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2013年高考真题解析分类汇编(文科数学)6:不等式


2013 年高考解析分类汇编 6:不等式
一、选择题

? x ? y ? 8, ? 2 y ? x ? 4, ? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(文 8) )若变量 x, y 满足约束条件 ? 且 ? x ? 0, ? ? y ? 0,

z ? 5 y ? x 的最大值为 a ,最小值为 b ,则 a ? b

的值是
A. 48
【答案】C

( D. 16



B. 30

C. 24

? x ? y ? 8, ? 2 y ? x ? 4, ? 条件 ? 表示以(0,0)、(0,2)、(4,4)、(8,0)为顶点的四边形区域,检验四顶点可 ? x ? 0, ? ? y ? 0,
知 , 当 x ? 4 , y ? 4 时 , a ? zmax ? 5 ? 4 ? 4 ? 16 , 当 x ? 8 , y ? 0 时 ,

b ?m i ? n 5 ? 0 ? 8 ? ?8 ,所以 a ? b ? 24 ,选 C.

?x ? y ? 2 ? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考福建卷(文) )若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? 1 ,则 ?y ? 0 ?
z ? 2 x ? y 的最大值和最小值分别为
A.4 和 3 B.4 和 2 C.3 和 2 D.2 和 0 【答案】B 本题考查的简单线性规划.如图,可知目标函数最大值和最小值分别为 4 和 2. ( )

y 2

O

1

2

x

? x ? y ? 1 ? 0, ? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文 3) ) 设 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 1 ? 0, , ? x ? 3, ?
则 z ? 2 x ? 3 y 的最小值是( (A) ?7 【答案】B (B) ?6 ) (C) ?5 (D) ?3

由 z=2x-3y 得 3y=2x-z ,即 y ?

2 z , 平移直线 x ? 。作出可行域如图 3 3 2 z 2 z 2 z y ? x ? ,由图象可知当直线 y ? x ? 经过点 B 时,直线 y ? x ? 的截距最大,此 3 3 3 3 3 3
?x ? y ?1 ? 0 ?x ? 3 得? , 即 B( 3 , 4 , ) 代 入 直 线 z=2x-3y 得 ?x ? 3 ?y ? 4

时 z 取得最小值,由 ?

z ? 3? 2 ? 3? 4 ? ?6 ,选 B.
错误!未指定书签。 . (2013 年高考福建卷(文) )若 2
x

? 2 y ? 1 ,则 x ? y 的取值范围是
D. (??,?2]





A. [0,2]
【答案】D

B. [?2,0]

C. [?2,??)

x y x y x? y 本题考查的是均值不等式.因为 1 ? 2 ? 2 ? 2 2 ? 2 ,即 2 ? 2?2 ,所以 x ? y ? ?2 ,

当且仅当 2 ? 2 ,即 x ? y 时取等号.
x y

错误!未指定书签。 . (2013 年高考江西卷(文 6) )下列选项中,使不等式 x<错误!未找到

引用源。< x 成立的 x 的取值范围是 A.(错误!未找到引用源。,-1) 【答案】A B.(-1,0) C.0,1)

2





D.(1,+错误!未

1 ? x? 2 ? ? ?x ? 1 ? x 本题考查不等式的解法。 若 x ?0, 则原不等式等价为 ? , 即? , 解得无解。 3 ? ?1 ? x ? 1 ? x2 ? ?x 1 ? x? ? ? x2 ? 1 ? x ? ?1 ? ? x 若 x ? 0 ,则原不等式等价为 ? ,即 ? ,即 ? ,所以 x ? ?1 ,即 x 的 3 3 ? ?1 ? x ?1 ? x ? 1 ? x2 ? ?x

取值范围是 (??, ?1) ,选 A.
. ( 2013 年 高 考 山 东 卷 ( 文 12 ) ) 设 正 实 数 x, y , z 满 足

错误!未指定书签。

x 2 ? 3 xy ? 4 y 2 ? z ? 0 ,则当
A.0
【答案】C

z 取得最大值时, x ? 2 y ? z 的最大值为 xy
C.2 D.





B.

