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第六章 复合函数求导法则

时间:2012-06-17


复合函数求导法则
先回忆一下一元复合函数的微分法则
若 y ? f ( u ) 而 u ? ? ( x ) 可导
y ? f [? ( x )]

则复合函数
dy dx ? dy ? du du dx

对x

的导数为

这一节我们将把这一求导法则推广到多元

函 数的情形,主要介绍多元复合函数的微分法和隐 函数的微分法。我们知道,求偏导数与求一元函 数的导数本质上并没有区别,对一元函数适用的 微分法包括复合函数的微分法在内,在多元函数 微分法中仍然适用,那么为什么还要介绍多元

复合函数的微分法和隐函数的微分法呢? 这主要是对于没有具体给出式子的所谓抽象函数

如 z ? f ( x 2 ? y 2 , xy ) 它是由
及 u ? x ? y , v ? xy
2 2

z ? f (u,v )

复合而成的
?z ?z 在求 , 时 ?x ?y

由于 f

没有具体给出

一元复合函数的微分法则就无能为力了,为 此还要介绍多元复合函数的微分法和隐函数的 微分法。

一、链式法则
t 定 理   如 果 函 数 u ? ? (t ) 及 v ? ? (t ) 都 在 点 可
导 , 函 数 z ? f (u,v )在 对 应 点 (u,v ) 具 有 连 续 偏

t 导 数 , 则 复 合 函 数 z ? f [? ( t ), ? ( t )] 在 对 应 点 可
导,且其导数可用下列公式计算:

dz dt

?

? z du ? u dt

?

? z dv ? v dt





设 t 获得增量

? t,

则 ? u ? ? ( t ? ? t ) ? ? ( t ), ? v ? ? ( t ? ? t ) ? ? ( t );
由 于 函 数 z ? f ( u , v ) 在 点( u , v ) 有 连 续 偏 导 数

?z ?

?z ?u

?u ?

?z ?v

? v ? ? 1? u ? ? 2? v ,

当 ?u ? 0,?v ? 0 时,

?1 ? 0,? 2 ? 0

?z

?z ? u ?z ? v ?u ?v ? ? ? ? ? ?1 ? ?2 ?t ?u ? t ?v ? t ?t ?t

当 ?t ? 0时, ?u ? 0,?v ? 0

?u ?t
dz

?

du dt

,
?z

?v ?t

?

dv dt

,

? z du ? z dv ? lim ? ? ? ? . ?t? 0 ? t dt ? u dt ? v dt

上定理的结论可推广到中间变量多于两个的情况.

dz dt ? ? z du ? u dt ? ? z dv ? v dt ? ? z dw ? w dt

z

u v

t
dz dt

w

以上公式中的导数

称为全导数.

上定理还可推广到中间变量不是一元函数 而是多元函数的情况: z ? f [? ( x , y ), ? ( x , y )].

如果 u ?

? ( x , y ) 及 v ? ? ( x , y ) 都 在 点( x , y )

具 有 对 x 和 y 的 偏 导 数 , 且 函 数 z ? f (u, v )在 对 应 点 (u, v )具 有 连 续 偏 导 数 , 则 复 合 函 数

z ? f [? ( x , y ), ? ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两 个 偏
导数存在,且可用下列公式计算

?z ?x

?

?z ?u ?u ?x

?

?z ?v ?v ?x



?z ?y

?

?z ?u ?u ?y

?

?z ?v ?v ?y
.

链式法则如图示

u

x

z
v

y

?z ?x ?z

?u ?x ? v ?x ?z ?u ?z ?v ? ? ? ? . ?y ?u ?y ?v ?y

?

?z

?

?u

?

?z

?

?v

,

称为标准法则或 2 ? 2 法则 这个公式的特征: ⑴函数 z ? f [ u ( x , y ), v ( x , y )] 有两个自变量 x 和 y 故法则中包含 ?z ?z
?x ?y ,

两个公式;

⑵由于在复合过程中有两个中间变量 u 和 v
故法则中每一个公式都是两项之和,这两 项分别含有 ?z ?z
?u ?v ,

⑶每一项的构成与一元复合函数的链导法则类似, 即“函数对中间变量的导数乘以中间变量对 自变量的导数” 多元复合函数的求导法则简言之即:

“分道相加,连线相乘”

类似地再推广,设u ?

? ( x, y)、v ? ? ( x, y)、

w ? w( x, y)都 在 点( x , y) 具 有 对x 和y 的 偏 导 数 , 复 合
函 数 z ? f [? ( x , y ), ? ( x , y ), w ( x , y )] 在 对 应 点 ( x , y ) 的 两个偏导数存在,且可用下列公式计算

?z ?x ?z
?y

?
?

