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2016届百校联盟全国卷I高考最后一卷(押题卷)文科数学(第二模拟)(解析版)

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百校联盟 2016 年全国卷 I 高考最后一卷(押题卷)文科数学 (第二模拟)

一、选择题:共 12 题
1.关于复数 z=

(i 是虚数单位),下列结论正确的为

A.在复平面内,复数 z 所对应的点在第一象限 B.复数 z 的共轭复数为 =1-i C.若复数 ω=z+b(b∈R)为纯虚数,则 b=1 【答案】C 【解析】本题考查复数的基础知识与基本运算,考查复数与复平面内点的对应关系.解题 时,通过复数运算得到化简结果,然后通过选项进行判断,得出正确答案. 由已知 z= =-1+i,因而 z 在复平面内对应的点位于第二象限,A 错误, =-1-i,B D.复数 z 的模为 2

错误,|z|=

,D 错误,若 ω=-1+b+i 为纯虚数,则-1+b=0,即 b=1,故选 C.

2.已知函数 f(x)=

,若 f(4)=2f(a),则实数 a 的值为

A.-1 或 2 【答案】A

B.2

C.-1

D.-2

【解析】本题考查分段函数求值,考查分类讨论思想,属于基础题. f(4)=log24=2,因而 2f(a)=2,即 f(a)=1,当 a>0 时,f(a)=log2a=1,因而 a=2,当 a≤0 时,f(a)=a2=1, 因而 a=-1,故选 A.

3.已知集合 A={x| <1},集合 B={y|y=t-2

},则 A∩B=

A.(-∞,2] 【答案】B

B.(3,+∞)

C.[2,3)

D.(0,3)

【解析】本题考查集合的运算、不等式的解法及函数值域的求解.

由 <1,得

>0,因而 x>3 或 x<0,即 A=(-∞,0)∪(3,+∞),设 m=

≥0,则 t=m2+3,因而

y=m2+3-2m=(m-1)2+2,所以 B=[2,+∞),从而 A∩B=(3,+∞),故选 B.

4.在数列{an}中,a1=1,a2=3,且 an+1an-1=an(n≥2),则 a2 016 的值为

A.3

B.1

C.

D.32 015

【答案】C 【解析】本题考查数列的基本运算及性质,考查运算求解能力,求解时要注意规律的发现, 得到{an}为周期数列,进而求解. 由已知,a1=1,a2=3,且 an+1an-1=an(n≥2),则 a1a3=a2,从而 a3=3,又 a2a4=a3,∴a4=1,同理 a5= ,a6= ,a7=1,a8=3,那么数列{an}为周期数列,且周期为 6,∴a2 016=a6= ,故选 C.

5.对于三个不同的平面 α,β,γ 和四条不同的直线 a,b,m,n,下列命题中为真命题的是

A.若 a⊥m,a⊥n,m?α,n?α,则 a⊥α B.若 a∥b,b?α,则 a∥α C.若 α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,则 a∥b D.若 a?β,b?β,a∥α,b∥α,则 β∥α 【答案】C 【解析】本题考查考生对空间直线、平面间的位置关系的判断,考查考生分析问题、解 决问题的能力. 对于 A,只有 m,n 相交时结论才成立;对于 B,还有可能 a?α;对于 D,只有当 a,b 相交时结论 才成立;对于 C,该结论是两平面平行的性质定理,是真命题.故选 C.

6.将函数 y=sin 2x 的图象向左平移 φ(φ>0)个单位长度,再向上平移 1 个单位长度,得到函
2 数 y=2cos x 的图象,那么 φ 可以取的值为

A.

B.

C.

D.

【答案】C 【解析】本题考查三角函数的图象及其变换等基础知识,考查三角函数诱导公式.图象变 换是三角函数性质的重点内容之一,其考查往往注重基础,一般比较常规.

通解 将 y=sin 2x 的图象向左平移 φ 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度得到 y=sin 2(x+φ)+1 的图象,此时 y=sin 2(x+φ)+1=2cos2x,即 sin 2(x+φ)=cos 2x,因而 2φ= +2kπ,k∈Z,

那么,由选项可知 φ 可以取的值为 ,故选 C.