9 8

9 4

由题设知 z ? x ? 3xy ? 4 y ,解得
2 2

z x 2 ? 3xy ? 4 y 2 x 4y ? ? ?3? ? 4 ? 3 ? 1 ,当 xy xy y x
取 等 号 ,







x ? 2y



(

z ) min ? 1 xy

.

1 1 2y ? 4 ? x 2 x ? 2 y ? z ? 2 y ? 2 y ? xy ? y(4 ? x) ? ? (2 y)(4 ? x) ? ( ) ? 2 ,故选 C. 2 2 2
错误!未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅱ卷(文 12) )若存在正数 x 使 2 ( x ? a) ? 1 成
x

立,则 a 的取值范围是( (A) (??, ??) 【答案】D

) (C) (0, ??) (D) (?1, ??)

(B) (?2, ??)

? 1 因 为 2 ? 0 , 所 以 由 2 (x ? a ) 得 x?a ?
x
x

1 ? 2? x , 在 坐 标 系 中 , 作 出 函 数 x 2

f ( x) ? x ? a, g ( x) ? 2? x 的图象,当 x ? 0 时, g ( x ) ? 2? x ? 1,所以如果存在 x ? 0 ,使 2 x ( x ? a ) ? 1,则有 ?a ? 1 ,即 a ? ?1 ,所以选 D.

?3x ? y ? 6 ? 0, ? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考天津卷(文 2) )设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 2 ? 0, ? y ? 3 ? 0, ?

则目标函数 z ? y ? 2 x 的最小值为





A.-7 C.1
【答案】A

B.-4 D.2

由 z ? y ? 2 x 得 y ? 2 x ? z 。作出可行域如图

,平移直线 y ? 2 x ? z ,

由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 D 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时 z 最小,由
?x ? y ? 2 ? 0 ?x ? 5 ,得 ? ,即 D(5,3) 代入 z ? y ? 2 x 得 z ? 3 ? 2 ? 5 ? ?7 ,选 A. ? ?y ? 3 ? 0 ?y ? 3
错误!未指定书签。 . (2013 年高考湖北卷(文) )某旅行社租用 A 、 B 两种型号的客车安排

900 名客人旅行, A 、B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人,租金分别为 1600 元/辆 和 2400 元/辆,旅行社要求租车总数不超过 21 辆,且 B 型车不多于 A 型车 7 辆.则租金最 少为 ( A.31200 元 B.36000 元 C.36800 元 D.38400 元 【答案】C 本 题 考 查 线 性 规 划 的 实 际 应 用 。 设 A 、 B 两 种 车 辆 的 数 量 为 x, y , 则 由 题 意 知



y ? 900 ?3 6x ? 6 0 ? , 则 所 求 的 租 金 z ? 1600 x ? 2400 y 。 作 出 可 行 域 如 图 ? x ? y ? 21 ?y ? x ? 7 ?

,由 z ? 1600 x ?2400 y 得, y ? ? 线 y??

2 z ,平移直 x? 3 2400

2 z 2 z , 由 图 象 可 知 当 直 线 y ?? x? 经过点 C 时, x? 3 2400 3 2400

?36 x ? 60 y ? 900 ?x ? 5 2 z 的截距最小,此时 z 最小。由 ? ,解得 ? ,即 y ?? x? 3 2400 ? y ? 12 ?y ? x ? 7

C (5,12) ,代入 z ? 1600 x ? 2400 y 得 z ? 1600 ? 5 ? 2400 ?12 ? 36800 ,选 C.

错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(文 7) )若点(x,y)位于曲线 y = |x|与 y = 2 所围

成的封闭区域, 则 2x-y 的最小值为 A.-6 B.-2 【答案】A

( C.0 D.2



y ?| x | 与y ? 2 的图像围成一个三角形区域,3 个顶点的坐标分别是 (0,0),(-2,2),(2,2). 且当
取点(-2,2)时,2x – y = - 6 取最小值。所以选 A
错误! 未指定书签。 . (2013 年高考重庆卷 (文 7) ) 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 8a ? 0 ( a ? 0 )
2 2

的解集为 ( x1 , x2 ) ,且: x2 ? x1 ? 15 ,则 a ? A.





