题由易到难,层层深入,是一道难得 的好题.

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2014年普通高等学校招生全国统一考试(江西卷)_数学(文)

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