?z ?u ?u ?x ?z ?u
?u ?y

?
?

?z ?v ?v ?x ?z ?v
?v ?y

?
?

?z ?w ?w ?x ?z ?w
?w ?y
,

.

u
z

x
y

v w

特殊地 z ? f ( u , x , y ) 其中 u ? ? ( x , y ) 即 z ? f [? ( x , y ), x , y ],
?v ?x
?z ?x ?

令 v ? x,
? 0,
?z ?w ?y ?f ?

w ? y,
? 1.

? 1,
?f

?w ?x
?u ?

? 0,
?f ?x

?v ?y

?u ?x

?

,

?y

?

?u

?u ?y


?

?f ?y

.

区 别 类 似

两者的区别

z ? f (u, x , y )

把 复 合 函 数 z ? f [? ( x , y ), x , y ] 中 的 u 及 y 看 作 不 中的 y看作不变而对 x的偏导数
变而对 x 的偏导数



此公式可以推广到任意多个中间变量和任 意多个自变量的情形

如 z ? f ( u1 , u 2 ,? , u m ) u i ? u i ( x 1 , x 2 ,? , x n ) 则
) m , ?, 2,1 ? i (

?z ?x j

?

? ?u
i ?1

m

?z
i

?

?ui ?x j

, ( j ? 1,2 ,? , n )

从以上推广中我们可以得出:所有公式中 两两乘积的项数等于中间变量的个数,而与自 变量的个数无关

关于多元复合函数求偏导问题
这是一项基本技能,要求熟练掌握,尤其是求二 阶偏导数,既是重点又是难点。对求导公式不求 强记,而要切实做到彻底理解。注意以下几点将 会有助于领会和理解公式,在解题时自如地运用 公式 ①用图示法表示出函数的复合关系

②函数对某个自变量的偏导数的结构
(项数及项的构成)

③弄清 f u ( u , v ), f v ( u , v ) 的结构是求抽象的复合函 数的二阶偏导数的关键
f u ( u , v ), f v ( u , v )

仍是复合函数

且复合结构与原来的 f ( u , v ) 完全相同 即仍是以 u , v 为中间变量,以 x , y 为自变量 的复合函数 因此求它们关于 x , y 的偏导数时必须使链式法则

u
?z ?u ? fu (u,v )

x
y

? ?x ? ?x

[ f u ( u , v )] ? f uu [ f v ( u , v )] ? f vu

?u ?x ?u ?x

? f uv ? f vv

?v ?x ?v ?x

v

在具体计算中最容易出错的地方是对
fu (u,v )

再求偏导数这一步
) v,u( uf

原因就是不注意

是与 f ( u , v ) 具 有相同结构的复合函数易被误认为仅是 u 的 函数,从而导致漏掉 f uv 这一项
④求抽象函数的偏导数时,一定要设中间变量 ⑤注意引用这些公式的条件 外层函数可微(偏导数连续)内层函数可导 ⑥
uv

f , vu f

的合并问题 视题设条件

例 1 设 z ? e sin v ,而u ? xy ,v ? x ? y ,
u



?z



? x ?y ?z ?z ?u ?z ? v ? ? ? ? ?x ?u ?x ?v ? x
u u



?z

.

? e sin v ? y ? e cos v ? 1

? e ( y sin v ? cos v ),
u

?z ?y

?
u

?z

?u ?y

?

?u

?

?z ?v
u

?

?v ?y
u

? e sin v ? x ? e cos v ? 1 ? e ( x sin v ? cos v ).
例 2 设 z ? uv ? sin t ,而 u ? e ,v ? cos t ,
t

求全导数

dz dt

.



dz

? z du ? z dv ? z ? ? ? ? ? dt ? u dt ? v dt ?t
t t t

? ve ? u sin t ? cos t ? e cos t ? e sin t ? cos t
? e (cos t ? sin t ) ? cos t .
t

例3 设 w ? f ( u, v ), u ? u( x , y ), v ? v ( x , y ),
x ? x ( r ,? ), y ? y( r ,? )

均满足复合函数求偏导数的条件 计算 (两重复合问题)

?w ?w , ?r ??