5 2

B.

7 2

C.

15 4

D.

15 2

【答案】A

本题考查一元二次不等式的解法。不等式 x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 的解集为 ( x1 , x2 ) ,则 x1 , x2 是 方 程

x 2 ? 2ax ? 8a 2 ? 0 的 两 个 根 , 所 以

x1 ? x2 ? 2a, x1 x2 ? ?8a 2 。

? ? 4a 2 ? 4(?8a 2 ) ? 36a 2 ? 0 又 x2 ? x1 ? 15 , 所 以 ( x2 ? x1 )2 ? ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2 , 即
2 1 52 ? ( 2 a 2 )? 4 ?( a8 ) ,整理得 a2 ?

225 15 5 ,因为 a ? 0 ,所以 a ? ? ,选 A. 36 6 2

3

错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(文 2) )设 a, b, c ? R ,且 a ? b ,则



A. ac ? bc
【答案】D

B.

1 1 ? a b

C. a ? b
2

2

D. a ? b
3

利用特值法和排除法结合可快速判断,A:由于 C 的正负号不确定,若 C 为零或负数, 不成立,则错误;B:若 a ? 0 ,无意义,错误;C: a ? ?1 , b ? 1 就不满足,错误;答案 只能为 D。另外从函数的单调性的角度亦可快速判断,A 容易排除,BCD 四个选项分别代表 了反比例函数,二次函数,三次幂函数,只有三次幂函数定义域为 R 且在 R 上单调递增。
二、填空题

? x ? 0, ? 错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考大纲卷(文 15 ) ) 若 x、y 满足约束条件 ? x ? 3 y ? 4, 则 ?3 x ? y ? 4, ?

z ? ? x ? y的最小值为 ____________.
【答案】0

作出可行域,如图 时截距最少,此时 z ? ?1 ? 1 ? 0 ,填 0.

, A(0,4) , B(1,1) ,过 B(1,1)

错误!未指定书签。 . ( 2013 年 高 考 浙 江 卷 ( 文 16 ) ) 设 a,b∈R, 若 x≥0 时 恒 有

0≤x -x +ax+b≤(x -1) ,则 ab 等于______________.
【答案】 ?1

4

3

2

2

当 x ? 1 时,代入不等式有 0 ? a ? b ? 0 ,所以 a ? b ? 0 。当 x ? 0 时,可得 0 ? b ? 1 ,结 合 a ? b ? 0 , 得 ?1 ? a ? 0 。 令 f ( x) ? x ? x ? ax ? b , 则 f ( 1 ? ) a? b? 。 0
4 3

f '( x) ? 4 x3 ? 3x 2 ? a 。 令 g ( x) ? f '( x) ? 4 x3 ? 3x 2 ? a , 则 g ' ( x ) ? 12 2 x? g ' (x ) ? 12 2 x? 6 x? , 0 x? 解得

6 x ,由

1 1 3 2 , 即函数 g ( x) ? f '( x) ? 4 x ? 3x ? a 在 [0, ] 上递减, 2 2

在 [ , ?? ) 上递增。又 ?1 ? a ? 0 ,所以 g (0) ? f '(0) ? a ? 0 , g (1) ? f '(1) ? 1 ? a ? 0 , 且 当 x ? 0 时 , 恒 有 0 ? x ? x ? ax ? b , 且 f ( 1 ? 知,1 必为函数 ) a? b? 0
4 3

1 2

f ( x) ? x 4 ? x3 ? ax ? b 的极小值点,也是最小值。所以 g (1) ? f '(1) ? 1 ? a ? 0 ,解得

a ? ?1 , b ? 1,所以 ab ? ?1 。
? x ? 2 y ? 8, ? 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考湖南 (文 13) )若变量 x,y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4, 则 ?0 ? y ? 3, ?
x+y 的最大值为________ 【答案】6

