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2015年湖南高考泄露天机文科数学卷(学生用卷)


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泄露天机——2015 年金太阳高考押题 精粹 数学文科

本卷共 60 题,三种题型:选择题、填空题和解答题。选择题 36 小题,填空题 8 小题, 解答题 18 小题。

一、选择题(36 个小题)
1. 已知全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , 集合 M ? ?

3, 4,5? , N ? ?1, 2,5? , 则集合 ?1, 2? 可以表示 为( A. M )

N

B. (? UM)

N

C. M

(? U N)

D. (痧 UM)

( U N)

2. 集合 A ? ?1,2,3,4,5?, B ? ?1,2,3?, C ? ?z | z ? xy, x ? A且y ? B? ,则集合 C 中的元素 个数为( A.3 ) B.4 C.11 D.12

3. 设集合 A ? ??1,0,1,2,3? , B ? x x ? 2 x ? 0 ,则 A ? B =(
2

?

?



A. ?3?

B. ?2,3?

C. ??1,3?

D. ?0,1, 2?

4. 若 z (1 ? i) ? i (其中 i 为虚数单位) ,则 | z | 等于(



A.1

B.

3 2

C.

2 2

D.

1 2

5. 若复数 A. ? 6

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为( 1 ? 2i B. ? 2 C. 4 D. 6



6. 复数

i 在复平面内对应的点位于( 2i ? 1
B.第二象限

) C.第三象限 D.第四象限

A.第一象限

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7. 已知向量 m ? ? ? ? 1,1? , n ? ? ? ? 2, 2 ? ,若 m ? n ? m ? n ,则 ? = ( A.

?

? ?

?



?4

B. ?3

C. ?2

D. -1

8. 已 知 D 为 ?ABC 的 边 BC 的 中 点 , ?ABC 所 在 平 面 内 有 一 个 点 P , 满 足

P A? P B ? P ,则 C
C D P

| PD | 的值为( | AD |
A



B

A.

1 2

B.

1 3

C. 1

D. 2

9. ΔABC 中, ?BAC ? 120 ,AB=2,AC=1,D 是边 BC 上的一点(包括端点) ,则 的取值范围是( A. [1,2] ) B.[0,1] C.[0,2] D. [﹣5,2]

?

10.已知命题 p : ?x ? R , x ? 2 ? 0 ,命题 q : ?x ? R , x ? x ,则下列说法中正确的 是( ) B.命题 p ? q 是真命题 D.命题 p ? (?q ) 是假命题

A.命题 p ? q 是假命题 C.命题 p ? (?q ) 是真命题

2 11.命题“ ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 ”的否定是( 2 A. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 2 C. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0



2 B. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0 2 D. ?x ? R , x ? 2 x ? 1 ? 0

12.命题 p :关于 x 的方程 x x ? 2x ? m ? 0(m ? R) 有三个实数根;命题 q : 0 ? m ? 1 ; 则命题 p 成立时命题 q 成立的( A.充分不必要条件 ) B.必要不充分条件

江西金太阳好教育云平台——资源中心 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 ) D. 4

13.若某几何体的三视图如右图所示,则此几何体的体积等于( A. 30
4 3 2 正视图 3 俯视图 侧视图 3

B. 12

C. 24

3 2 3 4

14. 某几何体的三视图如图所示,图中三个正方形的边长均为 2 ,则该几何体的体积为 ( )

A.

3 8

B. 8 ? 2?

C. ?

4 3

D. 8 ?

2 ? 3

15.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( A.

) D.

4 3

B.

5 2

C.

7 3

5 3

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?x ? 1 ? 16 . 已 知 a ? 0 , x, y 满 足 约 束 条 件 ? x ? y ? 3 , 若 z ? 2x ? y 的 最 小 值 为 1 , 则 a ? ? y ? a ( x ? 3) ?
( A. )

1 4

B.

1 2

C. 1

D. 2

?x ? 1 ? 17.已知 ? x ? y ? 1 ? 0 ,若 ax ? y 的最小值是 2 ,则 a ? ( ?2 x ? y ? 2 ? 0 ?
A.1 B.2 C.3 D.4



? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 18. 已 知 不 等 式 组 ? x ? y ? 3 ? 0, 构 成 平 面 区 域 ? ( 其 中 x , y 是 变 量 ) 。 若 目 标 函 数 ?y ? 0 ?
z ? ax ? 6 y(a ? 0) 的最小值为-6,则实数 a 的值为(
A. ) D.

3 2

B.6

C.3

1 2

19. 如图给出的是计算 ( )

1 1 1 1 ? ? ?L ? 的值的程序框图,其中判断框内应填入的是 2 4 6 2014

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A. i ? 2013

B. i ? 2015

C. i ? 2017

D. i ? 2019

开始

20.执行如图所示的程序框图,则输出的结果是( A. 14 B. 15 C. 16

) D. 17

S ? 0, n ? 1
S ? S ? log 2 n ?1 n?2

21. 执行如图所示的程序框图 , 若输入 n 的值为 22 , 则输出的 s 的值 为( A. 232 ) B. 211 C. 210 D. 191

n ? n ?1

S ? ?3?
是 输出n 结束



22. 已知 x 、 y 取值如下表:

x

0 1.3

1

4

5 5.6

6 7.4

y

m

3m

? ? x ? 1, 画散点图分析可知:y 与 x 线性相关, 且求得回归方程为 y 则 m 的值 (精确到 0.1)
为( )

江西金太阳好教育云平台——资源中心 A.1.5 B.1.6 C.1.7 D.1.8

23. 如图是 2013 年某大学自主招生面试环节中,七位评委为某考生打出的分数的茎叶统计 图,去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据的平均数和众数依次为( A.85,84 B.84,85 C.86,84 D.84,86 )

7 9 8 4 4 6 4 7 9 3

24. 学校为了解学生在课外读物方面的支出情况,抽取了 n 个同学进行调查,结果显示这些 同学的支出都在 ?10,50? (单 位:元) ,其中支出在 ?30,50? (单位:元)的同学有 67 人, 其频率分布直方图如图所示,则 n 的值为( )

A.100

B.120

C.130

D.390

? ?? ? sin ? cos 3 2 25. 若 sin(? ? ? ) ? , ? 是第三象限的角,则 ? ?? ? 5 sin ? cos 2
A.

?? 2 ?( ?? 2



1 2

B. ?

1 2

C. 2

D. ?2

26. 在 ?ABC 中,若 sin? A ? B? ? 1? 2 cos ABC 的形状一定是 ? B ? C? sin ? A ? C?,则 ? ( ) B.不含 60 的等腰三角形
o

A.等边三角形

C.钝角三角形

D.直角三角形

27. 已知 ? ? 0 ,函数 f ( x) ? sin(? x ?

?

) 在 ( , ? ) 上单调递减,则 ? 的取值范围是( 2 6

?



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? 2 4? A. ? , ? ? 3 3?

?2 3 ? B. ? , ? ?3 4 ?

? 2? C. ? 0, ? ? 3?

? 3? D. ? 0, ? ? 2?

28. 函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

为了得到 f ? x ? 的图象, ? ( x ? R, ? ? 0) 的最小正周期为 ? , 3?

只需将函数 g ? x ? ? sin ? ? x ?

? ?

??

? 的图象( 3?



? 个单位长度 2 ? C.向左平移 个单位长度 4
A.向左平移

? 个单位长度 2 ? D.向右平移 个单位长度 4
B.向右平移

29. 在 ?ABC 中, A ? 600 , BC ? 10, D 是 AB 边上的一点, CD ? 2 , ?BCD 的面积 为 1 ,则 AC 的长为( A. 2 3 ) B. 3 C.

3 3

D.

2 3 3

30. 已知函数 f ( x) ? a sin ? x cos ? x ? 3 cos2 ? x(a ? 0, ? ? 0) 的最小正周期为 值为 ?

? ,最小 2

3 ,将函数 f ( x ) 的图像向左平移 ? ( ? >0)个单位后,得到的函数图形的一条对 2

称轴为 x ? A.

?
8

,则 ? 的值不可能为( B.

) C.

5? 24

13? 24

17? 24

D.

23? 24

31. 已知双曲线

x2 y2 ? ? 1 (a ? 0) 的离心率为 2 ,则 a 的值为( a2 1 ? a2
B.



A.

1 2

2 2

C.

1 3

D.

3 3

32. 如图过拋物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 的焦点 F 的直线依次交拋物线及准线于点 A, B, C, 若|BC| =2|BF|,且|AF|=3,则拋物线的方程为( )

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3 x 2 9 2 C. y ? x 2
A. y ?
2

B

y 2 ? 9x
D. y ? 3 x []
2

x2 y 2 33. 椭圆 M: 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 左右焦点分别为 F1 , F2 , P 为椭圆 M 上任一点且 a b
2 2 2 2 PF1 PF2 最大值取值范围是 ? ? 2c , 3c ? ? ,其中 c ? a ? b ,则椭圆离心率 e 取值范围为

( A. ?



