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福建省莆田第六中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 理(A卷)


莆田六中 2015-2016 学年高二下期中考试理科数学(A)
满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。每小题有且只有一项是符合题目要求的) 1.在极坐标系中,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴,建立直角坐标系,点 M(2, 是( ) B. ( 3 ,1) C. (1, 3 ) D. (1,2)

/>
? )的直角坐标 6

A. (2,1)

2.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? a ? cos ? ( ? 为参数).以坐标原点为极点, x 轴 ? y ? sin ?

的非负半轴为极轴建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? (sin ? ? cos? ) ? 1 .若直线 l 与圆 C 相切,则实 数 a 的取值个数为( A .0 个 ) B.1 个 C.2 个 D.3 个 )

3.在极坐标系中,与曲线 ? ? cos ? 关于直线 ? ? (A) ? ? cos(

?
6

( ? ? R )对称的曲线的极坐标方程是( (C) ? ? cos(

?
6

?? )

(B) ? ? cos(

?
6

?? )

?
3

?? )

(D) ? ? cos(

?
3

?? )

4.已知随机变量 X 服从正态分布 N (2, ? 2 ) , P(0 ? x ? 4) ? 0.8 ,则 P( x ? 4) 的值等于( A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.5 5.用数字 1,2,3,4,5 组成的无重复数字的四位偶数的个数为 ( A.24
6 4



) D.120

B.48
2

C. 72 )

6.在 (1 ? x) (1 ? y) 的展开式中, xy 项的系数为 ( A.45 B.36 C.60

D.120

7. 投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.己知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各 次投篮是否投中相互独立,则该同学通过测试的概率为( A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.312 )

8.某射手有 4 发子弹, 射击一次命中目标的概率为 0 .9 , 如果命中就停止射击, 否则一直到子弹用尽, 用? 表示用的子弹数,则 P(? ? 4) 等于( ( A) 0.0009 (B) 0.009 ) (D) 0.0001 )

(C) 0.001

9.已知 X 是离散型随机变量, P ( X ? 1) ? A.

2 1 4 , P ( X ? a ) ? 且 E ( X ) ? ,则 D(2 X ? 1) 等于( 3 3 3

1 4 1 C. D. 9 3 3 10 2 9 10 10.已知 (2 x ? 1) ? a0 ? a1 x ? a2 x ? .... ? a9 x ? a10 x ,求 a2 ? a3 ? .... ? a9 ? a10 的值为( )
B. ? (A) ?20 (B) 0 (C) 1 (D) 20

8 9

11.现有 5 人参加抽奖活动,每人依次从装有 5 张奖票( 其中 3 张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一 张,直到 3 张中奖票都被抽出时活动结束,则活动恰好在第 4 人抽完后结束的概率为( )

1

A.

1 10

B.

1 5

C.

3 10

D.

2 5


12 .一盒中有 12 个乒乓球,其中 9 个新的,3 个旧的 (至少使用过一次) ,从盒中任取 3 个球来用,用完 后装回盒中,此时盒中旧球个数 X 是一个随机变量,其分布列为 P( X ) ,则 P( X ? 4) 的值为( A.

1 220

B.

27 55

C.

21 25

D.

27 220

二、 填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.某工厂对新研发的一种产品进行试销,得到如下数据表: 单价 x(元) 销量 y(百件) 8 90 8.2 84 8.4 83 8.6 80 8.8 75 9 68

已知销量 y 与单价 x 具有线性回归关系,该工厂每件产品的成本为 5.5 元,请你利用所求的线性回归关系 预测:要使得利润最大,单价应该定为__________(元)

?x ? a ? ?b ? 中斜率和截距最小二乘估计计算公式: 附:线性回归方程 y

?? b

? ( x ? x )( y ? y )
i ?1 i i

n

?( x ? x)
i ?1 i

n

?x ? ? y ?b ,a

2

14.某汽车销售公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费,需了解年宣传费 x (单位:千元)对年销售 量 y (单位:百辆)的影响 ,对近 8 年的年宣传费 xi 和年销售量 y i (i ? 1, 2,...,8) 数据作了初步处理,得

