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常州市2013届高三期末调研测试数学试卷与评分标准(word版)2013.1.25


常州市 2013 届高三期末调研测试数学试卷及评分标准 数学Ⅰ试题 注 意 事 项
2 0 1 3 . 1 . 2 5 参考公式: 样本数据 x1 , x 2 ,… , x n 的方差 s 2 ?
1 n 1 n ? ( xi ? x)2 ,其中 x = n ? xi . n i ?1 i ?1

考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题

要求 1. 本试卷共 4 页,包含填空题(第 1 题—第 14 题) 、解答题(第 15 题—第 20 题) .本 卷满分 160 分,考试时间 120 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 3. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 4. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 5. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔.

一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共计 70 分.请把答案填写在答题卡相应位置上. ........ 1. 设集合 A ? 1, a , B ? ?a? ,若 B ? A ,则实数 a 的值为
z?z 2. 已知复数 z ? ?1 ? i ( i 为虚数单位) ,计算: ? z?z

?

?

▲ .


S ←0 n←0 While S ≤ 1023 S ← S ? 2n n ← n ?1 End While Pr int n
(第4题)



3. 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线经过点 (1, 2) ,则该双曲线 a 2 b2
▲ . ▲ .

的离心率的值为

4. 根据右图所示的算法,可知输出的结果为

5. 已知某拍卖行组织拍卖的 10 幅名画中,有 2 幅是膺品.某人在这次拍卖中 随机买入了一幅画,则此人买入的这幅画是膺品的事件的概率为 6. 函数 f ( x) ? cos ▲ .

px p ( x ? 1) 的最小正周期为 cos 2 2
▲ .





7. 函数 f ( x) ? log2 (4 ? x2 ) 的值域为

8. 已知点 A(1,1) 和点 B(?1, ?3) 在曲线 C:y ? ax3 ? bx2 ? d (a, b, d 为常数 ) 上, 若曲线在点 A 和点 B 处 的切线互相平行,则 a3 ? b2 ? d ? ▲ .

9. 已知向量 a , 满足 a ? 2b ? ? 2, ?4 ? , a ? b ? ? ?8,16 ? , 则向量 a , 的夹角的大小为 b b 3 10.给出下列命题: (1)若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; (2)若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; (3)若两条平行直线中的一条垂直于直线 m,那么另一条直线也与直线 m 垂直;

? ?

?

?

? ?

? ?





(4)若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,所有真命题的序号为 ▲ .

?2 x ≥ 2, ? , 11.已知函数 f(x)= ? x , 若关于 x 的方程 f(x)=kx 有两个不同的实根, 则实数 k 的取 3 ?( x ? 1) , 0 ? x ? 2 ?
值范围是 ▲ .
n 4 1 12 , 2 ? an ?1 ? ? n ? N * ? ,则 ? a = 3 an ? 6 i ?1 i

12.已知数列 ?an ? 满足 a1 ?





13.在平面直角坐标系 xOy 中,圆 C : x2 ? y 2 ? 4 分别交 x 轴正半轴及 y 轴负半轴于 M , N 两点,点 ???? ???? ? P 为圆 C 上任意一点,则 PM ? PN 的最大值为 ▲ . 14.已知实数 x, y 同时满足 4? x ? 27? y ? ▲ .

5 1 , log 27 y ? log 4 x ≥ , 27 y ? 4 x ≤1 ,则 x ? y 的取值范围是 6 6

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明、 ....... 证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 14 分) 已知 ? , ? 均为锐角,且 sin ? ? (1)求 sin(? ? ? ) 的值;

3 1 , tan(? ? ? ) ? ? . 5 3
(2)求 cos ? 的值.

16. (本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P-ABCD 中,PD⊥ 底面 ABCD,AD⊥ AB,CD∥ AB, AB ? 2 AD ? 2 ,CD ? 3 , 直线 PA 与底面 ABCD 所成角为 60° ,点 M、N 分别是 PA,PB 的中点. (1)求证:MN∥ 平面 PCD; (2)求证:四边形 MNCD 是直角梯形; (3)求证: DN ? 平面 PCB .

