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2013届高三一轮复习理科数学周练试卷(7)[1]

时间:2012-12-30


我学习 我快乐

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2013 届高三一轮复习周练试卷(7) (解答题) 理 科 数 学
命题:我学习,我快乐 工作室 1. (本小题 12 分)函数 试卷满分:75 分 时量:70 分钟

f ( x) ? [2sin( x ?

>?
3

) ? sin x]cos x ? 3 sin 2 x, ( x ? R).

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期;

(2)若存在

x0 ? [0,

5? ] 12 ,使不等式 f ( x0 ) ? m 成立,求函数 m 的取值范围。

2. (本小题 12 分)已知斜三棱柱 ABC—A1B1C1,AC ? BC,AC=BC=2,A1 在底面 ABC 上的射影恰为 AC 的中点 D,又知 BA1 ? AC1。 (1)求证:AC1 ? A1C; (2)求 CC1 到平面 A1AB 的距离; (3)求二面角 A—A1B—D 的大小。

1

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3. (本小题 12 分)在医学生物学试验中,经常以果蝇作为试验对象.一个关有 6 只果蝇的 笼子里,不慎混入了两只苍蝇(此时笼内共有 8 只蝇子:6 只果蝇和 2 只苍蝇),只好把笼子 打开一个小孔,让蝇子一只一只地往外飞,直到两只苍蝇都飞出,再关闭小孔.以 ? 表示笼 内还剩下的果蝇的只数. (1)写出 ? 的分布列(不要求写出计算过程); (2)求数学期望 E ? ; (3)求概率 P( ? ≥E ? ).

4. (本小题 13 分)若 ?ABC 的三个顶点均在椭圆 4 x ? 5 y ? 80 上,且点 A 在 y 轴的正
2 2

半轴上. (Ⅰ)若 ?ABC 的重心是椭圆的右焦点
?

F2 ,试求直线 BC 的方程;

(Ⅱ)若 ?A ? 90 ,试证直线 BC 恒过定点.

2

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2 a 5. (本小题 13 分)已知等差数列 ? n ? 的首项为 a,公差为 b,且不等式 ax ? 3x ? 2 ? 0 的

解集为

(??,1) ? (b ,??) , ?an ? 前 n 项和为 S n

a (1)求数列 ? n ? 的通项公式及 S n . b b (2)若数列 ? n ?满足 b n ? an ? 2 ,求数列 ? n ?的前 n 项和T n
n

(3)若数列

{cn } 满足 cn ? Sn ? 2n ,求数列 {cn } 的前 n 项和 Pn 。

6. (本小题满分 13 分)设函数 f ( x) ? x2 ? b ln( x ? 1) ,其中 b ? 0 (1)当 b ?

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1 时,判断函数 f ( x ) 在定义域上的单调性; 2

(2)求函数 f ( x ) 的极值点;

(3)证明对任意的正整数 n ,不等式 ln ?

?1 ? 1 1 ? 1? ? 2 ? 3 都成立 ?n ? n n

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2013 届高三一轮复习周练试卷(7)理科数学参考答案
1.解: (1) f ( x) ? 2sin x cos x ? 3 cos2 x ? 3sin 2 ? sin 2 x ? 3 cos 2 x

? 2sin(2 x ? ) ∴最小正周期 T ? ? 3 5? ? 2 7? ] ? 2 x0 ? ? [ , ] (2)? x0 ? [0, 12 3 3 6

?

s i n (x2 ? 0

?