? ? b x ? a 以及一些统计量的值如下: 到年销售量 y 与年宣传费具有近似关系: y

?x
i ?1

8

i

? 372.8 ,

?y
i ?1

8

i

? 450.4, ? xi ? 54.4, ? yi ? 76.2 。
i ?1 i ?1

8

8

已经求得近似关系中的系数 b ? 68 ,请你根据相关回归分析方法预测当年宣传费 x ? 100 (千 元)时,年销 售量 y ? __________(百辆)

? x ? 2cos ? 15.已知曲线 C 的参数方程是 ? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐 ? y ? sin ?
标系, A , B 的极坐标分别为 A(2, ? ) , B(2,

4? ) .设 M 为曲线 C 上的动点,过点 M 作一条与直线 AB 夹 3

角为 30 ? 的直线 l 交直线 AB 于点 N ,则 MN 的最大值是_________ 16. 从 0 到 9 这 10 个数字中任取 3 个数字组成一个没有重复数字的三位数,这个数不能被3整除的概率 为____________ 三、解答题:本大题共 6 小题,17 题 10 分,其它每题 12 分,共 70 分。解答应写出文字说明,证明过程 或演算步骤。

2

1 ? x ? 1? t ? 2 ? 17.在平面直角坐标系 xOy 中,直线 l 的参数方程为 ? ( t 为参数).以原点为极点, x 轴正半轴为 ?y ? 3 t ? ? 2
极轴建立极坐标系,圆 C 的方程为 ? ? 2 3 sin ? . (Ⅰ)写出直线 l 的普通方程和圆 C 的直角坐标方程; (Ⅱ)若点 P 的直角坐标为 (1,0) ,圆 C 与直线 l 交于 A, B 两点,求 | PA | ? | PB | 的值.

18.为了增强消防安全意识,某中学对全体学生做了一次消防知识讲座,从男生中随机抽取 50 人,从女 生中随机抽取 70 人参加消防知识测 试,统计 优秀 非优秀 总计 数据得到如下列联表: (1) 试判断能否认为 消防知识的测试 男生 成绩优秀 15 35 50 与否与性别有关; 女生 30 40 70 (参考公式: 总计 45 75 120

K2 ?

n(ad ? bc )2 ) (a ? b )(c ? d )(a ? c )(b ? d )
0.25 1.323 0.15 2.072 0.10 2.706 0.05 3.841 0 .025 5.024 0.010 6.635

P( K 2 ? k0 )

k0

(2)为了宣传消防知识,从该校测试成绩获得优秀的同学中采用分层抽样的方法,随机选出 9 人组成宣 传小组, 现从这 9 人中随机抽取 3 人到校外宣传, 求到校外宣传的同学中男生人数 X 的分布列和数学期望。 19.从某企业的某种产品中抽取 500 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直 方图: (Ⅰ)求这 500 件产品质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 。 (同一组数据用该区间的中点值作代表) ; (Ⅱ)由频率分布直方 图可以认为, 这种产品的质量指标值 Z 服从正态分布 N (?, ? ) ,
2
2

其中 ? 近似为样本平均数 x , ? 近似为样本方差 s .
2
2

(i)利用该正态分布,求 P(187.8 ? Z ? 212.2) ; (ii)某用户从该企业购买了 100 件这种产品,记 X 表示这 100 件产品中质量指标值位于区间

(187.8, 212.2) 的产品件数,利用(i)的结果,求 EX (可以直接利用所学的分布期望公式).

20. 乒乓球比赛规则规定:一局比赛,双方比分在 10 平前,一方连续发球 2 次后,对方再连续发球 2 次,
3

依次轮换.每次发球,胜方得 1 分,负方得 0 分.设在甲、乙的比赛中,每次发球,发球方得 1 分的概率为 0.6,各次发球的胜负结果相互独立.甲、乙的一局比赛中,甲先发球.随机变量 ? 表示开始第 4 次发球时 甲的得分 ,求 ? 的分布列和期望。 ....