17. (本小题满分 14 分) 第八届中国花博会将于 2013 年 9 月在常州举办, 展览园指挥中心所用地块的形状是大小一定的 矩形 ABCD, BC ? a , CD ? b .a,b 为常数且满足 b ? a .组委会决定从该矩形地块中划出一个 直角三角形地块 AEF 建游客休息区(点 E,F 分别在线段 AB,AD 上) ,且该直角三角形 AEF 的 周长为 l ( l ? 2b ) ,如图.设 AE ? x ,△ AEF 的面积为 S . (1)求 S 关于 x 的函数关系式; (2)试确定点 E 的位置,使得直角三角形地 块 AEF 的面积 S 最大,并求出 S 的最大值. E b A F D

B

a

C

18. (本小题满分 16 分) 如图,在平面直角坐标系 xoy 中,已知 F1 , F2 分别是椭圆 E: 点,A,B 分别是椭圆 E 的左、右顶点,且 AF2 ? 5BF2 ? 0 . (1)求椭圆 E 的离心率; (2)已知点 D ?1,0? 为线段 OF2 的中点,M 为椭圆 E 上的动点(异于点 A 、 B ) ,连接 MF1 并延长 交椭圆 E 于点 N ,连接 MD 、 ND 并分别延长交椭圆 E 于点 P 、 Q ,连接 PQ ,设直线 MN 、 PQ 的斜率存在且分别为 k1 、k2 , 试问是否存在常数 ? , 使得 k1 ? ? k2 ? 0 恒成立?若存在, 求出 ? 的值; 若不存在,说明理由.

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦 a 2 b2

???? ?

???? ?

?

19. (本小题满分 16 分) 已知数列 {an } 是等差数列, a1 ? a2 ? a3 ? 15 ,数列 {bn } 是等比数列, b1b2b3 ? 27 . (1)若 a1 ? b2 , a4 ? b3 .求数列 {an } 和 {bn } 的通项公式; (2)若 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 是正整数且成等比数列,求 a3 的最大值.

20. (本小题满分 16 分) 已知函数 f ( x) ? x x ? a ? ln x . (1)若 a=1,求函数 f ( x ) 在区间 [1, e] 的最大值; (2)求函数 f ( x ) 的单调区间; (3)若 f ( x) ? 0 恒成立,求 a 的取值范围.

2013 届高三教学期末调研测试 数学Ⅱ(附加题) 注 意 事 项
1. 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求 本试卷只有解答题,供理工方向考生使用.本试卷第 21 题有 A、B、C、D 4 个小 题供选做,每位考生在 4 个选做题中选答 2 题.若考生选做了 3 题或 4 题,则按选 做题中的前 2 题计分.第 22、23 题为必答题.每小题 10 分,共 40 分.考试时间 30 分钟.考试结束后,请将答题卡交回. 答题前,请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在试 卷及答题卡的规定位置. 请在答题卡上按照顺序在对应的答题区域内作答,在其他位置作答一律无效.作答 必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔.请注意字体工整,笔迹清楚. 如需作图,须用 2B 铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗. 请保持答题卡卡面清洁,不要折叠、破损.一律不准使用胶带纸、修正液、可擦洗 的圆珠笔. 2013.1

2. 3. 4. 5.

21. 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定 ...... ..... 区域内作答,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. .. A.选修 4—1:几何证明选讲 如图, AB 是⊙ O 的直径, C , F 是⊙ O 上的两点, OC ⊥ AB , 过点 F 作⊙ O 的切线 FD 交 AB C 的延长线于点 D .连结 CF 交 AB 于点 E . 求证: DE 2 ? DB ? DA . A E O B D

F

B.选修 4—2:矩阵与变换 已知矩阵 A ? ?

?3 3 ? ?1? ? ,若矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ?1? ,属于特征值 1 的一 ?c d ? ?? ?3? ? .求矩阵 A 的逆矩阵. ? ? 2?

个特征向量为 ? 2 ? ?

C.选修 4—4:坐标系与参数方程 已 知 曲 线 C1 的 极 坐 标 方 程 为

?? ? ? cos ? ? ? ? ? ?1 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 3
? ?

?? ? ? ? 2 2 cos ? ? ? ? ,判断两曲线的位置关系. 4
? ?