【命题立意】本题考查线性规划的应用。设 z ? x ? y ,则 y ? ? x ? z 。作出可行域如图

。平移直线 y ? ? x ? z ,由图象可知当直线 y ? ? x ? z 经过点 A 时,直线 y ? ? x ? z 的截距最大,此时 z 最大。由 ? 代入 z ? x ? y ,得 z ? 4 ? 2 ? 6 .
错 误 ! 未 指 定 书 签 。. ( 2013 年 高 考 重 庆 卷 ( 文 15 )) 设 0 ? ? ? ? , 不 等 式

?x ? 2 y ? 8 ?x ? 4 ,得 ? ,即 A(4, 2) , ?x ? 4 ?y ? 2

8 x 2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 对 x ? R 恒成立,则 a 的取值范围为____________.
【答案】 [0,

?
6

] ?[

5? ,? ] 6

本题考查一元二次不等式恒成立问题以及三角函数的基本运算。不等式

8 x 2 ? (8sin ? ) x ? cos 2? ? 0 恒成立,所以 ? ? 0 ,即 ? ? (8sin ? )2 ? 4 ? 8 ? cos 2? ? 0 ,
整理得 2sin 2 ? ? cos 2? ? 0 ,即 4sin 2 ? ? 1 ,所以 sin 2 ? ?

1 1 1 ,即 ? ? sin ? ? ,因为 4 2 2 ? 5? ? 5? 0 ? ? ? ? ,所以 0 ? ? ? 或 ? ? ? ? ,即 ? 的取值范围是 [0, ] ? [ , ? ] 。 6 6 6 6

错误!未指定书签。 . (2013 年高考山东卷(文 14) )在平面直角坐标系 xOy 中, M 为不等式

?2 x ? 3 y ? 6 ? 0 ? 组 ? x ? y ? 2 ? 0 所表示的区域上一动点,则直线 OM 的最小值为_______ ?y ? 0 ?
【答案】 2

画出不等式组表示的平面区域,可知|OM|的最小值应是 O 点到直线 x ? y ? 2 ? 0 的距离, 即d=

| ?2 | ? 2。 1?1

错误!未指定书签。 . (2013 年高考四川卷(文 13) )已知函数

x ? 3 时取得最小值,则 a ? __________.
【答案】36

a f ( x) ? 4 x ? ( x ? 0, a ? 0) 在 x

解法一: f ( x) ? 4 x ?
2

a a a ? 4 x ? ? 4 a (当且仅当 4 x ? ,即 a ? 4 x 2 时取等号), x x x

所以 a ? 4 ? 3 ? 36 ,故填 36. 解法二: f ( x) ? 4 x ? 36.

a a a ? 3 ,所以 a ? 36 ,故填 , f ?( x) ? 4 ? 2 ? 0 ,所以 x ? 2 x x

错误!未指定书签。 . (2013 年高考课标Ⅰ卷(文 14) )设 x, y 满足约束条件 ?

?1 ? x ? 3, , ??1 ? x ? y ? 0

则 z ? 2 x ? y 的最大值为______.
【答案】3

由 z ? 2x ? y 得 y ? 2x ? z 。 作 出 可 行 域 如 图

,平移直线

y ? 2 x ? z ,由图象可知当直线 y ? 2 x ? z 经过点 E 时,直线 y ? 2 x ? z 的截距最小,此时

z 最大,由 ?

?x ? 3 ?x ? 3 得? ,即 E (3,3) ,代入 z ? 2 x ? y 得最大值 z ? 2 ? 3 ? 3 ? 3 。 ?x ? y ? 0 ? y ? 3

错误!未指定书签。 . ( 2013 年高考浙江卷(文 15 ) ) 设 z ? kx ? y , 其中实数 x, y 满足

?x ? 2 ? ? x ? 2 y ? 4 ? 0 ,若 z 的最大值为 12,则 实数 k ? ________ . ?2 x ? y ? 4 ? 0 ?
【答案】2

次不等式表示的平面区域如图 4 所示 y=-kx+z 。当 k>0 时,直线 l0 : y ? ?kx 平移到 A 点时

目标函数取最大值,即当 4k+4=12 所以 K=2 ,当 K<0 时 ,直线: y ? ?kx 平移到 A 或 B 点是目标函数取最大值,可知 k 取值是大于零,所以不满足,所以 k=2,所以 填2