21. 如图,DP⊥x 轴,点 M 在 DP 的延长线上,且|DM|=2|DP|.当点 P 在圆 x 2 ? y 2 ? 1上运动时. (Ⅰ)求点 M 的轨迹 C 的方程; (Ⅱ)过点 T(0,t)作圆 x 2 ? y 2 ? 1的切线交曲线 C 于 A,B 两点, 求△AOB 面积 S 的最大值和相应的点 T 的坐标.

22.已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) ? k ( x ? 1) ? 1 。 (I)求函数 f ( x) 的单调区间; (Ⅱ)若 f ( x) ? 0 恒成立,试确定实数 k 的取值范围; (Ⅲ)证明:

ln 2 ln 3 ln 4 ln n n(n ? 1) ? ? ?? ? ? (n ? N ? , n ? 1) 3 4 5 n ?1 4

4

莆田六中 2015-2016 学年高二下期中考试理科数学(A)评分标准 一.选择题 1-5:BCDAB 6-10:BACAD 11-12: CD 二、填空题 13、9 14、780.6 三、解答题 17. 解: (Ⅰ)消去参数得直线 l 的普通方程为 3x ? y ? 3 ? 0 , 由 ? ? 2 3 sin ? 得圆 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 . (Ⅱ)由直线 l 的参数方程可知直线过点 P , ……6 分 ………2 分 15、 13 ? 2 3 16、

35 54

………5 分

把直线 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程 x2 ? y 2 ? 2 3 y ? 0 , 得 (1 ?

1 2 3 t ) ? ( t ? 3)2 ? 3 , …………7 分 2 2
2

化简得 t ? 4t ? 1 ? 0 , ? ? 12 ? 0 ,故设 t1 , t2 是上述方程的两个实数根,所以

t1 ? t2 ? 4, t1t2 ? 1 ,……8 分
A, B 两点对应的参数分别为 t1 , t2 ,
所以 | PA | ? | PB |?| t1 | ? | t2 |? t1 ? t2 ? 4 .
2

………………9 分 ………………10 分 ………1 分 ………5 分

18.解 (1)假设消防知识的测试成绩优秀与否与性别无关 因为 K ?
2

120(15 ? 40 ? 35 ? 30) ? 2.057 ,且 2.057 ? 2.706 45 ? 75 ? 50 ? 70

所以没有把握认为消防知识的测试成绩优秀与否与性别有关。 ………6 分 (2)优秀同学中男生与女生人数之比为 1:2,又采用分层抽样的方法选 9 人。 所以其中男生 3 人,女生 6 人 ………7 分 根据题意,X服从超几何分布, P( X ? k ) ?

C3k C63?k , k ? 0,1, 2,3 …… ………8分 C93

X的分布列为: X P ………11分 X的数学期望为 E ? X ? ? 0 ? 0 1 2 3

5 21

15 28

3 14

1 84

5 15 3 1 ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 1 ………………12分 21 28 14 84

( 【评分说明】可以不指出服从超几何分布,直接算分布列。每个取值对应的概率一分) - 2 19. 解:(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数 x 和样本方差 s 分别为 - x =170×0.02+180×0.09+190×0.22+200×0.33+210×0.24+220×0.08+230×0.02 =200. ………3 分

s2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+(-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+202×0.08+302×0.02
=150. ………6 分
5

【评分说明】平均数和方差公式写对给一分,计算一分。 (2)(i)由(1)知,Z~N(200,150),………7 分 从而 P(187.8<Z<212.2)=P(200-12.2<Z<200+12.2)=0.682 6. ………9 分 (ii)由 (i)知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2)的概率为 0.682 6, 依题意知 X~B(100,0.682 6), ………10 分 所以 EX=100×0.682 6=68.26. ………12 分 20. 解:随机变量 ? 的可能取值为 0,1,2,3………1 分

P(? ? 0) ? 0.4 ? 0.4 ? 0.6 ?