? 2 ? ,1? ? ? 2 ?

B. ?

? 3 2? , ? ? 3 2 ?

C. ?

? 3 ? ,1? ? ? 3 ?

D. ? ,

?1 1 ? ? ?3 2 ?

34. 已知函数 f ? x ? ? x ?
2

ln x x

,则函数 y ? f ? x ? 的大致图像为(



35. 已知函数 f ( x) ? ?

?2 ? x ? 2 , (0 ? x ? 4)
x ?2 ? 2 ? 3, (4 ? x ? 6)

,若存在 x1 , x2 ,当 0 ? x1 ? 4 ? x2 ? 6 时, )

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,则 x1 ? f ( x2 ) 的取值范围是(
A. [0,1) B. [1, 4]

C. [1, 6]

D. [0,1] [3,8]

36. 已知函数 f ( x) ? ? 个数不可能 为( ... A. 5 个

? log5 (1 ? x) ??( x ? 2) ? 2
2

( x ? 1) ( x ? 1)

,则关于 x 的方程 f ( x ?

1 ? 2) ? a 的实根 x

) B. 6 个 C. 7 个 D. 8 个

二、填空题(12 个小题)

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37.随机向边长为 5,5,6 的三角形中投一点 P,则点 P 到三个顶点的距离都不小于 1 的概 率是___________。 38. 在边长为 4 的正方形 ABCD 内部任取一点 M,则满足 ?AMB 为锐角的概率为_______. 39. 一个三位自然数百位,十位,个位上的数字依次为 a,b,c,当且仅当有两个数 字的和等于第三个数字时称为“有缘数” (如 213,134 等) ,若 a, b, c ??1 , 2, 3 , 4? ,且 a, b,c 互不相同,则这个三位数为”有缘数”的概率是_________。

40. 甲、乙、丙三名同学中只有一人考了满分,当他们被问到谁考了满分时, 甲说:丙没有考满分; 乙说:是我考的; 丙说:甲说真话. 事实证明:在这三名同学中,只有一人说的是假话,那么得满分的同学是 _________ 。

41. 把正整数按一定的规则排成了如图所示的三角形数表.
1 2 3 6 9 4 5 8 11 7 10 13 18 12 15 20 17 22 24

14 16

设 aij ? i, j ? N ? ? 是位于这个三角形数表中从上往下数第 i 行、从左往右数第 j 个数,如

a52 ? 11 .则 a87 ?



42. 对于实数 x,[x]表示不超过 x 的最大整数,观察下列等.
? 1? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 3 ? ? ? ? ? ?
? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? ? 8 ? ? 10 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 9 ? ? ? 10 ? ? ? 11 ? ? ? 12 ? ? ? 13 ? ? ? 14 ? ? ? 15 ? ? 21 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

按照此规律第 n 个等式的等号右边的结果为



43. A、B、C、D 是同一球面上的四个点,其中 ?ABC 是正三角形, AD ⊥平面 ABC ,

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AD=4,AB=2 3 ,则该球的表面积为_________。

44. 底面是正多边形, 顶点在底面的射影是底面中心的棱锥叫正棱锥. 如图, 半球内有一内 接正四棱锥 S ? ABCD ,该四棱锥的体积为

4 2 ,则该半球的体积为 3



45. 已 知 四 棱 锥 P ? ABCD 中 , 底 面 ABCD 为 矩 形 , 且 中 心 为 O , AB ? BO ? 1 ,

PA ? PB ? PC ? PD ? 2 ,则该四棱锥的外接球的体积为



46. 已知等差数列 {an } 前 n 项和为 S n , 且满足

S5 S2 则数列 {an } 的公差为 ? ? 3, 5 2



47. 已 知 Sn 为 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 且 满 足 a1 ? 1 , an an?1 ? 3n ???(n ? N? ) , 则

S2014 ?



48. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ? 2n ?1 ,若不等式 2n2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an 对 ?n ? N ? 恒成 立,则整数 ? 的最大值为 。

三、解答题(18 个小题)
49. 在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a , b, c 已知 (I)求

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A

(II)若 cos B ?

1 , b ? 2 ,求 ?ABC 的 面积 S 。 4

50. 在△ABC 中, a,b,c 是其三个内角 A,B,C 的对边, 且 a ? b,sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 2sin 2B .

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)设 c ? 3 ,求△ABC 的面积 S 的最大值。

2 51. 已知数列 {an } 中, a1 ? 1 ,其前 n 项的和为 S n ,且满足 an ? 2Sn (n ? 2) . 2Sn ? 1

(Ⅰ) 求证: 数列 ?

?1? 1 1 1 3 (Ⅱ) 证明: 当 n ? 2 时,S1 ? S 2 ? S3 ? ... ? S n ? . ? 是等差数列; 2 3 n 2 ? Sn ?

52. 如图 ABCD 是正方形,O 是正方形的中心,PO ? 底面 ABCD,E 是 PC 的中点. 求证: (1) .PA//平面 BDE; (2) .平面 PAC ? 平面 BDE.

P E D O A B

C

1 53. 如图,三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱垂直底面,∠ACB=90°,AC=BC= AA1,D 是棱 AA1 的 2 中点 (I)证明:平面 BDC1⊥平面 BDC; (II)平面 BDC1 分此棱柱为两部分,求这两部分体积比。 A1 C1

B1

D C A B

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54. 如图,已知 ?F ? 平面 ?? CD ,四边形 ???F 为矩形,四边形 ?? CD 为直角梯形,

?D?? ? 90 , ?? //CD , ?D ? ?F ? CD ? 2 , ?? ? 4 .
(I)求证: ?F// 平面 ? C ? ; (II)求证: ?C ? 平面 ? C ? ; (III)求三棱锥 ? ? ? CF 的体积.

55. 某学校为了选拔学生参加“XX 市中学生知识竞赛” ,先在本校进行选拔测试(满分 150 分) ,若该校有 100 名学生参加选拔测试,并根据选拔测试成绩作出如图所示的频率分布直 方图. (Ⅰ)根据频率分布直方图,估算这 100 名学生参加选拔测试的平均成绩; (Ⅱ)该校推荐选拔测试成绩在 110 以上的学生代表学校参加市知识竞赛,为了了解情况, 在该校推荐参加市知识竞赛的学生中随机抽取 2 人,求选取 的两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率.

56.截至 2014 年 11 月 27 目, 我国机动车驾驶人数量突破 3 亿大关, 年均增长超过两千万. 为 了解某地区驾驶预考人员的现状,选择 A,B,C 三个驾校进行调查.参加各驾校科目一预考 人数如下: 驾校 人数 驾校 A 150 驾校 B 200 驾校 C 250

若用分层抽样的方法从三个驾校随机抽取 24 人进行分析,他们的成绩如下: 87 97 91 92 93 99 97 86 92 98 92 94

江西金太阳好教育云平台——资源中心 87 89 99 92 99 92 93 76 70 90 92 64

(1)求三个驾校分别应抽多少人? (2)补全下面的茎叶图,并求样本的众数 和极差; (3)在对数据进一步分析时,满足 |x-96.5|≤4 的预考成绩,称为 具有 M 特性。在样本中随机抽取一人, 求此人的预考成绩具有 M 特性的 概率。

57. 在中学生综合素质评价某个维度的测评中,分“优秀、合格、尚待改进”三个等级进行 学生互评.某校高一年级有男生 500 人,女生 400 人,为了了解性别对该维度测评结果的影 响,采用分层抽样方法从高一年级抽取了 45 名学生的测评结果,并作出频数统计表如下: 表 1:男生 等级 频数 优秀 15 合格 尚待改进 5 表 2:女生 等级 频数 优秀 15 合格 3 尚待改进

x

y

(1)从表二的非优秀学生中随机选取 2 人交谈,求所选 2 人中恰有 1 人测评等级为合格的 概率; (2)由表中统计数据填写下边 2 ? 2 列联表,试采用独立性检验进行分析,能否在犯错误的 概率不超过 0.1 的前提下认为“测评结果优秀与性别有关” . 男生 优秀 非优秀 总计 参考数据与公式: 女生 总计

K2 ?

n(ad ? bc)2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

江西金太阳好教育云平台——资源中心 临界值表:

P( K 2 ? k0 )
k0

0.05 2.706

0.05 3.841

0.01 6.635

x2 y 2 1 58. 椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 的离心率为 ,其左焦点到点 P(2,1) 的距离为 10 . a b 2
(I)求椭圆 C 的标准方程; (II) 若直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 相交于 A、 B 两点( A、 B 不是左右顶点),且以 AB 为 直径的圆过椭圆 C 的右顶点,求证:直线 l 过定点,并求出该定点的坐标.