由链式法则

v

u

x
y

r
?

w

?w

?w ?u ?w ?v ? ? ? ? ?r ?u ?r ?v ?r

?u

?u ?x ?u ?y ? ? ? ? ?r ?x ?r ?y ?r

?v

?v ?x ?v ?y ? ? ? ? ?r ?x ?r ?y ?r 故

?w

?w ?u ?x ?u ?y ?w ?v ?x ?v ?y ? ( ? ? ? )? ( ? ? ? ) ?r ?u ?x ?r ?y ?r ?v ?x ?r ?y ?r

同理可得
?w ?w ?u ?x ?u ?y ?w ?v ?x ?v ?y ? ( ? ? ? )? ( ? ? ? ) ?? ?u ?x ?? ?y ?? ?v ?x ?? ?y ??

例4

设 w ? f ( x ? y ? z , xyz ) ,f 具有二阶 连续偏导数,求

?w ?x



? w
2

?x?z

.



令u ? x ? y ? z ,
记 同理有
?w ?x
? w
2

v ? xyz ;
,
? f 12? ?
? f 22? .

f 1? ?

?f (u, v ) ?u
? f 11? ,

? f (u,v )
2

?u?v

,

f 2? ,

?

?f

?u ?x
? ?z

?

?u

?

?f

?v ?x

?

?v

? f 1? ? yz f 2?;
? f 1? ?z ? f 2? ?z

?x?z

?

( f 1? ? yz f 2? ) ?

? y f 2? ? yz

;

? f 1? ?z ? f 2? ?z

?

? f 1? ? u ? f 1? ? v ? ? ? ?u ?z ?v ?z ? f 2? ? u ? f 2? ? v ? ? ? ?u ?z ?v ?z

? ? ? f 11? ? xy f 12? ; ? ? ? f 21? ? xy f 22? ;

?

于是

? w
2

?x?z

?? ?? ? ? ? f 11? ? xy f 12? ? y f 2? ? yz ( f 21 ? xy f 22 )
2 ? ? ? ? f 11? ? y ( x ? z ) f 12? ? xy z f 22? ? y f 2? .

二、全微分形式不变性

设 函 数 z ? f (u, v )具 有 连 续 偏 导 数 , 则 有 全 微 分

?v ?z ?z dx ? dy . 时 , 有 dz ? ?x ?y

dz ?

?z ?u

du ?

?z

dv ;当 u ? ? ( x , y ) 、 v ? ? ( x , y )

全微分形式不变形的实质:
无论 z 是自变量 u 、 v 的函数或中间变量 u 、 v 的函数,它的全微分形式是一样的.
dz ? ?z ?x dx ? ?z ?y dy
? ?z ?u ?z ?v ? ?? ? ? ? ? dy ? ?u ?y ?v ?y ?

? ?z ?u ?z ?v ? ?? ? ? ? ? dx ? ?u ?x ?v ?x ?

?z ? ?u ?u ?z ? ?v ?v ? ? ? dx ? dy ? ? dx ? dy ? ? ? ?u ? ?x ?y ?v ? ?x ?y ? ?

?

?z ?u

du ?

?z ?v

dv .

利用全微分形式不变性,在逐步作微分运算的 过程中,不论变量间的关系如何错综复杂,都可以 不加辨认和区分,而一律作为自变量来处理 且作微分运算的结果对自变量的微分
dx , dy , dz , ? ?

来说是线性的

从而为解题带来很多方便,而且也不易出错

例5 设

u ? f ( x , y , z ), y ? ? ( x , t ), t ? ? ( x , z )

求 ?u ?x 解一 变量间的关系如下图所示 各函数满足求导条件
x
u

x x
t

y

z

z

?u ?x

? ?

?f ?x ?u ?x

? ?

?f ?f ?x

?y ?x ?

?

?y

?

?f

?z ?x ? ?? ?x ? ?f ?y ?

?

?z

?y ?x
?? ?t ?

?

?? ?x

?

?? ?t

?

?? ?x

?f ?y

?? ?x

解二 这里变量间的关系比较混乱
用全微分来解
du ? ?f ?f ?x dx ? ?f ?y

由全微分定理
dy ? ?f ?z dz

?f ?? ?? ?f ? dx ? [ dx ? dt ] ? dz ?x ?y ?x ?t ?z ?f ?? ?? ?? ?? ?f ? dx ? [ dx ? ( dx ? dz )] ? dz ?x ?y ?x ?t ?x ?z ?z ?f

注意到

x , z 是独立自变量


du ? ( ?f ?x ?y ?x 由全微分定义 ?u ?x ?z ? ?f ?x ? ?f ?? ?y ?x ? ?f ?? ? ?f ?? ?? ?y ?t ?x ?f ?? ?? ?y ?t ?x ?f ?z ) dx ? ( ?f ?? ?? ?y ?t ?z ? ?f ?z ) dz

? ?