12 125

………3 分

44 ………5 分 125 51 P(? ? 2) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.4 ? 2 ? ………7 分 125 18 P(? ? 3) ? 0.6 ? 0.6 ? 0.4 ? ………9 分 125 P(? ? 1) ? 0.6 ? 0.4 ? 0.6 ? 2 ? 0.4 ? 0.4 ? 0.4 ?
故分布列如下:

?
P ………10 分 期望 E? ? 0 ?

12 4 51 18 8 ? 1? ? 2? ? 3? ? ………12 分 125 125 125 125 5
………2 分 ………3 分

21.解: (I)设点 M 的坐标为(x,y) ,点 P 的坐标为(x0,y0) , 则 x=x0,y=2y0,所以 x0=x,y0= ,① 因为 P(x0,y0)在圆 x2+y2=1 上,所以 x02+y02=1②, 将①代入②,得点 M 的轨迹方程 C 的方程为 x + (Ⅱ)由题意知,|t|≥1, (i)当 t=1 时,切线 l 的方程为 y=1,点 A、B 的坐标分别为(﹣ 此时|AB|= ,当 t=﹣1 时,同理可得|AB|= ; ,1) , ( ,1) ,
2

=1; ………4 分

………5 分

(ii)当|t|>1 时,设切线 l 的方程为 y=kx+t,k∈R,





得(4+k )x +2ktx+t ﹣4=0③, 设 A、B 两点的坐标分别为(x1,y1) , (x2,y2) , 由③得:x1+x2=﹣ ,x1x2= ,

2

2

2

………6 分

………7 分

6

又直线 l 与圆 x2+y2=1 相切,得

=1,即 t2=k2+1,

………8 分

∴|AB|=

=

………9 分

=

, ………10 分

又|AB|=

=

≤2,且当 t=±

时,|AB|=2 , ………11 分

综上,|AB|的最大值为 2, 依题意,圆心 O 到直线 AB 的距离为圆 x +y =1 的半径, ∴△AOB 面积 S= |AB|×1≤1, 当且仅当 t=± 时,△AOB 面积 S 的最大值为 1, )或(0, ) .
2 2

相应的 T 的坐标为(0,﹣ 22.(本小题满分 12 分)

………12 分

解: (I)函数 f ( x)的定义域为 (1,?? ), f ' ( x) ? ①当 k ? 0 时 f ' ( x) ?

1 ? k ……………(2 分) x ?1

1 ? k ? 0 ,则 f ( x)在(1,??) 上是增函数 ……………(3 分) x ?1 1 1 ?k ?0 ②当 k ? 0 时,若 x ? (1,1 ? ) 时有 f ' ( x) ? k x ?1 1 1 ?k ?0 若 x ? (1 ? ,?? ) 时有 f ' ( x) ? k x ?1 1 1 则 f ( x )在(1,1 ? ) 上是增函数,在 (1 ? ,?? ) 上是减函数 ……………………(4 分) k k
综上:略 (Ⅱ)由(I)知 k ? 0 ,时 f ( x)在(1,??) 递增,而 f (2) ? 1 ? k ? 0, f ( x) ? 0 不成立, 故k ? 0 ……………(6 分) 又由(I)知 y max ? f (1 ? 则 y max ? f (1 ?

1 ) ? ? ln k ,要使 f ( x) ? 0 恒成立, k

1 ) ? ? ln k ? 0 即可。……………(7 分) k

由 ? ln k ? 0得k ? 1 ……………………(8 分) 解法二:分离变量 x ? 1) ? x? 在 2 (1, ?? 上 )恒 成 ( Ⅲ ) 由 ( Ⅱ ) 知 , 当 k ? 1 时 有 f ( x) ? 0在(1,??) 恒 成 立 , 即 l n ( 立 。……………………(9 分) 令 x ? 1 ? n ,则 ln n ? n ? 1 ,即 2 ln n ? (n ? 1)(n ? 1) ,
2 2 2

ln n n ? 1 ? ,……………(11 分) n ?1 2 ln 2 ln 3 ln 4 ln n 1 2 3 n ? 1 n(n ? 1) ? ? ??? ? ? ? ??? ? 所以 成立……(12 分) 3 4 5 n ?1 2 2 2 2 4
从而

7


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