2 优解 由已知,可以将 y=2cos x 的图象作相应的逆变换,先向下平移 1 个单位长度得到函 2 数 y=2cos x-1 的图象,即 y=cos 2x 的图象,而 y=cos 2x=sin(2x+ ),因而将 y=sin(2x+ )的图象

向右平移 个单位长度得到 y=sin 2x 的图象,因而 φ 可以取的值为 ,故选 C.

7.已知 x,y 满足不等式组

,则目标函数 z=( )x× 4y 的最小值为

A.1 【答案】A

B.2

C.3

D.4

【解析】本题通过线性规划的知识考查考生的数形结合能力,本题在目标函数上进行了 创新,要求考生具有一定的转化意识. 通过不等式组 作出可行域如图中三角形 OAB 及其内部所示,其中

A(1,2),B(0, ),求 z=( )x× 4y=22y-x 的最小值,可转化为求 2y-x 的最小值,当 x=y=0 时,2y-x 取得

x 4y 的最小值为 1,故选 A. 最小值 0,则 z=( ) ×

8.执行如图所示的程序框图,则可以输出函数的为

A.f(x)=sinx 【答案】C

B.f(x)=ex

C.f(x)=lnx+x+2

D.f(x)=x2

【解析】本题考查程序框图的知识,考查分支结构及初等函数的基本性质,考查考生分析 问题、解决问题的能力.解题时,准确确定分支条件是求解正确的关键. 当输入 f(x)=sinx 时,由于是奇函数,因而执行输出“是奇函数”,然后结束;当输入 f(x)=e
x 时,f(x)=e 不是奇函数,但恒为正,因而输出“非负”,然后结束;当输入 f(x)=lnx+x+2 2 时,f(x)=lnx+x+2 既不是奇函数,又不恒为非负,因而输出该函数;而当输入 f(x)=x 时,由于 x

f(x)=x2 是偶函数,且非负,因而输出“非负”.故选 C.

9.如图为某几何体的三视图,则该几何体的体积为

A. π

B. π

C.π

D. π

【答案】C 【解析】本题考查三视图的知识,考查圆柱体积的求解公式,考查考生的空间想象能力.通 过所给条件信息正确确定几何体的形状是解题的关键. 由已知三视图,可得该几何体的直观图是一个圆柱切割成的几何体,即如图所示的下半部
2 分,则其体积为圆柱的一半,因而 V= ×π×1 ×2=π,故选 C.

10.已知函数 f(x)=alnx-bx2 的图象在 x=1 处与直线 y=- 相切,则函数 f(x)在[1,e]上的最大

值为 A.B. C.1 D.e

【答案】A 【解析】本题主要考查导数的几何意义及导数在研究函数最值中的应用.先根据函数图 象的切线求出函数的解析式,再利用导数研究函数的单调性,进而可得函数的最值.
2 由题意知,f'(x)= -2bx,因为函数 f(x)=alnx-bx 的图象在 x=1 处与直线 y=- 相切,所以

,解得

,即函数 f(x)=lnx- .又当 x∈[1,e]时,f'(x)= -x≤0,所以函数

f(x)在[1,e]上单调递减,其最大值为 f(1)=- .

11.已知 A1,A2 分别为双曲线 - =1 的左、右顶点,P 为双曲线上第一象限内的点,直线

l:x=1 与 x 轴交于点 C,若直线 PA1,PA2 分别交直线 l 于 B1,B2 两点,且△A1B1C 与△A2B2C 的 面积相等,则直线 PA1 的斜率为 A. B. C. D.

【答案】B 【解析】本题考查双曲线与直线的相关知识,有一定综合性,考查化归与转化能力及灵活 变通能力.

通解 由已知,显然直线 PA1 的斜率存在,故可设直线 PA1 的方程为 y=k(x+2),由已知 k>0, 则由
2 2 2 得(9-4k )y -36ky=0,易知 9-4k ≠0,因而 P(

,

),所以

,

则直线 PA2 的方程为 y= (x-2),直线 PA1,PA2 与直线 l 分别交于 B1(1,3k),B2(1,- ),因而 ×

3× 3k= × 1× ,得 k= ,故选 B.