59. 已知椭圆 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的两个焦点 F1 , F2 ,动点 P 在椭圆上,且使得 a 2 b2

?F1PF2 ? 90 的点 P 恰有两个,动点 P 到焦点 F1 的距离的最大值为 2 ? 2 。
(I)求椭圆 C1 的方程; (II)如图,以椭圆 C1 的长轴为直径作圆 C2 ,过直线 x ? ?2 2 上的动点 T 作圆 C2 的两条 切线,设切点分别为 A,B,若直线 AB 与椭圆 C1 交于不同的两点 C,D,求

AB 的取值范围。 CD

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60. 已知抛物线的焦点到准线的距离为 2。 (Ⅰ)求 p 的值; (Ⅱ) 如图所示, 直线 l1 与抛物线 ? 相交于 A , B 两点,C 为抛物线 ? 上异于 A , B 的一点, 且 AC ? x 轴,过 B 作 AC 的垂线,垂足为 M ,过 C 作直线 l 2 交直线 BM 于点 N ,设 l1 , l 2 的 斜率分别为 k1 , k 2 ,且 k1k 2 ? 1 。 ① 线段 MN 的长是否为定值?若是定值,请求出定值;若不是定值,请说明理由; ② 求证: A, B, C , N 四点共圆.

61.设函数 f ( x) ? px ?

p ? 2 ln x ( p ? R ). x

(I)若函数 f ( x) 在其定义域内为单调递增函数,求实数 p 的取值范围; (II)设 g ( x ) ?

2e ,且 p ? 0 ,若在 ?1, e? 上至少存在一点 x 0 ,使得 f ( x0 ) ? g ( x0 ) 成立, x

求实数 p 的取值范围.

62.设函数 f ( x ) ? ( x ? 2) ln x , g( x) ? 2 x ? ax, a ? R
2

2

(I)证明: f ( x ) 是 ( 0,? ?) 上的增函数;

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (II)设 F ( x ) ? f ( x ) ? g( x ) ,当 x ? ?1,??? 时, F ( x ) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

63. 已知函数 f ( x) ? ex ? ax ?1(a ? 0, e 为自然对数的底数) (I)求函数 f ( x) 的最小值; (II)若 f ( x) ≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值; (III)在(II)的条件下,证明: 1 ?

1 1 ? ? 2 3

?

1 ? 1n(n ? 1)(n ? N * ) n

①若函数 g ( x ) 有且仅有一个零点时,求 a 的值; ②在①的条件下,若 e
?2

? x ? e , g ( x) ? m ,求 m 的取值范围。

64. 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑. A.选修 4-1:几何证明选讲 如图所示, AB 为圆 O 的直径, BC , CD 为 圆 O 的切线, B , D 为切点. (Ⅰ)求证: AD // OC ; (Ⅱ)若圆 O 的半径为 2,求 AD ? OC 的值.

B.选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 xOy 中,圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数). ? y ? ?4 ? 2 sin ?

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (Ⅰ)以原点为极点、 x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求圆 C 的极坐标方程; (Ⅱ)已知 A(?2, 0), B(0, 2) ,圆 C 上任意一点 M ( x, y ) ,求△ ABM 面积的最大值.

C.选修 4-5:不等式选讲 已知函数

f ( x) ? k ? x ? 3 , k ? R

且 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1?

(Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)若 a, b, c

是正实数,且

1 1 1 1 2 3 ? ? ? 1 ,求证: a ? b ? c ? 1 。 ka 2kb 3kc 9 9 9

65. 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 A.选修 4—1:几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,C,F 为⊙O 上的点,CA 是∠BAF 的角平分线,过点 C 作 CD⊥AF 交

AF 的延长线于 D 点,CM⊥AB,垂足为点 M.
(I)求证:DC 是⊙O 的切线; (II)求证:AM·MB=DF·DA.

B.选修 4-4:坐标系与参数方程 极坐标系与直角坐标系 xoy 有相同的长度单位,以原点 O 为极点,以
x ? 2? t ,曲 x 轴正半轴为极轴.已知直线 l 的参数方程为 ? 2 ( t 为参数) ? ? ? y? 3t ? ? 2 ? 1

江西金太阳好教育云平台——资源中心 线 C 的极坐标方程为 ? sin 2 ? ? 8cos? . (I)求 C 的直角坐标方程; (II)设直线 l 与曲线 C 交于 A, B 两点,求弦长 | AB | .

C.选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f () x ?? x1 ?? xa . (I)若 a ?? 1,解不等式 f (x ) ?3; (II)如果 ? ,求 a 的取值范围. x ? R ,f () x ? 2

66. 请考生在 A,B,C 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.做答时, 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的标号涂黑 A. 选修 4—1:几何证明选讲 如图,四边形 ABCD 内接于圆 求对角线 BD、AC 的长. .

B.选修 4—4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ?

4 cos ? ,以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立 sin 2 ?

? x?? ? ? 平面直角坐标系,直线 l 的参数方程为 ? ?y ? 1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) 2 t 2

(I)把曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程,把直线 l 的参数方程化为普通方程; (II)求直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长.

江西金太阳好教育云平台——资源中心 C.选修 4—5:不等式选讲 已知 a,b∈ R ,a+b=1, x1 , x 2 ∈ R . (1)求
?
?

x1 x2 2 的最小值; + + a b x1 x2

(2)求证: (ax1+bx2 ) (ax2+bx1 )≥x1x2 .

参考答案
一、选择题(36 个小题)
1.答案:B 解析:有元素 1,2 的是 ? U M , N ,分析选项则只有 B 符合。 2. 答案:C 解析: C ? {1, 2,3, 4,5,6,8,9,10,12,15} ,故选 C。 3. 答案:C 解析:集合 B ? x x ? 2 x ? 0 ? x x ? 2或x ? 0 , A ? B ? ??1,3? 。
2

?

? ?

?

4. 答案:C 解析:化简得 z ? 5. 答 案 : A

2 1 1 ? i ,则 | z | = ,故选 C。 2 2 2

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解析:

a ? 3 i ( a? 3 i) (1 ? 2 i ) a? 6 ? ? ? 1 ? 2i (1 ? 2 i ) (1 ? i2 ) 5
a?6 3? 2 a ? 0, ? 0? , a?? 6 。 5 5

? 3 a 2 i,所以 5

6. 答案:D 解析:根据复数的运算可知 所以正确选项为 D。 7. 答 案 : B 解析: m ? n ? (2? ? 3,3), m ? n ? (?1, ?1) ,

i ? 2i ? 1? 2 1 i 2 1? ? ? ? i ,所以复数的坐标为 ? ,? ? , 2 ? 2i ? 1 ? 2i ? ? 1 5 5 ?5 5?

? m ? n? ? ? m ? n ? ,?? 2? ? 3? ? ? ?1? ? 3 ? 0,? ? ? ?3 。
8. 答 案 : C 解析:如图,四边形 PBAC 是平行四边形,D 为边 BC 的中点,所以 D 为边 PA 的中点,
| PD | | AD |

的值为 1。

9. 答 案 : D 解析:∵D 是边 BC 上的一点(包括端点) , ∴可设 AD ? ? AB ? (1 ? ? ) AC(0 ? ? ? 1)

?BAC ? 120 , AB ? 2 , AC ? 1 ,? AB AC ? 2 ?1? COS120 ? ?1
? ? AD BC ? ? ?? AB ? (1 ? ? ) AC ? ( AC ? AB) ? (2? ? 1) AB AC ? ? AB ? (1 ? ? ) AC ? ?(2? ? 1) ? 4? ? 1 ? ? ? ?7? ? 2. 0 ? ? ?1 ? (?7? ? 2) ? ? ? ?5, 2 ? ?
2 2

? AD BC 的取值范围是 ? ? ? 5, 2 ? ?。
10. 答 案 : C 解析:命题 p 为真命题.对命题 q ,当 x ? 真命题.所以 C 正确。

1 1 1 时, x ? ? x ? ,故为假命题,?q 为 4 2 4

江西金太阳好教育云平台——资源中心 11. 答 案 : C 解析:命题“ ?x ? R , x 2 ? 2 x ? 1 ? 0 ” 是特称命题,则它的否定是全称命题,即

?x ? R x 2 ? 2 x ? 1 ? 0。
12. 答案:B 解析:由方程 x x ? 2 x ? m ? 0 ? m ? x(2 ? x ) ? ?

? x(2 ? x), x ? 0 ,易知函数 f ( x ) 是 x (2 ? x ), x ? 0 ?