错误! 未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题 (文科 1) ) 不等式 【答案】 (0,

x ? 0 的解为_________. 2x ?1

1 ) 2

1 x(2 x ? 1) ? 0 ? x ? (0, ) 2
? x?0 ? 错误!未指定书签。 . (2013 年高考北京卷(文 12) )设 D 为不等式组 ? 2 x ? y ? 0 ,表示的 ?x ? y ? 3 ? 0 ?
平面区 域,区域 D 上的点与点(1,0) 之间的距离的最小值为___________.
【答案】

2 5 5

画出可行域,到(1,0)距离最小值为点(1,0)到直线 y ? 2 x 的距离。 此时 d ?

2 2 5 ? 。 5 5

错误!未指定书签。 . (2013 年高考陕西卷(文 14) )在如图所示的锐角三角形空地中, 欲建一

个面积最大的内接矩形花园(阴影部分), 则其边长 x 为___(m).

【答案】20

利用均值不等式解决应用问题。设矩形高为 y, 由三角形相似得:

x 40 ? y ? , 且x ? 0, y ? 0, x ? 40, y ? 40 40 40
? 40 ? x ? y ? 2 xy , 仅当x ? y ? 20时,矩形的面积s ? xy取最大值400 .
1 |a| 的最小 ? 2|a| b

错误!未指定书签。 . (2013 年高考天津卷(文 14) )设 a + b = 2, b>0, 则

值为______. 【答案】

3 4
1 |a | a ? b | a| a b | a| a 。显然当 a ? 0 ? ? ? ? ? ? ?1 ? 2|a | b 4|a | b 4 | a | 4 |a | b 4 |a |

因为 a ? b ? 2 ,所以

时,且 b ? 2 a 时,上式取等号,此时 b ? ?2a ,联立 a ? b ? 2 ,解得 a ? ?2 ,此时
1?

3 a 2 3 1 |a| 的最小值为 。 ?1? ? 。所以当 a ? ?2 时, ? 4| a| 4? 2 4 2| a| b 4

a2 ? a ?1 错误!未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题(文科 13) )设常数 a ? 0 ,若 9 x ? x
对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为________.
【答案】 [

1 , ??) 5
a2 a2 1 ? 2 9x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? x x 5

考查均值不等式的应用。

由题知,当x ? 0时, f ( x) ? 9 x ?

?x ? y ? 3 ? 0 ? 错误! 未指定书签。 . (2013 年高考广东卷 (文 13) ) 已知变量 x, y 满足约束条件 ? ? 1 ? x ? 1 , ? y ?1 ?
则 z ? x ? y 的最大值是___.
【答案】 5

画出可行域如图,最优解为 ?1, 4 ? ,故填 5 ;

错误!未指定书签。 . (2013 年高考安徽(文) )若非负数变量 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ? ?1 , ?x ? 2 y ? 4

则 x ? y 的最大值为__________.
【答案】4

由题意约束条件的图像如下:

当直线经过 (4, 0) 时, z ? x ? y ? 4 ? 0 ? 4 ,取得最大值. 【考点定位】考查线性规划求最值的问题,要熟练掌握约束条件的图像画法,以及判断何时

z 取最大.
三、解答题 错误!未指定书签。 . (2013 年上海高考数学试题(文科) )本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6

分,第 2 小题满分 8 分. 甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ),每小时可获得 的利润是 100(5 x ?1 ? ) 元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a (5 ?

3 x

1 3 ? ); x x2

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度 ?并

求此最大利润.
【答案】解:(1)每小时生产 x 克产品,获利 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

3? ?, x?

生产 a 千克该产品用时间为

3? a 1 3? a ? ? ,所获利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? ? 100a ? 5 ? ? 2 ? . x? x x x ? x ? ? ? ?
? ? 1 1 ? 61 ? 1 3? ? 2 ? ? 90000 ? ?3 ? ? ? ? ? x x ? ? ? x 6 ? 12 ?

(2)生产 900 千克该产品,所获利润为 90000 ? 5 ? 所以 x ? 6 ,最大利润为 90000 ?

61 ? 457500 元. 12


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