D.选修 4—5:不等式选讲 设 f ( x) ? x2 ? x ? 14, 且 | x ? a |? 1 ,求证: | f ( x) ? f (a) |? 2(| a | ?1) .

【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分.请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出 ....... 文字说明、证明过程或演算步骤. 22. (本小题满分 10 分) 袋中装有大小相同的黑球和白球共 9 个,从中任取 2 个都是白球的概率为

5 .现甲、乙两人从 12

袋中轮流摸球,甲先取,乙后取,然后甲再取…,每次摸取 1 个球,取出的球不放回,直到其 中有一人取到白球时终止.用 X 表示取球终止时取球的总次数. (1)求袋中原有白球的个数; (2)求随机变量 X 的概率分布及数学期望 E ( X ) .

23.(本小题满分 10 分) 空间内有 n 个平面,设这 n 个平面最多将空间分成 an 个部分. (1)求 a1 , a2 , a3 , a4 ; (2)写出 an 关于 n 的表达式并用数学归纳法证明.

2013 届高三教学期末调研测试 数学Ⅰ试题参考答案
一、填空题:本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分. 1.0 7. (??, 2]
? 1? 11. ? 0, ? ? 2?

2. ?i 8. 7 12.

3.

5

4. 11

5.

8 15

6.2

9. p

10. ?1? 、 ? 3? 、 ? 4 ? 13.
4? 4 2
?5? 14. ? ? ?6?

2 ? 3n ? n ? 2 4

二、解答题:本大题共 6 小题,共计 90 分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

π π π 15.解: (1)∵ ? , ? ? (0, ) ,从而 ? ? ? ? ? ? . 2 2 2 1 π 又∵ tan(? ? ? ) ? ? ? 0 ,∴ ? ? ? ? ? ? 0 . 3 2
∴ sin(? ? ? ) ? ?
10 . 10 3 10 . 10

…………………………4 分 ………………………………6 分

(2)由(1)可得, cos(? ? ? ) ? ∵ ? 为锐角, sin ? ?

3 4 ,∴ cos ? ? . 5 5

……………………………………10 分 …………12 分

∴ cos ? ? cos[? ? (? ? ? )] ? cos ? cos(? ? ? ) ? sin ? sin(? ? ? )
4 3 10 3 10 9 10 ? ? (? )? ? ? . 5 10 5 10 50 16.证明:

…………………………14 分

(1)因为点 M,N 分别是 PA,PB 的中点,所以 MN∥ AB.…………………2 分 因为 CD∥ AB,所以 MN∥ CD. 又 CD ? 平面 PCD, MN ? 平面 PCD,所以 MN∥ 平面 PCD. ……4 分 (2)因为 AD⊥ AB,CD∥ AB,所以 CD⊥AD, 又因为 PD⊥ 底面 ABCD, CD ? 平面 ABCD, 所以 CD⊥PD,又 AD ? PD ? D ,所以 CD⊥平面 PAD.……………6 分 因为 MD ? 平面 PAD,所以 CD⊥MD, 所以四边形 MNCD 是直角梯形.……………………………………8 分 (3)因为 PD⊥ 底面 ABCD,所以∠PAD 就是直线 PA 与底面 ABCD 所成的角,从而∠PAD=

60? .

…………………………9 分

在 Rt △ PDA 中, AD ? 2 , PD ? 6 , PA ? 2 2 , MD ? 2 .
MN ? 1 , CN CD ? 3 , ? ND ? 3 , 在直角梯形 MNCD 中,

MD 2 ? (CD ? MN ) 2 ? 6 ,

从而 DN ? CN ? CD ,所以 DN⊥CN.
2 2 2

…………………………11 分

在 Rt △ PDB 中,PD= DB= 6 , N 是 PB 的中点,则 DN⊥PB.……13 分 又因为 PB ? CN ? N ,所以 DN ? 平面 PCB . …………………14 分

17.解: (1)设 AF ? y ,则 x ? y ?
S?

x 2 ? y 2 ? l ,整理,得 y ?

l 2 ? 2lx .………3 分 2(l ? x )

1 x(l 2 ? 2lx) xy ? , x ? (0, b? . 2 4(l ? x)

…………………………………4 分

? l 2 x2 ? 4lx ? l 2 2l 2? 2 ? ? 2? 2 ? (2) S ' ? ? ? 2 2 ? ? x ? 2 l ? ? ? x ? 2 l ? , x ? (0, b? ? ? ? 4 4? x ? l ? ? ?x ? l? ? ? ?