R 上的奇函数,由 f ( x) 的图像可知,函数 f ( x) 在 ?0, ?? ? 上的最大值是 1,根据图
像的对称性知函数 f ( x ) 在 ? ??,0 ? 上的最小值为-1,又函数 f ( x ) 的图像与 x 轴有 3 个交点,那么原方程有 3 个实数根的充要条件是 ? ?1,1? ,而 ?0,1? ? ? ? ?1,1? ,所以选 择 B。 13. 答案:C 解析:由三视图可知,原几何体是一个三棱柱被截去了一个小三棱锥得到的, 如图 V ? 14. 答案:D 解析:由三视图可知此几何体是:棱长为 2 的正方体挖去了一个圆锥而形成的新几何 体,其体积为 2 ? ? ? ?1 ? 2 ? 8 ?
3 2

1 1 1 ? 3 ? 4 ? 5 ? ( ? 3 ? 4) ? 3 ? 24 ,故选 C 。 2 3 2

1 3

2? ,故选 D。 3

15. 答案:A 解析:该几何体是下面是一个三棱柱,上面是一个有一个侧面垂直于底面的三棱锥。其 体积为 ? 16. 答案:B 解析:依题意可以画出不等式表示的图形,当过点 ?1, ?2a ? 时取最小值,即 2-2 a =1,

1 ?1 4 ?1 ? ? ?1? 2 ? ?1 ? ? ? ?1? 2 ? ?1 ? 。 3 ?2 3 ?2 ? ?

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a=

1 2。

17. 答案:B 解析:由已知得线性可行域如图所示,则 z ? ax ? y 的最小值为 2 ,若 a ? ?2 ,则 (1, 0) 为 最小值最优解,∴ a ? 2 ,若 a ? ?2 ,则 (3, 4) 为最小值最优解,不合题意,故选 B。

18. 答案:C

? 2 x ? y ? 4 ? 0, ? 解析:不等式组 ? x ? y ? 3 ? 0, 表示的平面区域如图阴影部分所示,因为 a ? 0 ,故 ?y ? 0 ?

?2 x ? y ? 4 ? 0, ? x ? ?2, a 解得 ? 即 ? ? 0 。可知 z ? ax ? 6 y 在 C 点处取得最小值,联立 ? 6 ? y ? 0, ?y ? 0
C (?2,0) ,故 ?6 ? ?2a ? 6 ? 0 ,解得 a ? 3 。

19. 答案:B 解析:由程序知道, i ? 2, 4,6,L 2014 都应该满足条件, i ? 2016不满足条件,故应该选 择 B。 20. 答案:C

江西金太阳好教育云平台——资源中心 解析:由程序框图可知,从 n ? 1 到 n ? 15 得到 S ? ?3 ,因此将输出

n ? 16 . 故选 C。
21. 答案:B 解析:第一次运行时, S ? 1, i ? 2 ;第二次运行时, S ? 1 ? 1, i ? 3 ; 第三次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2, i ? 4 ;第四次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3, i ? 5 ; 第五次运行时, S ? 1 ? 1 ? 2 ? 3 ? 4, i ? 6 ;…,以此类推, 直到 S ? 1 ? 1? 2? 3? 4? … ? 19 ? 20, i? ,程序才刚好不满足 i ? n ,故输出 22

S ? 1?
22. 答案:C

20 ? ?1 ? 20 ? ? 211 .故选 B。 2

? ? x ? 1 可得 y ? 4.2 , 7 . 解析: 将 x ? 3.2 代入回归方程为 y 则 4m ?6
即精确到 0.1 后 m 的值为 1.7 . 故选 C。 23. 答案:A

, 解得 m ? 1.675 ,

解析:去掉一个最高分和一个最低分后,所剩数据为 84,84,86,84,87 ,平均数为

84 ? 84? 86? 84 ? 87 ? 85 ,众数为 84. 故选 A。 5
24. 答案:A 解析: 支出在 ?30,50? 的同学的频率为 1 ? (0.01 ? 0.023) ?10 ? 0.67 ,n ? 25. 答案:B 解析:由题意 sin ? ? ? ,因为 ? 是第三象限的角,所以 cos ? ? ? ,
3 5 4 5

67 ? 100 。 0.67

? ?? ? ? ? ? ? cos cos ? sin (cos ? sin ) 2 2 2 2 2 2 2 ? 1 ? sin ? ? ? 1 。 因此 ? ? ? ?? ? ?? ? ? cos ? 2 2 ? 2 ? sin ? cos cos ? sin cos ? sin 2 2 2 2 2 2
sin

? ??

26. 答案:D 解析:∵sin(A-B)=1+2cos(B+C)sin(A+C) ,∴sin(A-B)=1-2cosAsinB, ∴sinAcosB-cosAsinB=1-2cosAsinB,∴sinAcosB+cosAsinB=1, ∴sin(A+B)=1,∴A+B=90°,∴△ABC 是直角三角形。

江西金太阳好教育云平台——资源中心 27. 答案:A 解析: 结合特殊值, 求解三角函数的递减区间, 并验证结果. 取? ? 其减区间为 [
4 4 ? ,f ( x) ? sin( x ? ) , 3 3 6

? 3k? ? 3k? 3k? ? 3k? ? , ? ? ] (k ? Z ) ,显然 ( , ? ) ? [ ? , ? ? ] (k ? Z ) ,排除 2 2 4 2 2 4 2
3 3 ? 4k? 2? 4k? 8? , f ( x) ? sin( x ? ) ,其减区间为 [ ? , ? ] (k ? Z ) ,显然 2 2 6 3 9 3 9

B, C ;取 ? ?

? 4k? 2? 4k? 8? ( ,? ) ? [ ? , ? ] (k ? Z ) ,排除 D .选 A 。 2 3 9 3 9
28. 答案:C 解析:因为函数 f ? x ? ? cos ? ? x ?

? ?

??

2? ? 的最小正周期为 ? ,所以 ? ? ? ? 2 ,则 3?

?? ? f ? x ? ? cos ? 2 x ? ? 3? ?
? ?? ? ?? ? ? ?? ?? ? ? g ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? cos ? 2 x ? ? ? ? cos ?2 ? x ? ? ? ? ,则用 x ? 换 x 即 4 3? 3 2? 4 ? 3? ? ? ? ?
可得到 f ? x ? 的图像,所以向左平移 29. 答案:D 解析:因为 S?BCD ? 1 ,可得 以 cos ?DCB ?

? 个单位长度,则选 C。 4

1 5 ? CD ? BC ? sin ?DCB ? 1 ,即 sin ?DCB ? ,所 2 5

2 5 .在 ?BCD 中,由余弦定理 5 CD 2 ? BC 2 ? BD 2 2 5 ,解得 BD ? 2 ,所以 cos ?DCB ? ? 2CD BC 5 10 BD 2 ? BC 2 ? CD 2 3 10 cos ?DBC ? ,所以 sin ?DBC ? , ? 10 2 BD BC 10 BC AC BC sin B 2 3 ? ? 在 ?ABC 中,由正弦定理可知 ,可得 AC ? 。 sin A sin B sin A 3

30. 答案:B 解析:f ( x) ? a sin ? x cos ? x ? 3 cos
?
2

? x ? sin 2? x ?

a 2

3 3 , 依题意, cos 2? x ? 2 2

a2 3 3 3 , 所 以 a 2 ? 3 ? 12 , 因 为 a ? 0 , 解 得 a ? 3 , 故 ? ? ?? 4 4 2 2

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3 3 3 3 1 3 ? 3 f ( x) ? sin 2? x ? cos 2? x ? ? 3(sin 2? x ? cos 2? x ) ? ? 3 sin(2? x ? ) ? 2 2 2 2 2 2 6 2

,故

2? ? ? ,所以 2? ? 4 ,即 f ( x ) ? 3 sin(4x ? ? )? 3 。将函数 f ( x) 的图片向 2? 2 6 2

左平移 ? ( ? >0)个单位后得到 g ( x) ? 3 sin(4 x ? ? ? 4? ) ? 3 ,因为函数 g ( x) 的 6 2 一条对称轴为 x ? 观察可知,选 B。 31. 答案:B 解析:依题意 0 ? a ? 1 , c ? 1 ,? 32. 答案:D 解析:如图分别过点 A,B 作准线的垂线,分别交准线于点 E,D,

?

8

。故 4 ? ? ? ? 4? ? ? ? k? (k ? Z ) ,解得 ? ? ? ? ? k? (k ? Z ) , 8 6 2 24 4

1 2 。 ? 2,? a ? a 2

设|BF|=a,则由已知得:|BC|=2a,由定义得:|BD|=a,故∠BCD=30°, 在直角三角形 ACE 中,∵|AF|=3,|AC|=3+3a,∴2|AE|=|AC| ∴3+3a=6,从而得 a=1,∵BD∥FG,∴

3 1 2 ? ,求得 p= ,因此抛物线方程为 y2=3x。 2 p 3

33. 答案:B 解析:由椭圆定义知 PF 1 ? PF 2 ? 2a ,

PF1 PF2 ? (

PF1 ? PF2 2 ) ? a 2 , ? PF1 PF2 的最大值为 a 2 2

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2 2 2 2 2 而 PF1 PF2 最大值取值范围是 ? ? 2c , 3c ? ? ,所以 2c ? a ? 3c

于是得到

1 c2 1 ? ? , 3 a2 2
? 3 2? , ? ,选 B。 ? 3 2 ?