?u

?

?f ?? ?? ?y ?t ?z



解法二在实际计算中显得十分灵便且不易出错

三、小结
1、链式法则(分三种情况)
(特别要注意课中所讲的特殊情况)

2、全微分形式不变性
(理解其实质)

思考题
设 z ? f (u,v , x ), 而 u ? ? ( x ), v ? ? ( x ), 则

dz dx

? dz dx

? f du ? u dx


?

? f dv ? v dx

?

?f ?x



试问

?f ?x

是否相同?为什么?

思考题解答
不相同.
等 式 左 端 的z 是 作 为 一 个 自 变 量 x 的 函 数 ,
而 等 式 右 端 最 后 一 项 f 是 作 为u , v, x 的 三 元 函 数 ,

写出来为

dz dx
x

?

?f ?u
( u ,v , x )

?

du dx
x

?

?f ?v
( u ,v , x )

?

dv dx
x

?

?f ?x
( u ,v , x )

.

练习题
一、填空题: 1、 设 z ?
?z ?y

x cos y y cos x

,则

?z ?x

? ________________;

? ________________.

2、设 z ?
?z ?y

x ln( 3 x ? 2 y )
2

y

2

,则

?z ?x

? _ _ _ _ _ _ _ _ _______;

? ________________.
sin t ? 2 t
3

3、 设 z ? e

,则

dz dt

? ________________.
?z ?z ? y , v ? xy , 求 , ?x ?y
2

v

二 、 设 z ? ue , 而 u ? x
u

2

.

三 、 设 z ? arctan( xy ) , 而 y ? e , 求
x

dz dx

.

四、设

z ? f (x

2

? y ,e
2

xy

), ( 其 中 f 具 有 一 阶 连 续 偏 导

?z ?z , 数 ),求 . ?x ?y

五 、 设 u ? f ( x ? xy ? xyz ) , ( 其 中 f 具 有 一 阶 连 续 偏 导 ?u ?u ?u , , . 数 ),求 ?x ?y ?z x 六 、 设 z ? f ( x , ) , ( 其 中 f具 有 二 阶 连 续 偏 导 数 ) , 求 y
? z
2

?x

2

,

? z
2

?x?y ?y

,

? z
2 2

.

七、设 z ?
f (x

y
2

? y )
2

,其中为可导函数, ? z y
2

验证:

1 ?z x ?x
2

?

1 ?z y ?y

.

八 、 设 z ? ? [ x ? ? ( x ? y ), y ], 其中 ? , ? 具 有 二 阶 导 数 , 求
? z ? z , . 2 2 ?x ?y
2

练习题答案
一 、 1、 2、
cos y (cos x ? x sin x ) y cos 2x y
2 2

,?

x cos x ( y sin y ? cos y ) y cos
2 2



x 3x
2 2

x

ln( 3 x ? 2 y ) ? ? 3 (1 ? 4 t )
2

(3 x ? 2 y ) y

, 2x
2 2

2x y
3

2

ln( 3 x ? 2 y ) ?

(3 x ? 2 y ) y



3、
?z ?x ?z ?y

1 ? (3t ? 4t )
3

2

.
2 xy x ? y
2 2

二、

? [2 x ? y ? (x ? [2 y ? x ? (x

2x y
2

? y )y
2 2

2

]e
2

,

xy

2y x
2

? y )
2

]e

(x ? y )

2

.

三、 四、 五、 六、

dz dx ?z

?

e (1 ? x )
x

1? x e
2

2x

.
xy

?x ?u
?x
2

? 2 x f 1? ? ye

f 2? ,

?z ?y ?u
?y 1 y
2

? ? 2 y f 1? ? xe
? f ? ( x ? xz ), ?? f 22 , 1 y
2

xy

f 2? .
? xy f ? .

? f ? ( 1 ? y ? yz ), ? ? f 11? ? ? ? 2x y
3

?u ?z

? z ?x
2

2 y

? f 12? ?

? z
2

x y
2

?x?y ? z
2

? ( f 12? ? x y
2 4

1 y

?? f 22 ) ?

f 2? ,

?y

2

?

f 2? ?

?? f 22 .

八、

? z
2

?x 2 ? z
2

2 ? ? 11 ( 1 ? ? ? ) ? ? 1 ? ?? ,

?y

2

2 ? ? 11 ( ? ? ) ? ? 12 ? ? ? ? 1 ? ?? ? ? 21 ? ? ? ? 22 .


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