优解 由已知,P 为双曲线 - =1 上的点,则

,又直线 PA1 的方程为 y=

(x+2),交直线 l 于 B1(1,3 由于 P 为第一象限内的点,因而

),直线 PA2 的方程为 y= >0,则 × 3× 3

(x-2),交直线 l 于 B2(1,× 1× ,即 9
2

), ,从

=



,故选 B.

12.在等差数列{an}中,a3=-2,a5=4,若存在正整数 m,使得

为数列{an}中的项,则所

有满足条件的 m 的值的和为 A.6 【答案】B 【解析】本题考查等差数列的性质,考查考生的推理论证能力.由条件可先求出{an}的通 项公式,然后由 为数列{an}中的项,可得出 am=1 或 am=-2,从而求出 m 的值. B.7 C.8 D.9

在等差数列{an}中,由 a3=-2,a5=4,得公差 d=3,所以 an=a3+(n-3)d=3n-11.因为 =am+9+ ,且 an=3n-11=3(n-4)+1, 所以要使 为数列{an}

中的项,

1,± 2,± 3,± 6 中取值,但由于 am-1 是 3 的倍数,所以 必须是 3 的倍数,于是 am 在±

am=1 或 am=-2.由 am=1 得 m=4;由 am=-2 得 m=3.当 m=4 时,

=a13;当 m=3

时,

=a3.所以所求 m 的值的和为 7.

二、填空题:共 4 题
13. 如图是某样本的频率分布直方图,已知数据不超过 10 的频数为 10,则根据频率分布直

方图可知该样本的容量为

.

【答案】50 【解析】本题考查频率分布直方图的基础知识.高考对于统计知识的考查以基础知识为 主,往往比较简单,但覆盖面比较广,复习时要注意全面到位. 由已知的频率分布直方图,可得数据不超过 10 时对应的矩形的高为 0.04,而组距为 5,因而 对应的频率为 0.2,因而样本容量为 =50.

14.若椭圆 C: + =1(a>b>0)的左、右焦点与短轴的两个顶点组成一个面积为 1 的正方

形,则椭圆 C 的内接正方形的面积为 【答案】

.

【解析】本题主要考查椭圆的概念与性质等,考查考生的运算求解能力和数形结合的数
2 学思想.解题时,根据题意求出椭圆 C 的方程为 x +

=1,设 A(x0,y0)是椭圆 C 的内接正方形

2 位于第一象限内的顶点,则 x0=y0,所以椭圆 C 的内接正方形的面积 S=(2x0) .

2 由已知得,a=1,b=c= ,所以椭圆 C 的方程为 x +

=1,设 A(x0,y0)是椭圆 C 的内接正方形位

于第一象限内的顶点,则 x0=y0,所以 1=

+2

=3

,解得

,所以椭圆 C 的内接正方形

2 的面积 S=(2x0) =4

.

15.已知菱形 ABCD 的边长为

,且∠BAD=60° ,将△ABD 沿 BD 折起,使 A,C 两点间的距 .

离为

,则所得三棱锥的外接球的表面积为

【答案】

【解析】本题考查球的相关知识,考查考生的空间想象能力及基本的运算能力.球是最基 本的几何体之一,对于与球相关的知识的考查,往往结合球内接柱体、锥体等,涉及表面积 或体积的运算,复习时注意把握难度. ,菱形 ABCD 的边长为 由已知,∠BAD=60° 半径为 r,则由正弦定理得,2r= ,且折起后 AC= ,设△BCD 的外接圆圆 O1 的 ,设外接

=2,因而圆 O1 的半径 r=1,则三棱锥的高 h=

2 2 2 2 球半径为 R,则 R =(h-R) +r ,即 R =2-2

R+R2+1,得 R=

,则该球的表面积为

4πR2=4π×

.