故椭圆的离心率的取值范围是 ? 34. 答案:A

解 析 : 由 函 数 的 奇 偶 性 可 知 函 数 为 非 奇 非 偶 函 数 , 所 以 排 除 B,C, 再 令

1 1 1 e ? 1? x ? ? , f ? x? ? ? ? ? ? ? 2 ? e ? 0 ,说明当 x 为负值时,有小于零的函 1 e e ? e? ? e
2

ln ?

数值,所以排除 D。 35. 答案.B 解析:当 0 ≤ x1 ? 4 ≤ x2 ≤ 6 时,因为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,由 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 1 或 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 2 , 得到 x1 的取值范围是 [1, 3] ,所以 x1 ? f ( x2 ) ? x1 ? f ( x1) ? x1(2 ? x 1 ? 2 ) ? ? 即 x1 ? f ( x2 ) 的范围是 [1, 4] .
2 ? 1 ≤ x ? 2, ? x1 , 2 ? x ? 4 x , 2 ≤ x ? 3. ? ? 1 1

36. 答案:A 解析:因为 f ( x) ? 1 时, x =1 或 x =3 或 x =

4 1 4 或 x =-4,则当 a=1 时 x ? ? 2 ? 或 1 或 3 5 x 5 1 1 1 或-4,又因为 x ? ? 2 ? 0或x ? ? 2 ? -4 ,则当 x ? ? 2=-4 时只有一个 x x x

x =-2 与之对应其它情况都有两个 x 值与之对应,所以此时所求方程有 7 个根,当 1
<a<2 时因为函数 f ( x) 与 y=a 有 4 个交点,每个交点对应两个 x ,则此时所求方程有 8 个解,当 a=2 时函数 f ( x) 与 y=a 有 3 个交点,每个交点对应两个 x ,则此时所求方 程有 6 个解,所以 B,C,D 都有可能,则选 A。

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二、填空题(12 个小题)
37. 答案: 1 ?

?
24

解析:分别以三角形的三个顶点为圆心,1 为半径作圆,则在三角形内部且在三圆外部的区
1 ? ? ? 12 ? 域即为与三角形三个顶点距离不小于 1 的部分,即 P ? 1 ? 2 ?1? 1 24 ?6? 4 2

38. 答案: 1 ?

? 8

解析:如果 ?AEB 为直角,动点 E 位于以 AB 为直径的圆上(如图所示) .要使 ?AMB 为 锐角,则点 M 位于正方形内且半圆外(如图所示的阴影部分) ;

因为半圆的面积为 的概率 P ? 1 ?

2? ? ? 1? 。 16 8

1 ? ? ? 22 ? 2? ,正方形的面积为 4 ? 4 ? 16 ,所以满足 ?AMB 为锐角 2

39. 答案:

1 2

解析:由 1,2,3 组成的三位自然数为 123,132,213,231,312,321,共 6 个; 同理由 1,2,4 组成的三位自然数共 6 个; 由 1,3,4 组成的三位自然数也是 6 个; 由 2,3,4 组成的三位自然数也是 6 个. 所以共有 6+6+6+6=24 个. 由 1,2,3 组成的三位自然数,共 6 个”有缘数”. 由 1,3,4 组成的三位自然数,共 6 个”有缘数”. 所以三位数为”有缘数”的概率 P ? 40. 答案:甲 解析:假设甲说的是假话,即丙考满分,则乙也是假话,不成立;假设乙说的是假话,即乙 没有考满分,又丙没有考满分,故甲考满分;故答案为:甲。

12 1 ? 。 24 2

江西金太阳好教育云平台——资源中心 41. 答案:38 解析:由图可知奇数行的数是奇数,偶数行的数是偶数,所以第 8 行的数字是偶数,前 7 行的偶数有 2+4+6=12 个,则 a87 是第 12+7=19 个偶数,即 2 ? 2 ? ?19 ?1? ? 38 。 42. 答案. 2n ? n
2

解析:因为[x]表示不超过 x 的最大整数, 所以 ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 1 , ? 4 ? ? ? 5 ? ? ... ? ? 8 ? ? 2,..., ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 因为等式: ? 1 ? ? ? 2 ? ? ? 3 ? ? 3 , ? ? ? ? ? ?
? 4 ? ? ? 5 ? ? ? 6 ? ? ? 7 ? ? ? 8 ? ? 10 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

? 9 ? ? ? 10 ? ? ? 11 ? ? ? 12 ? ? ? 13 ? ? ? 14 ? ? ? 15 ? ? 21 , ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?

…, 所以第 1 个式子的左边有 3 项、右边 1+1+1=1×3=3, 第 2 个式子的左边有 5 项、右边 2+2+2+2+2=2×5=10, 第 3 个式子的左边有 7 项、右边 3×7=21, 则第 n 个式子的左边有(2n+1)项、右边=n(2n+1)=2n2+n。 43. 答案:32 ? 解析:由题意画出几何体的图形如图, 把 A、B、C、D 扩展为三棱柱,上下底面中心连线的中点与 A 的距离为球的半径, AD=4,AB=2 3 ,△ABC 是正三角形,所以 AE=2,AO=2 2 。 所求球的表面积为:4 ? (2 2 )2=32 ? 。

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44. 答案:

4 2 ? 3

解析:设所给半球的半径为 R ,则棱锥的高 h?R ,底面正方形中有

2 4 2 3 ,则 R ? 2 2 , AB ? BC ? CD ? DA ? 2R ,所以其体积 R 3 ? 3 3
2 4 2 于是所求半球的体积为 V ? ?R 3 ? ?。 3 3
45. 答案:

7 7 ? 6

解析:因为 BO ? 1 ,故 BD ? 2 ,故 PO ?

PB2 ? BO2 ? 3 ;同理, BC ? 3 ;将

四棱锥 P ? ABCD 补成一个长方体,可知该长方体的长宽高分别为 3,1, 3 ,故所求 外接球的半径 r ? 46. 答案:2 解析:∵ Sn ? na1 ? 又
n(n ? 1) S S S n ?1 5 ?1 2 ?1 3 d ,∴ n ? a1 ? d ,∴ 5 ? 2 ? (a1 ? d ) ? (a1 ? d) ? d , 2 n 2 5 2 2 2 2

3 ?1? 3 7 4 7 7 3 ?。 ? ,其体积 V ? ? R ? 3 6 2 2

S5 S2 ? ? 3 ,∴ d ? 2 。 5 2

47. 答案:2×31007﹣2 解析:由 anan+1=3n,得 an?1an ? 3n?1 ? n ? 2? , ∴
a n ?1 ? 3( n ? 2) , an ?1

则数列{an}的所有奇数项和偶数项均构成以 3 为公比的等比数列, 又 a2 ?
3 ?3. a1

∴ S2014 ?

1? (1 ? 31007 ) 3 ? (1 ? 31007 ) ? ? 2 ? 31007 ? 2 。 1? 3 1? 3

江西金太阳好教育云平台——资源中心 48. 答案:4 解析:当 n ? 1 时, S1 ? 2a1 ? 22 得 a1 ? 4 , Sn ? 2an ? 2n ?1 ; 当 n ? 2 时, Sn ?1 ? 2an ? 2n ,两式相减得 an ? 2an ? 2an ?1 ? 2n ,得 an ? 2an ?1 ? 2n , 所以 又
an an ?1 ? ? 1。 2n 2n ?1
n

a a1 ?a ? 所以数列 ? n 是以 2 为首项, 1 为公差的等差数列, n 即 an ? (n ? ) 12 ? ? 2, ? n ?1 , n ? n 2 21 2 ? ?



因为 an ? 0 ,所以不等式 2n2 ? n ? 3 ? (5 ? ? )an ,等价于 5 ? ? ?
2n ? 1 n ?1 bn ?1 2n ? 3 2n ? 1 记 bn ? n , n ? 2 时, 。 ? 2 ? 2n ? 3 4n ? 6 2 bn 2n

2n ? 3 。 2n

所以 n ? 3 时,
3 8

bn ?1 3 ? 1, (bn ) max ? b3 ? 。 bn 8

所以 5 ? ? ? , ? ? 5 ? ?

3 8

37 ,所以整数 ? 的最大值为 4。 8

三、解答题(18 个小题)
49. 解: (Ⅰ)由正弦定理,得

2c ? a 2sin C ? sin A ? b sin B cos A ? 2 cos C 2sin C ? sin A ? 所以 cos B sin B
即 (cos A ? 2cos C )sin B ? (2sin C ? sin A) cos B , 化简得 sin( A ? B) ? 2sin( B ? C ) ,即 sin C ? 2sin A 因此

sin C ?2 sin A

(Ⅱ)由
2

sin C ? 2 的 c ? 2a sin A
2 2

由 b ? a ? c ? 2ac cos B 及 cos B ? 得 4 ? a ? 4a ? 4a ?
2 2 2

1 ,b ? 2 4

1 ,解得 a ? 1 ,因此 c ? 2 4

又 0 ? B ? ? 所以 sin B ?