? f ( x)的值域为[?1, 2]

5? ?存在x0 ? [ 0 , ,使 f ( x) ? m 成立 ] 12

1 ?) ? [ 3 2

, 1]
? m ? ?1

2.解:解法一: (1)? A1 D ? 平面ABC,? 平面AA C1C ? 平面ABC, 1 又 BC ? AC,? BC ? 平面AA C1C, ? BC ? AC1 , 又? BA ? AC1 , BA ? BC ? B, 1 1 1

? AC1 ? 平面A1 BC, ? AC1 ? A1C. (也可应用三垂线定理的逆定理证明)…3 分(2) 因为 AC1 ? A1C. 所以四边形 AA1C1C 的为菱形,故 AA1=AC=2, CC1//平面 A1AB,又 D 为 AC 的中点,知 ?A1 AC ? 60? 。 取 AA1 的中点 F,则 AA1 ? 平面 BCF, 从而平面 A1 AB ? 平面 BCF,过 C 作 CH ? BF 于 H,
则 CH ? 平面 A1AB,在 Rt?BCF中, BC ? 2, CF ? 3,

2 21 2 21 , 即 CC1 到平面 A1AB 的距离为 . …………8 分 7 7 (3)过 H 作 HG ? A1 B 于 G,连结 CG,则 CG ? A1 B, 从而 ?CGH
故 CH ? 为二面角 A—A1B—C 的平面角,在 Rt?A1 BC中, A1C ? BC ? 2, 所以 CG ?

2,

CH 42 ? , CG 7 42 故二面角 A—A1B—C 的大小为 arcsin . …………12 分 7
在 Rt?CGH中, sin ?CGH ?

解法二: 如图, AB 的中点 E, (1) 取 连结 DE, DE//BC, 则 因为 BC ? AC, 所以DE ? AC, 则 A(0,?1,0), B(2,1,0), C(0,1,0), A1 (0,0, t ), C1 (0,2, t ), (t ? 0),

又 A1 D ? 平面 ABC,以 DE,DC,DA1 为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,

AC1 ? (0,3, t ), BA ? (?2,?1, t ),CB ? (2,0,0), 1
由 AC1 ? CB ? 0, 知 AC1 ? CB, 又BA ? AC1 , 1 (2)由 AC1 ? BA ? ?3 ? t 2 ? 0, 是t ? 3. 1 设平面 A1AB 的一个法向量 n ? ( x, y, z ), AA ? (0,1, 3), AB ? (2,2,0), 1 所以 ? 从而 AC1 ? 平面A1 BC, 所以AC1 ? A1C. …………5 分

?n ? AA1 ? y ? 3 z ? 0 ? , 令 z ? 1, 则n ? ( 3,? 3,1), 所以点 C1 到平面 A1AB 的距离 ?n ? AB ? 2 x ? 2 y ? 0 ?

d?

| AC1 ? n | 2 21 ? . …………8 分 |n| 7

(3)设平面 A1BC 的法向量为 m ? ( x, y, z ), CA1 ? (0,?1, 3),CB ? (2,0,0),

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?m ? CA1 ? ? y ? 3z ? 0 7 ? , , 令 z ? 1, 则m ? (0, 3,1), 故 cos ? m ? n ?? ? 7 ?m ? CB ? 2 x ? 0 ? 7 根据法向量的方向,可知二面角 A—A1B—C 的大小为 arccos . ……12 分 7
所以 ? 3.

15 28
4.解: (Ⅰ)设 B( x1 , y1 ),C( x2 , y 2 ),BC 中点为( x0 , y0 ),F(2,0).

x12 y12 x2 y2 ? ? 1, 2 ? 2 ? 1.两式作差有 20 16 20 16 ( x1 ? x2 )(x1 ? x 2 ) ( y1 ? y 2 )( y1 ? y 2 ) ? ?0 . 20 16 x y k 设直线 BC 的斜率为 k ,则有 0 ? 0 ? 0 . (1) 5 4 x ? x2 ? 2 ,得 x0 ? 3 因 F2(2,0)为三角形重心,所以由 1 3 y ? y2 ? 4 6 ? 0 得 y0 ? ?2 ,代入(1)得 k ? . 由 1 5 3 直线 BC 的方程为 6 x ? 5 y ? 28 ? 0 . …………………………………………7 分 ??? ??? ? ? (Ⅱ)由 AB⊥AC,得 AB?AC ? x1x2 ? y1 y2 ? 4( y1 ? y2 ) ?16 ? 0 (2)
则有 设直线 BC 方程为 y ? kx ? b, 代入4 x 2 ? 5 y 2 ? 80 ,得