16. 已知直角梯形 ABCD 中,AB⊥AD,AB∥CD,AB=2CD=2AD=2,P 是以 C 为圆心,且与 BD

相切的圆上的动点,设





(λ,μ∈R),则 λ+μ 的最大值为

.

【答案】2 【解析】本题考查向量的基础知识,利用平面直角坐标系,将问题转化为向量的坐标运算 是解题的关键. 由已知分别以 AD,AB 所在的直线为 x,y 轴建立如图所示的平面直角坐标系,则 C(1,1), B(0,2),D(1,0),直线 BD 的方程为 2x+y-2=0,圆 C 的半径为 R= ,则圆 C 的方程

2 2 为(x-1) +(y-1) = ,由





,得

=λ(1,0)+μ(0,2)=(λ,2μ),P(λ,2μ)在圆 C 上,因

2 2 而,(λ-1) +(2μ-1) = ,设 λ=1+ cosθ,2μ=1+ sinθ,则 λ+μ= + cosθ+

sinθ= + sin(θ+φ),

其中 tanφ=2,所以当 sin(θ+φ)=1 时 λ+μ 取得最大值 2.

三、解答题:共 8 题
17.已知在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,向量 m=(2b,1),n=(2a-c,cosC),且 m∥n.

(1)若 b2=ac,试判断△ABC 的形状; (2)求 y=1的值域.

【答案】(1)由已知,m∥n,则 2bcosC=2a-c, 由正弦定理, 得 2sinBcosC=2sin(B+C)-sinC, 即 2sinBcosC=2sinBcosC+2cosBsinC-sinC, 在△ABC 中,sinC≠0,因而 2cosB=1,则 B= .

2 2 2 2 又 b =ac,b =a +c -2accosB, 2 2 2 因而 ac=a +c -2accos ,即(a-c) =0,

所以 a=c,△ABC 为等边三角形. (2)y=1-

=1-

=1-2cosA(cosA-sinA) =sin 2A-cos 2A = sin(2A- ),其中 A∈(0, ).

因而所求函数的值域为(-1,

].

【解析】本题考查解三角形的基础知识.第(1)问通过向量平行,结合正、余弦定理,利用两 角和的正弦公式进行求解;第(2)问是关于角 A 的三角函数的值域问题,利用二倍角公式, 将函数化为常见的 y=Msin(ωx+φ)的形式,再求函数的值域. 【备注】判断三角形的形状,主要有如下两条途径:(1)利用正、余弦定理把已知条件转化 为边与边之间的关系,通过因式分解、配方等方法得出边的相应关系,从而判断三角形的 形状;(2)利用正、 余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系,通过三角恒等变换, 得出内角的关系,从而判断出三角形的形状,此时要注意应用 A+B+C=π 这个定理,在等式 变形中,一般两边不要约去公因式,应移项提取公因式,以免漏解.

18.甲、乙两种不同规格的产品,其质量按测试指标分数进行划分,其中分数不小于 82 分

的为合格品,否则为次品,现随机抽取两种产品各 100 件进行检测,其结果如下:

(1)根据表中数据,估计甲、乙两种产品的合格率; (2)若按合格与不合格的比例抽取 5 件甲产品,再从这 5 件甲产品中随机抽取 2 件,求这 2 件产品全是合格品的概率. 【答案】(1)甲产品的合格率为 P1= .

乙产品的合格率为 P2=

.

(2)由题意,若按合格与不合格的比例抽取 5 件甲产品,则其中恰有 1 件次品,4 件合格品, 因而可设这 5 件甲产品分别为 a,b,c,d,E,其中小写字母代表合格品,E 代表次品,从中随机 抽取 2 件,则所有可能的情况为 ab,ac,ad,aE,bc,bd,bE,cd,cE,dE,共 10 种, 设“这 2 件产品全是合格品”为事件 M,则事件 M 所包含的情况为 ab,ac,ad,bc,bd,cd,共 6 种.

由古典概型的概率计算公式,得 P(M)=

.