15 1 15 ,因此 s ? ac sin B ? 4 2 4

50. 解: (Ⅰ)∵ sin 2 A ? 3 cos 2 A ? 2sin 2B,

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1 3 ? 2( sin 2 A ? cos 2 A) ? 2sin 2 B, 2 2
? 2sin(2 A ? ) ? 2sin 2 B,? sin(2 A ? ) ? sin 2 B 3 3
?2A ?

?

?

?

3

? 2 B ,或 2 A ?

?

3

? ? ? 2B ,

由 a ? b ,知 A ? B ,所以 2 A ? 即 A? B ?

?
3

? 2 B 不可能成立,所以 2 A ?

?
3

? ? ? 2B ,

?
3



所以 C ? ? ?

?
3

?

2? 3

(Ⅱ)由(Ⅰ) ,C ?

2? 3 ,所以 sin C ? , 3 2

1 3 S ? a ? b ? sin C ? ab 2 4
cos C ? a 2 ? b2 ? c 2 1 a 2 ? b2 ? 3 ?? ? ? ?ab ? a 2 ? b2 ? 3 ? 3 ? ab ? a 2 ? b2 ? 2ab ? ab ? 1 2ab 2 2ab

即△ABC 的面积 S 的最大值为

3 4

2 2Sn 51. 解: (Ⅰ)当 n ? 2 时, Sn ? Sn ?1 ? , 2Sn ? 1

Sn?1 ? Sn ? 2Sn Sn?1

1 1 ? ?2, S S n ?1 , n

? ? 从而 ? 1 ? 构成以1为首项,2为公差的等差数列. ? Sn ?
(Ⅱ)由(1)可知,

1 1 1 ? ? (n ? 1) ? 2 ? 2n ? 1 ,? S n ? . 2n ? 1 Sn S1

当 n ? 2 时,

1 1 1 1 1 1 1 1 Sn ? ? ? ? ? ( ? ). n n(2n ? 1) n(2n ? 2) 2 n(n ? 1) 2 n ? 1 n

江西金太阳好教育云平台——资源中心 从而 S1 ? 2 S2 ? 3 S3 ? ... ? n Sn ? 1 ? 2 (1 ? 2 ? 2 ? 3 ?

1

1

1

1

1

1 1

?

1 1 3 1 3 ? )? ? ? n ? 1 n 2 2n 2 。

52. 证明: (1) 连接 AC、OE,AC 在 ?PAC 中, 又

BD ? O ,

E 为 PC 中点, O 为 AC 中点.? PA / / EO ,

EO ? 平面 EBD , PA ? 平面 EBD ,? PA / / 平面 BDE.
P E D O

C

A
(2) 又

B

PO ? 底面 ABCD, ? PO ? BD .

BD ? AC ,? BD ? 平面 PAC .

又 BD ? 平面 BDE ,∴平面 PAC ? 平面 BDE .

53. (I)证明:有题设得

BC ? CC1 , BC ? AC , CC1 ? AC ? C ,
所以 BC ? 平面 ACC1 A1 , 又 DC1 ? 平面 ACC1 A1 ,所以

DC1 ? BC ,
有 DC ? BC ? C , 所 以

由 题 设 知 ?A1 DC1 ? ?ADC ? 45? , 所 以 DC1 ? DC ,

DC1 ? 平面 BDC, 又 DC1 ? 平面 BDC1, 平面 BDC1⊥平面 BDC
(Ⅱ)设棱锥 B ? DACC1 的体积为

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1 1? 2 1 V1 , V1 ? ? ?1?1 ? ,三棱柱 ABC-A1B1C1 体积为 V ? 1 ,所以 (V ? V1 ) : V1 ? 1 : 1, 3 2 2
所以平面 BDC1 分此棱柱为两部分体积的比为 1 : 1 。

54. 解: (I)因为四边形 ABEF 为矩形, 所以 AF // BE, BE ? 平面 BCE , AF ? 平面 BCE , 所以 AF // 平面 BCE .
F E

A

M
B

D C

(II)过 C 作 CM ? AB ,垂足为 M , 因为 AD ? DC, 所以四边形 ADCM 为矩形. 所以 AM ? MB ? 2 ,又因为 AD ? 2, AB ? 4 所以 AC ? 2 2 , CM ? 2 , BC ? 2 2
2 2 2 所以 AC ? BC ? AB ,所以 AC ? BC ;

因为 AF ? 平面 ABCD , AF // BE, 所以 BE ? 平面 ABCD ,所以 BE ? AC , 又因为 BE ? 平面 BCE , BC ? 平面 BCE , BE ? BC ? B 所以 AC ? 平面 BCE . (III)因为 AF ? 平面 ABCD ,所以 AF ? CM , 又因为 CM ? AB , AF ? 平面 ABEF , AB ? 平面 ABEF , AF ? AB ? A 所以 CM ? 平面 ABEF .

EF

1 1 1 1 8 S ?BEF ? CM ? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 3 2 6 3 1 1 1 1 8 ? S ?BEF ? CM ? ? ? BE ? EF ? CM ? ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 3 2 6 3 VE ? BCF ? VC ? BEF ?

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55. 解: (Ⅰ)设平均成绩的估计值为 X ,则:
X ? (20 ? 0.001 ? 40 ? 0.004 ? 60 ? 0.009 ? 80 ? 0.020 ? 100 ? 0.013 ? 120 ? 0.002 ? 140 ? 0.001) ? 20

? 80 .
(Ⅱ) 该校学生的选拔测试分数在 [110,130) 有 4 人, 分别记为 A, B, C, D, 分数在 [130,150) 有 2 人,分别记为 a,b,在则 6 人中随机选取 2 人,总的事件有(A,B) , (A,C) , (A,

D) ,
(A,a) , (A,b) , (B,C) , (B,D) , (B,a) , (B,b) , (C,D) , (C,a) , (C,b) , (D,

a) , (D,b) , (a,b)共 15 个基本事件,其中符合题设条件的基本事件有 8 个. 8 故选取的这两人的选拔成绩在频率分布直方图中处于不同组的概率为 P ? 。 15
56. 解: (1)用分层抽样的方法从三个驾校分别抽取: 驾校 A: 24 ?

150 ? 6人 600

驾校 B: 24 ?

200 250 ? 8 人 驾校 C: 24 ? ? 10 人 600 600

(2)补全的茎叶图为

9 0 1 22 2 2 2 2 3 3 4 7 7 8 9 9 9 8 67 7 9 7 06 6 4 众数为:92 极差为:99-64=35 (3)设事件 A=“预考成绩具有 M 特性” 。 满足 x ? 96.5 ? 4 的预考成绩为: 共 9 个,所以 P(A)=

9 3 ? 24 8

57. 解: (1)设从高一年级男生中抽出 m 人,则

m 45 ? , m ? 25 , 500 500 ? 400

江西金太阳好教育云平台——资源中心 ∴ x ? 25 ? 20 ? 5, y ? 20 ? 18 ? 2 表 2 中非优秀学生共 5 人,记测评等级为合格的 3 人为 a , b, c ,尚待改进的 2 人为 A, B , 则从这 5 人中任选 2 人的所有可能结果为:

(a, b),(a, c),(b, c),( A, B),(a, A),(a, B),(b, A),(b, B),(c, A),(c, B) ,共10 种.
设事件 C 表示“从表二的非优秀学生 5 人中随机选取 2 人,恰有 1 人测评等级为合格” , 则 C 的结果为: (a, A),(a, B),(b, A),(b, B),(c, A),(c, B) ,共 6 种. ∴ P (C ) ? (2) 男生 优秀 非优秀 ∵ 总计 15 10 25 女生 15 5 20 总计 30 15 45

3 6 3 ? , 故所求概率为 . 5 10 5

1 ? 0.9 ? 0.1 ,

P( K 2 ? 2.706) ? 0.10 ,
而K ?
2

45(15 ? 5 ? 15? 10) 2 45? 152 ? 5 2 9 ? ? ? 1.125 ? 2.706, 30 ? 15? 25? 20 30 ? 15? 25 ? 20 8

所以不能在犯错的概率不超过 0.1 的前提下认为“测评结果优秀与性别有关” 。

58. 解: (I)由题: e ?

c 1 ? ① a 2

y

l

A

左焦点 (-c,0) 到点 P(2,1) 的距离为:

P x A2

d=

(2 +

c) 2

+

12

=

10 ②

F1 O B

F2

由①②可解得 c = 1, a = 2 , b 2 = a 2-c 2 = 3. ∴所求椭圆 C 的方程为

x2
4

+

y2
3

=1 .