(4 ? 5k 2 ) x 2 ? 10bkx ? 5b 2 ? 80 ? 0
x1 ? x 2 ? ? 10 kb 5b 2 ? 80 , x1 x 2 ? 4 ? 5k 2 4 ? 5k 2

8k , 4 ? 5k 2 4b2 ? 80k 2 y1 y2 ? (kx1 ? b)(kx2 ? b) ? k 2 x1 x2 ? kb( x1 ? x2 ) ? b 2 ? 4 ? 5k 2 4 9b 2 ? 32b ? 16 ? 0 ,解得 b ? 4(舍) 或 b ? ? 代入(2)式得, 2 9 4 ? 5k 4 故直线 BC 过定点(0, ? ) . …………………………………………13 分 9 y1 ? y2 ? (kx1 ? b) ? (kx2 ? b) ? k ( x1 ? x2 ) ? 2b ?
5

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? 当 x ? 2 时, ?
?

1 4 4 1 1 ? 2 ? ? 2( ? ). (12 分) Inx x ? 1 ( x ? 1)( x ? 1) x ?1 x ? 1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ??? ? ? 2[(1 ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? ??? ? ( ? )] In2 In3 In4 Inn 3 2 4 3 5 4 6 n ?1 n ? 1 1 1 1 3n2 ? n ? 2 ? 2(1 ? ? ? )? 2 n n ?1 n(n ? 1) (13 分) ? 原不等式成立。

5.解:(1) ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的解集为

(??,1) ? (b ,??) ,根据不等式解集的意义可知方程

ax 2 ? 3x ? 2 ? 0 的 两 根 为 x 1 ? 1, x 2 ? b , 由 韦 达 定 理 得 a=1,b=2. 由 此 知

an ? 2n ? 1, S n ? n 2

-----4分

(2)由(1)知 b n ? (2n ? 1) ? 2 n ,因此

T n ? b1 ? b 2 ? ....? b n ? 1 ? 2 ? 3 ? 2 2 ? ... ? (2n ? 1) ? 2 n 2T n ? 1 ? 2 2 ? 3 ? 23 ? ... ? (2n ? 3) ? 2 n ? (2n ? 1)2 n ?1
(2)- (1)得

(1) (2)

T n ? ?2(21 ? 2 2 ? 23 ? .......? 2 n ) ? (2n ? 1) ? 2 n ?1 ? 2 ? (2n ? 3) ? 2 n ?1 ? 6

————8 分

(3)由 P ? 12 ? 21 ? 22 ? 22 ? 32 ? 23 ?... ? ( n ?1) 2 ?2 n?1 ? n2 ?2 n ???(3) n 得: 2P ? 12 ? 22 ? 22 ? 23 ? 32 ? 24 ? ... ? (n ?1)2 ? 2n ? n2 ? 2n?1 ??? (4) n

(4) ? (3) 得: ?Pn ? 1? 21 ? 3 ? 22 ? 5 ? 23 ? ... ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? (2n ?1) ? 2n ? n2 ? 2n?1

? Tn ? n2 ? 2n?1 ? (2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 ? n2 ? 2n?1 ? (?4n2 ? 2n ? 3) ? 2n?1 ? 6
故: P ? (4n2 ? 2n ? 3) ? 2n?1 ? 6 n -------13 分

, 6.解: (Ⅰ)由题意知, f ( x ) 的定义域为 (?1 ? ?) , f ' ( x) ? 2 x ?
设 g(x)=2x2+2x+b,其图象的对称轴为 x ? ?