【解析】本题考查统计的基础知识,考查古典概型概率的求解方法. 【备注】分析近几年高考题的特点,概率与统计往往设计在同一个题目中,体现知识间的 整合,古典概型概率的求法仍是考查的重点,但是在解题中需要提醒的是:①认真审题,理 清已知条件中的信息,包括茎叶图、频率分布直方图、频率分布表、样本数据等,将其转 化成解题必备的数学信息;②分清所求概率的类型,是古典概型、还是几何概型等;③将随 机事件的可能结果列全,找准所求事件包含的基本事件个数,避免由于思维不严密造成不 必要的失分;④要注重对基本概念、基本性质的理解,并加强知识整合能力,特别是加强知 识点交汇问题的求解能力,提升阅读理解能力.

19. 如图,异面直线 AB,CD 互相垂直,CF 是它们的公垂线段,且 F 为 AB 的中点,作 DE//CF,

连接 AC,BD,G 为 BD 的中点,AB=AC=AE=BE=2.

(1)在平面 ABE 内是否存在一点 H,使得 AC∥GH?若存在,求出点 H 所在的位置,若不存在, 请说明理由; (2)求三棱锥 G-ACD 的体积. 【答案】(1)取 BE 的中点 M,连接 GM,EF,作 MH∥AB 交 EF 于 H, 则点 H 为 FE 的中点,MH∥ BF∥ FA.

连接 GH,则 GM∥ DE∥ CF,

易知∠GMH=∠CFA= ,从而△GHM∽△CAF,从而 AC∥GH,

即存在点 H 满足题设要求,且点 H 为 FE 的中点. (2)由于 G 为 BD 的中点,∴点 G 到平面 ACD 的距离等于点 B 到平面 ACD 的距离的一半, ∴VG-ACD= VB-ACD.

又 VB-ACD=VD-ABC,由题意知 CD⊥平面 ABC,AB=AC=AE=BE=2, ∴CD=CF= ,S△ABC= × 2× ,VD-ABC= =1.

∴VG-ACD= VD-ABC= .

【解析】本题脱离开以常规的几何体为载体的考查方式,考查立体几何中线线平行的位 置关系及几何体体积的求解.解题时要注意解题过程的规范性与全面性,切忌推证过程过 于简略,推理条件列举不全面. 【备注】求解立体几何题时,要求“四会”:①会画图——根据题设条件画出符合题意的图 形或画出自己想作的辅助线(面),且所作图形要直观、虚实分明;②会识图——根据题目 给出的图形,想象出几何体的形状和有关线、面的位置关系;③会分析图——对图形进行 必要的分解、组合;④会用图——对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或割 补,从而求得答案.

20.已知过抛物线 C:y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2

的直线交抛物线于 A(x1,y1)和

B(x2,y2)(x1<x2)两点,且|AB|= .

(1)求抛物线 C 的方程; (2)若抛物线 C 的准线为 l,焦点为 F,点 P 为直线 m:x+y-2=0 上的动点,且点 P 的横坐标为 a,试讨论当 a 取不同的值时,圆心在抛物线 C 上,与直线 l 相切,且过点 P 的圆的个数. 【答案】(1)直线 AB 的方程是 y=2 (x- ),代入 y2=2px,

2 2 得 4x -5px+p =0,所以 x1+x2= ,

由抛物线的定义得|AB|=x1+x2+p=

,∴p=2,

2 ∴抛物线 C 的方程是 y =4x.

(2)解法一 由题意知 l:x=-1,F(1,0).

∵所求圆的圆心在抛物线上,且与直线 l 相切,则圆过焦点 F,又圆过点 P,∴圆心在线段 PF 的中垂线上,设 P(a,2-a),则线段 PF 中点的坐标为( , ),当 a≠1,a≠2 时,kPF= ,∴线段

PF 的中垂线方程为 y= (x)+ ,化简得 y= x+ ①.