(II)设 A(x1,y1)、B(x2,y2),将 y = kx + m 代入椭圆方程得

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (4k 2 + 3) x 2 + 8kmx + 4m 2-12 = 0. ∴x1 + x2 = - 8km 4k 2 + 3 ,x1x2 = 4m 2-12 4k 2 + 3 ,且 y1 = kx1 + m,y2 = kx2 + F1 O F2 A2 y l

A

P x

m.
∵AB 为直径的圆过椭圆右顶点 A2(2,0) ,所以 A2A ?A2B = 0. 所以 (x1-2,y1)·(x2-2,y2) = (x1-2) (x2-2) + y1y2 = (x1-2) + m) = (k 2 + 1) x1x2 + (km-2) (x1 + x2) + m 2 + 4 = (k 2 + 1)· 4m 2-12 8km -(km-2)· + m2 + 4 = 0 . 4k 2 + 3 4k 2 + 3 2 7 → → B

(x2-2) + (kx1 + m) (kx2

整理得 7m 2 + 16km + 4k 2 = 0.∴m = -

k 或 m = -2k 都满足 △ > 0.

若 m = -2k 时, 直线 l 为 y = kx-2k = k (x-2) , 恒过定点 A2(2,0), 不合题意舍去; 若 m= - 2 7

k 时,直线 l 为 y = kx- k = k (x- ), 恒过定点 ( ,0) .
7 7 7

2

2

2

59. 解:(I)由使得 ?F 1的 1PF 2 ? 90 的点 P 恰有两个可得 b ? c, a ? 2c ;动点 P 到焦点 F 距离的最大值为 2 ? 2 ,可得 a ? c ? 2 ? 2 ,即 a ? 2, c ? 2 ,所以椭圆 C1 的方程

x2 y 2 ? ?1 是 4 2
(II)圆 C2 的方程为 x ? y ? 4 ,设直线 x ? ?2 2 上动点 T 的坐标为 (2 2, t ) 设
2 2

A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,则直线 AT 的方程为 x1 x ? y1 y ? 4 ,直线 BT 的方程为
? ? ?2 2 x1 ? ty1 ? 4 ,故直线 AB x2 x ? y2 y ? 4 ,又 T (2 2, t ) 在直线 AT 和 BT 上,即 ? ? 2 2 x ? ty ? 4 ? ? 2 2
的方程为 ?2 2x ? ty ? 4

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t2 ? 4 由原点 O 到直线 AB 的距离 d ? 得, AB ? 2 r ? d ? 4 2 t ?8 8 ? t2
4
2 2

??2 2 x ? ty ? 4 ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 x 得 (t 2 ? 16) y 2 ? 8 yt ?16 ? 0 ,设 C ( x3 , y3 ) , D( x4 , y4 ) 。 ? ?1 ? ? 4 2
则 y3 ? y4 ?

8t ?16 t2 4(t 2 ? 8) , y y ? , 从而 CD ? 1 ? y ? y ? 3 4 1 2 t 2 ? 16 t 2 ? 16 8 (t 2 ? 16)

所以

AB t 2 ? 4(t 2 ? 16) 2 ? ,设 t ? 8 ? m(m ? 8) , 2 2 CD t ? 8(t ? 8)



1 1 AB m3 ? 12m2 ? 256 12 256 ? ? 1 ? ? 3 ,又设 ? y (0 ? y ? ) , 3 m 8 CD m m m

所以

AB ? 1 ? 12 y ? 256 y 3 ,设 f ( y) ? 1 ? 12 y ? 256 y3 , CD
' 2

所以由 f ( y) ? 12 ? 768 y ? 0 得: y ?

1 ? 1? 2 , 所以 f ( y) ? 1 ?12 y ? 256 y 在 ? 0, ? 上单 8 ? 8?

调递增即

AB ? 1, 2 ? ? CD

?

60. 解: (Ⅰ) p ? 2 (Ⅱ)设 A?x1 , y1 ?, B?x2 , y2 ?,则 C?x1 ,? y1 ?, M ?x1 , y 2 ? ,直线 l1 的方程为: y ? k1 x ? b 由?

? y ? k1 x ? b ? y ? 4x
2

消元整理可得: k12 x 2 ? ?2bk1 ? 4?x ? b 2 ? 0

所以

4 ? 2bk1 4 ? ? y ? y ? 1 2 ? x1 ? x2 ? k 2 ? k1 ? ? 1 可求得: ? ? 2 ? y y ? 4b ?x x ? b 1 2 1 2 2 ? ? k1 k1 ? ?

直线 l 2 的方程为: y ? y1 ? k 2 ( x ? x1 ) 所以可求得 N ? ?

? y1 ? y 2 ? ? x1 , y2 ? ? ? k2 ?

所以 MN =

y1 ? y 2 4 = =4. k2 k1 k 2

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? 2 ? bk1 2 ? 2 ? bk1 ? 2 1? ? ? ? ,则 的中垂线方程为: , y ? ? ? x ? AB 的中点 E? AB 2 2 ? k ? ? ? k k k k 1 1 ? 1? ? 1 1 ?
与 BC 的中垂线 x 轴交点为: o??
2

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? ,0 ? ? ? 所以 ?ABC 的外接圆的方程为: k12 ? ?

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ? x ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 2 2 ? ? k k 1 1 ? ?
由上可知 N ?x1 ? 4, y2 ?

? x1 ? 4 ?

2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 2k12 ? bk1 ? 2 ? x ? ? x ? x ? 4 ? ?2 ? 0 2 1 2 k12 k12 k12

? 2k12 ? bk1 ? 2 ? 2k12 ? bk1 ? 2 2 2 ? ?? x ? 4 ? ? y ? ( ? x2 ) 2 ? y 2 2 2 2 ? 1 ? k k 1 1 ? ?
所以 A, B, C , N 四点共圆.

2

2 px2-2x+p 61. 解: (I)f′(x)=p+ - = , x2 x x2 依题意,f ′(x)≥0 在(0, + ∞)内恒成立, 2x 只需 px2-2x+p≥0 在(0, + ∞)内恒成立,只需 p≥ 在(0, + ∞)内恒成立, x2+1 2x 只需 p≥( )max=1, x2+1 故 f(x)在其定义域内为单调递增函数时,p 的取值范围是[1,+ ∞)。 (应该验证 p ? 1 时,符合题意,此题不验证也不扣分) p 2e (II) 依题意, f(x)-g(x)>0 在[1,e]上有解, 设 h(x)= f(x)-g(x)= px- -2ln x- ,x∈[1,e], x x p 2 2e px2+p+2(e-x) h ′(x)=p+ - + = , x2 x x2 x2

p

江西金太阳好教育云平台——资源中心 因为 x∈[1,e],p>0,所以 h ′(x)>0 在[1,e]上恒成立, 1 所以 h(x) 在[1,e]上是增函数,所以 hmax(x)= h(e)=p(e- )-4, e 1 依题意,要 h(x) >0 在[1,e]有解只需 hmax(x) >0,所以 p(e- )-4>0 e 解得 p > 4e ,所以 p 的取值范围是( , + ∞) e2-1 e2-1 4e 。

62. 解: (I)若证明 f ( x) 是 (0,??) 上的增函数,只需证明 f ?( x) ? 0 在 (0,??) 恒成立, 即: f ?( x) ? 2 x ln x ? 设 h( x) ? 2 ln x ?

2 2 2 ? x ? 0 ? x(2 ln x ? 2 ? 1) ? 0 ? 2 ln x ? 2 ? 1 ? 0 x x x

2 2 4 2x 2 ? 4 ? ? 1 , x ? ( 0 , ?? ) h ( x ) ? ? ? , x2 x x3 x3

所以: h( x) 在 (0, 2 ) 上递减, ( 2 ,??) 上递增, h( x) 最小值 h( 2 ) ? ln 2 ? 2 ? 0 故: f ?( x) ? 2 x ln x ?

2 ? x ? xh ( x) ? 0 ,所以: f ( x) 是 (0,??) 上的增函数. x

(II)由 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? ( x 2 ? 2) ln x ? 2x 2 ? ax ? 0 得:

a?

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 在 x ? ?1,??? 上恒成立, x

设 G ( x) ?

( x 2 ? 2) ln x ? 2 x 2 x ( x 2 ? 2)(ln x ? 1) , x2

则 G ?( x) ?

所以 g ( x) 在 (1, 2 ) 递增, ( 2 , e) 递减, (e,??) 递增 所以 G ( x ) 的最小值为 G(1), G(e) 中较小的, G (e) ? G (1) ?

2 ?e?2 ? 0, e

所以: G(e) ? G(1) ,即: G ( x ) 在 x ? ?1,??? 的最小值为 G(1) ? ?2 ,只需 a ? ?2

? 63. 解:(I)由题意 a , ? 0 ,f () x ? e ? a
x

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x ? 由f 得 x?lna. () x? e ?? a0

当x 时, f ?(x ? ( ? ? , l n) a时, f ?(x )?0;当 x ? ( l n, a ? ? ) )?0. ∴ f ( x) 在 ( ? ? ,l na )单调递减,在 ( l na ,? ? )单调递增 即 f ( x ) 在 x?lna处取得极小值,且为最小值,
l n a 其最小值为 f ( l n a ) ? e ?? a l n aa 1 ? ?? a l n a 1 .

(II) f (x) )m ≥ 0. ≥ 0对任意的 x ?R 恒成立,即在 x ?R 上, f (x in 由(1),设 g ,所以 g(a) ( a ) ? a ? aa l n ? 1 . ≥ 0.