b 2x 2 ? 2x ? b ? x ?1 x ?1

1 ? (?1, ?) , ? 2

1 ? 1? ? g ( x)max ? g ? ? ? ? ? ? b 2 ? 2? 1 1 当 b ? 时, g ( x) max ? ? ? b ? 0 , 2 2 2 , 即 g ( x) ? 2 x ? 3x ? b ? 0 在 (?1 ? ?) 上恒成立, ? ? 当 x ? (?1, ?) 时, f ?( x) ? 0 ,
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1 ? ? 当 b ? 时,函数 f ( x) 在定义域 (?1, ?) 上单调递增 2 1 (Ⅱ)①由(Ⅰ)得,当 b ? 时,函数 f ( x ) 无极值点 2 3 1? ? 2? x ? ? 1 1 2? ? ② b ? 时, f ?( x) ? ? 0 有两个相同的解 x ? ? , 2 2 x ?1 1? ? 1 ? ? ? x ? ? ?1, ? 时, f ?( x) ? 0 , x ? ? ? , ? ? 时, f ?( x) ? 0 , ? ? 2? ? 2 ? ? 1 ? b ? 时,函数 f ( x) 在 (?1, ?) 上无极值点 ? 2 1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ③当 b ? 时, f ?( x) ? 0 有两个不同解, x1 ? , x2 ? , 2 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b ? b ? 0 时, x1 ? ? ?1 , x2 ? ? 0, 2 2 即 x1 ? (?1 ? ?) , x2 ?? ?1 ? ?? , , ? b ? 0 时, f ?( x ) , f ( x) 随 x 的变化情况如下表: ( x2, ?) ? (?1,x1 ) x1 x f ?( x ) 0 ? ? f ( x) 极小值 ? ? ?1 ? 1 ? 2b 由此表可知: b ? 0 时, f ( x ) 有惟一极小值点 x1 ? , 2 1 ?1 ? 1 ? 2b ? ?1 , 当 0 ? b ? 时, x1 ? 2 2 ? x1,x2 ? (?1 ? ?) , 此时, f ?( x ) , f ( x ) 随 x 的变化情况如下表: ( x1,x2 ) x (?1,x1 ) x1 x1 ( x1, ?) ? f ?( x ) 0 0 ? ? ? f ( x) 极大值 极小值 ? ? ? 1 ?1 ? 1 ? 2b 由 此 表 可 知 : 0 ? b ? 时 , f ( x ) 有 一 个 极 大 值 x1 ? 和一个极小值点 2 2 ?1 ? 1 ? 2b ; x2 ? 2
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综上所述:

?1 ? 1 ? 2b ; 2 1 ?1 ? 1 ? 2b ?1 ? 1 ? 2b 0 ? b ? 时, f ( x) 有一个极大值点 x ? 和一个极小值点 x ? ; 2 2 x 1 b ≥ 时, f ( x) 无极值点 2 2 (Ⅲ)当 b ? ?1 时,函数 f ( x) ? x ? ln( x ? 1) ,
b ? 0 时, f ( x) 有惟一最小值点 x ?
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令函数 h( x) ? x2 ? f ( x) ? x2 ? x2 ? ln( x ? 1) ,

1 3x 2 ? ( x ? 1) 2 ? x ?1 x ?1 ?( x) ? 0 ,所以函数 h( x) 在 ?0, ?? 上单调递增, ? 当 x??0, ?? 时, f ? ? 又 h(0) ? 0
则 h?( x) ? 3x ? 2 x ?
2
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? x ? (0, ?) 时,恒有 h( x) ? h(0) ? 0 ,即 x2 ? x3 ? ln( x ? 1) 恒成立 ? 故当 x ? (0, ?) 时,有 ln( x ? 1) ? x2 ? x3 ? 1 ?1 ? 1 1 ? 对任意正整数 n 取 x ? ? (0, ? ) ,则有 ln ? ? 1? ? 2 ? 3 n ?n ? n n
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所以结论成立

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