圆的个数即中垂线与抛物线的交点的个数,将 x= 代入①得

y2-y+

=0,

判别式 Δ=1-4· · =1+

,∴当 a=-1 时,交点

有 1 个,圆有 1 个; 当 a<-1 时,交点有 0 个,圆有 0 个; 当 a>-1,且 a≠1,a≠2 时,交点有 2 个,圆有 2 个. 而当 a=2 时,易验证有 2 个交点,圆有 2 个;当 a=1 时,易知交点有 1 个,圆有 1 个. 综上所述:当 a<-1 时, 圆有 0 个; 1 时, 圆有 1 个; 当 a=± 当 a>-1,且 a≠1 时,圆有 2 个. 解法二 设圆心 Q(x0,y0)( =4x0),P(a,2-a),由于准线 l:x=-1, ,且 r=|x0+1|,

故若存在圆 Q 满足条件,则 r=|PQ|=
2 2 2 ∴(x0-a) +(y0+a-2) =(x0+1) , 2 即a +

+2(a-2)y0+(a-2)2=(2+2a)x0+1=(2+2a) +1,

整理得(1-a)

+(4a-8)y0+4a2-8a+6=0 (*),

当 a=1 时,(*)式即-4y0+2=0,有 1 个解. 当 a≠1 时,(*)式中 Δ=(4a-8)2-4(1-a)(4a2-8a+6)=16a3-32a2-8a+40=8(a+1)(2a2-6a+5),

2 2 ∵2a -6a+5=2(a- ) + >0,

∴当 a>-1 时,Δ>0,(*)式有 2 个解; 当 a=-1 时,Δ=0,(*)式有 1 个解; 当 a<-1 时,Δ<0,(*)式无解. 综上,当 a<-1 时,圆有 0 个; 1 时,圆有 1 个; 当 a=± 当 a>-1,且 a≠1 时,圆有 2 个. 【解析】本题主要考查抛物线的概念、几何性质,直线与抛物线、圆之间的位置关系等 知识,考查数形结合、转化与化归等数学思想,意在考查考生的综合解题能力、运算求解 能力.第(1)问通过抛物线的几何性质直接求解;第(2)问是探究性问题,将圆的个数转化为 方程根的个数进行求解. 【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为压轴题出现,重点考查椭圆和抛物线的方 程、几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与定点、定值等有关的综合问题.一般地, 第(1)问是求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法, 通常在数形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次 方程根与系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.

21.已知函数 f(x)=xlnx+x,g(x)=

- (x>0).

(1)讨论 f(x)在区间[t,t+e](t>0)上的单调性; (2)是否存在直线 y=b(b∈R),使得函数 f(x)与 g(x)的图象分别在它的两侧(可相切)?若存在, 请求出实数 b 的值(或取值范围);若不存在,请说明理由. 【答案】(1)f(x)=xlnx+x,f'(x)=lnx+2, 由 f'(x)=0 得 x= .

当 0<t< 时,在[t, )上,f'(x)<0,在( ,t+e]上,f'(x)>0,

因此 f(x)在[t, )上单调递减,在( ,t+e]上单调递增.

当 t≥ 时,在[t,t+e]上,f'(x)≥0 恒成立,

所以 f(x)在[t,t+e]上单调递增.

综上所述,当 0<t< 时,f(x)在[t, )上单调递减,在( ,t+e]上单调递增;当 t≥ 时,f(x)在[t,t+e]

上单调递增. (2)f(x)=xlnx+x,f'(x)=lnx+2,由 f'(x)=0 得 x= .

当 0<x< 时,f'(x)<0,当 x> 时,f'(x)>0,

所以 f(x)在(0, )上单调递减,在( ,+∞)上单调递增,

故 f(x)min=f( )=- .

而 g(x)=

- (x>0),g'(x)=

,

当 0<x<1 时,g'(x)>0,当 x>1 时,g'(x)<0, 所以 g(x)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减. 所以 g(x)max=g(1)=- .

所以 f(x)≥- ≥g(x),

故函数 f(x)与函数 g(x)的图象恒在直线 y=- 的两侧(相切),

所以 b=- .