? 由g 得 a ? 1. ( a ) ? 1 ? l n a ? 1 ? ? l n a ? 0
易知 g ( a ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减, ∴ g ( a ) 在 a ? 1 处取得最大值,而 g( 1 ) ?0. 因此 g(a) ≥ 0的解为 a ? 1 ,∴ a ? 1 (III)由(II)得 e ? x ? 1 ,即 ln(x ? 1) ? x ,当且仅当 x ? 0 时,等号成立,令
x

1 (k ? N ? ) k 1 1 1 1? k 1 ) ,所以 ? ln(1 ? k ) ? ln k (k ? 1,2,...,n) 则, ? ln(1 ? ) 即 ? ln( k k k k k 1 1 1 ? 累加得 1 ? ? ? ... ? ? ln( n ? 1)( n ? N ) 2 3 n x?
64. A.选修 4-1:几何证明选讲 解:(I)连接 BD, OD,? CB, CD 是圆 O 的两条切线,

? BD ? OC ,
? ?ODB ? ?DOC ? 90? ,又? AB 为圆 O 的直径,

? AD ? DB ,
? ?ADO ? ?ODB ? 90? ??DOC ? ?ODA ,? AD / / OC ,即得证,

江西金太阳好教育云平台——资源中心 (II)

AO ? OD ,? ?DAO ? ?DOC ,? Rt △ BAD∽

Rt △ COD ,

AD ? OC ? AB ? OD ? 8 。
B.选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (I)圆 C 的参数方程为 ?

? x ? 3 ? 2 cos? ( ? 为参数) ? y ? ?4 ? 2 sin ?

所以普通方程为 ( x ? 3) 2 ? ( y ? 4) 2 ? 4

? 圆 C 的极坐标方程: ? 2 ? 6? cos? ? 8? sin ? ? 21 ? 0
(II)点 M ( x, y ) 到直线 AB : x ? y ? 2 ? 0 的距离为 d ? △ ABM 的面积 S ?

| 2 cos? ? 2 sin ? ? 9 | 2

1 ? ? | AB | ?d ?| 2 cos ? ? 2 sin ? ? 9 |?| 2 2 sin( ? ? ) ? 9 | 2 4 所以△ ABM 面积的最大值为 9 ? 2 2
C.选修 4-5:不等式选讲 解: (Ⅰ)因为 f ( x) ? k ? x ? 3 ,所以 f ( x ? 3) ? 0 等价于 x ? k 由 x ? k 有解,得 k ? 0 ,且其解集为 ? x ? k ? x ? k ? 又 f ( x ? 3) ? 0 的解集为 ??1,1? ,故 k ? 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知

1 1 1 ? ? ?1 a 2b 3c

又 a, b, c 是正实数, 由均值不等式得

1 1 1 a a 2b 2b 3c 3c a ? 2b ? 3c ? (a ? 2b ? 3c)( ? ? ) ? 3? ? ? ? ? ? ? a 2b 3c 2b 3c a 3c a 2b a 2b a 3c 2b 3c 3? ( ? ) ? ( ? ) ? ( ? ) ? 3? 2? 2? 2 ? 9 2b a 3c a 3c 2b
当且仅当 a ? 2b ? 3c 时取等号。 也即

1 2 3 a ? b ? c ?1 9 9 9

65. A.选修 4-1:几何证明选讲

江西金太阳好教育云平台——资源中心 解: (I)连结 OC,∴∠OAC=∠OCA,又∵CA 是∠BAF 的角平分线, ∴∠OAC=∠FAC, ∴∠FAC=∠ACO,∴OC∥AD. ∵CD⊥AF, ∴CD⊥OC,即 DC 是⊙O 的切线. (Ⅱ)连结 BC,在 Rt△ACB 中,

CM⊥AB,∴CM2=AM·MB.
又∵DC 是⊙O 的切线,∴DC2=DF·DA. 易知△AMC≌△ADC,∴DC=CM, ∴AM·MB=DF·DA B.选修 4-4:坐标系与参数方程 解: (Ⅰ) 由 ?n i s
2

?8 c o s ?

?

, 得 ? sin
2

2

2 即曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 8 x . ? ? 8? cos? ,

2 2 (Ⅱ)将直线 l 的方程代入 y ? 8 x ,并整理得 3t ? 16t ? 64 ? 0 , t1 ? t2 ?

16 , 3

t1t2 ? ?

64 . 3

所以 | AB |?| t1 ? t2 |?

(t1 ? t2 ) 2 ? 4t1t2 ?

32 . 3

C.选修 4-5:不等式选讲

() x???? x1 x 1 . 1时, f 解: (Ⅰ)当 a ?? ?? 1 x ? 1 ? 3 . 由 f (x ) ?3得 x
当 x ??1时,不等式可化为 1 ? x ? x ? 1 ? 3 即 ?2 x ? 3 ,其解集为 ( ?? , ? ].

3 2

1 ? x? 1 ??? x x13 ?,不可能成立,其解集为 ? ; 当? 时,不等式化为 1
? 1 ? x ? 1 ? 3 , 即 23 x ? 当 x ? 1 时,不等式化为 x ,其解集为 [ , ? ? ).
综上所述, f (x ) ?3的解集为 ( ? ?? , ]? [ ,? ? ) . (Ⅱ)

3 2

3 3 2 2 fx ( ) ? x ? 1 ? x ? aa ? ? 1 ,∴要 ? 成立, x ? R ,f () x ? 2

a ? ? 1 或 a ? 3 则 a ?1 ? 2,? ,
即 a 的取值范围是 ( 。 ? ? , ? 1 ] ? [ 3 , ? ? ) 66.A. 选修 4—1:几何证明选讲 解:如图,延长 DC,AB 交于点 E,

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?BAD ? 60 ,??ECB ? 60 , ?ABC ? 90 , BC ? 3, CD ? 5, ??ECB ? 90 ,??E ? 30 , ? EC ? 2 BC ? 2 ? 3 ? 6, ? EB ? 3BC ? 3 3, ? ED ? DC ? EC ? 5 ? 6 ? 11
则 6 ?11 ? 3 3 ? (3 3 ? AB) ,解得 AB ?

13 3 3

13 3 14 3 ? AC ? 32 ? ( )? 3 3 ?EDB ? ?EAC , ?E ? ?E , ? EDB EAC ,? BD BE ? AC CE

E

AC BE ? BD ? ? CE

14 3 ?3 3 3 ?7 6

B.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:(I) 由 ? ?

4 cos ? 2 2 2 得 ? sin ? ? 4? cos? 即 y ? 4 x ; 2 sin ?

? x?? ? ? 由? ?y ? 1? ? ?

2 t 2 ( t 为参数) ,消去参数 t ,得 x ? y ? 1 ? 0 ; 2 t 2

2 曲线 C 的直角坐标方程为 y ? 4 x ;直线 l 的普通方程 x ? y ? 1 ? 0 ;

(II) 设直线 l 交曲线 C 于 A( x1 , y1 ), B( x2 , y 2 ) ,则

? x ? y ?1 ? 0 2 ,消去 y 得, x ? 6 x ? 1 ? 0 ,? x1 ? x2 ? 6 , x1 x2 ? 1 ; ? 2 ? y ? 4x
| AB |? 1 ? k 2 ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? 2 ? 36 ? 4 ? 8
所以,直线 l 被曲线 C 截得的线段 AB 的长为 8 . C.选修 4—5:不等式选讲 解: (1)

a, b ? R? , a ? b ? 1, x1, x2 ? R? ,

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?

x1 x 2 2 ? ? ?3 a b x1 x2

3

x1 x 2 2 ?3 a b x1 x2

3

2 ? 33 8 ? 6 a?b 2 ( ) 2

当且仅当

x1 x2 2 时有最小值 ? ? a b x1 x2

(2)证明:证法一:因为 a, b ? R? , x1 , x2 ? R? , 由柯西不等式可得:

(ax1 ? bx2 )(ax2 ? bx1 ) ? (( ax1 )2 ? ( bx2 ) 2 )(( ax2 ) 2 ? ( bx1 ) 2 ) ? ( ax1 g ax2 ? bx2 g bx1 )2 ? (a x1 x2 ? b x1 x2 )2 ? x1 x2
当且仅当

ax1 ax2

?

bx2 bx1

,即 x 1 ? x2 时取得等号。

证法二:因为 a,b∈R+,a+b=1, x1 , x 2 ∈R+ 所以

(ax1 ? bx2 )(ax2 ? bx1 ) ? a 2 x1 x2 ? abx2 2 ? abx12 ? b 2 x1 x2 ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ) ? ab( x2 2 ? x12 ) ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ) ? ab(2 x1 x2 ) ? x1 x2 (a 2 ? b 2 ? 2ab) ? x1 x2 (a ? b) 2 ? x1 x2
当且仅当 x 1 ? x2 时,取得等号。


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