【解析】本题主要考查利用导数研究函数的单调性、最值等知识,同时对分类讨论、化 归与转化等思想进行了深入考查.(1)由于 f'(x)=0 的根与 t 的大小关系不确定,故需要分类 讨论;(2)注意抓住直线 y=b(b∈R)的特殊性(是水平线),所以题目的本质是探究是否存在 水平直线,使得 f(x)与 g(x)的图象一个在上一个在下,故将问题转化为研究两个函数的最 大值和最小值即可. 【备注】函数与导数解答题的基本特点是人人能入手,但很少人能够走到最后,设问模式 一般有并列小问研究不同侧面和层层递进型两种,研究类型主要有:(1)利用导数研究函 数的单调性、 极值;(2)利用导数研究不等式恒成立问题或求参数的取值范围;(3)利用导数 研究函数零点的个数、图象的位置关系等.在解决这些问题时,恰当构造函数是关键.

22.如图,等腰三角形 ABC 内接于☉O,AB=AC,MN 为☉O 在点 C 处的切线,过点 B 作 MN

的平行线,交 AC 于点 E,交☉O 于点 .

(1)求证:△ABE≌△ACD; (2)若 AB=6,BC=4,求 EC 的长. 【答案】(1)由已知 BD∥MN,MN 为☉O 在点 C 处的切线,∴ ∴∠CDB=∠CBD,又同弧所对的圆周角相等, ∴∠CAD=∠CBD,∠CAB=∠CDB, 即∠CAD=∠CAB=∠BAE, 又∠ACD=∠ABE,且 AB=AC,因而△ABE≌△ACD. (2)在△ABC 与△BCE 中,由(1)知∠CAB=∠CBE,且∠BCE=∠ABC,∴△ABC∽△BCE,则 ,因而 EC= . ,

【解析】本题考查三角形全等的证明、三角形相似等知识,对考生能力的要求比较高.

23.在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已

知点 P 的直角坐标为(-3,- ),曲线 C 的极坐标方程为 ρ=5,直线 l 过点 P 且与曲线 C 相交于

A、B 两点. (1)求曲线 C 的直角坐标方程; (2)若|AB|=8,求直线 l 的直角坐标方程.
2 2 2 【答案】(1)由 ρ=5?ρ =25,得 x +y =25, 2 2 即曲线 C 的直角坐标方程为 x +y =25.

(2)设直线 l 的参数方程为

(t 为参数),①

2 2 将参数方程①代入圆的方程 x +y =25, 2 得 4t -12(2cosα+sinα)t-55=0, 2 ∴Δ=16[9(2cosα+sinα) +55]>0,上述方程有两个相异的实数根,设为 t1、t2,

∴|AB|=|t1-t2|=

=8,

2 化简有 3cos α+4sinαcosα=0,解得 cosα=0 或 tanα=- ,

从而可得直线 l 的直角坐标方程为 x+3=0 或 3x+4y+15=0. 【解析】本题考查极坐标方程与直角坐标方程的互化、直线的参数方程的应用,考查考 生分析问题、解决问题的能力.第(1)问利用极坐标与直角坐标之间的互化公式即可产生 结论;第(2)问利用直线的参数方程中参数的几何意义产生结论.

24.已知函数 f(x)=ax2+x-a 的定义域为[-1,1].

(1)若 f(0)=f(1),解不等式|f(x)-1|<ax+ ;

(2)若|a|≤1,求证:|f(x)|≤ .

【答案】(1)f(0)=f(1),即-a=a+1-a,则 a=-1,
2 ∴f(x)=-x +x+1, 2 ∴不等式化为|-x +x|<-x+ ,

2 ①当-1≤x<0 时,不等式化为 x -x<-x+ ,∴- <x<0;

2 ②当 0≤x≤1 时,不等式化为-x +x<-x+ ,∴0≤x< .

综上,原不等式的解集为{x|- <x< }.

(2)由已知 x∈[-1,1],∴|x|≤1,又|a|≤1,
2 2 2 2 2 则|f(x)|=|a(x -1)+x|≤|a(x -1)|+|x|≤|x -1|+|x|=1-|x| +|x|=-(|x|- ) + ≤ .

【解析】本题考查含有绝对值的不等式的求解及证明,求解过程中,分类讨论思想的运用 很关键.


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