?当 b ?

bl ? 2b ? l ? 2? 2 l 时, S ' ? 0 , S 在 (0,b? 递增,故当 x ? b 时, Smax ? ; 2 4 ?b ? l ?

当b ?

? 2? 2 ? ?2? 2 ? 2? 2 l 时,在 x ? ? 0, S' ? 0 , l ? 上, S ' ? 0 , S 递增,在 x ? ? ? ? ? 2 l , b ? 上, ? 2 2 ? ? ? ?

2? 2 3?2 2 2 l 时, S max ? l . 2 4 ???? ???? ? ? ? ???? ? ???? ? 18.解: (1)? AF2 ? 5BF2 ? 0 ,? AF2 ? 5F2 B .? a ? c ? 5 ? a ? c ? ,化简得 2 a ? 3c ,
S 递减,故当 x ?

故椭圆 E 的离心率为

2 . 3

4 (2)存在满足条件的常数 ? , l ? ? .点 D ?1,0? 为线段 OF2 的中点,? c ? 2 ,从而 a ? 3 , 7

x2 y 2 Q ? ? 1 .设 M ? x1 , y1 ? ,N ? x2 , y2 ? ,P ? x3 , y3 ? , ? x4 , y4 ? , 9 5 x ?1 x2 y 2 y ?1 , 代 入 椭 圆 方 程 则 直 线 MD 的 方 程 为 x ? 1 ? ?1 , 整 理 得 , y1 9 5
b? 5, 左焦点 F1 ? ?2,0 ? , 椭圆 E 的方程为
y ? x ? 1? ? 5x ? 9 4 y1 ? 5 ? x1 2 x1 ? 1 4 y1 5x ? 9 y ? y ? 4 ? 0 .? y1 ? y3 ? 1 1 ? , y3 ? .从而 x3 ? 1 , 故点 P ? 1 , ?. 2 y1 y1 x1 ? 5 x1 ? 5 x1 ? 5 ? x1 ? 5 x1 ? 5 ?

? 5 x ? 9 4 y2 ? y1 y2 ? 同理,点 Q ? 2 ,从而 x1 y2 ? x2 y1 ? 2 ? y1 ? y2 ? . , ? .? 三点 M 、 F1 、 N 共线,? x1 ? 2 x2 ? 2 ? x2 ? 5 x2 ? 5 ?

4 y1 4 y2 ? x y ? x2 y1 ? 5 ? y1 ? y2 ? 7 ? y1 ? y2 ? 7k1 y ? y4 x ? 5 x2 ? 5 4k 从而 k2 ? 3 .故 k1 ? 2 ? 0 ,从而存 ? 1 ? 1 2 ? ? 5 x1 ? 9 5 x2 ? 9 x3 ? x4 4 ? x1 ? x2 ? 4 ? x1 ? x2 ? 4 7 ? x1 ? 5 x2 ? 5

4 在满足条件的常数 ? , l ? ? . 7
19.解: (1)由题得 a2 ? 5, b2 ? 3 ,所以 a1 ? b2 ? 3 ,从而等差数列 {an } 的公差 d ? 2 ,所以

an ? 2n ? 1,从而 b3 ? a4 ? 9 ,所以 bn ? 3n?1 . ……………………3 分
(2) 设等差数列 {an } 的公差为 d , 等比数列 ?bn ? 的公比为 q , a1 ? 5 ? d ,b1 ? 则
b3 ? 3q .
3 ,a3 ? 5 ? d , q

因为 a1 ? b1 , a2 ? b2 , a3 ? b3 成等比数列,所以 (a1 ? b1 ) ? (a3 ? b3 ) ? (a2 ? b2 )2 ? 64 . 设?

? a1 ? b1 ? m , m, n ? N * , mn ? 64 , a3 ? b3 ? n ?

3 ? ?5 ? d ? ? m q 则? ,整理得, d 2 ? (m ? n)d ? 5(m ? n) ? 80 ? 0 . ?5 ? d ? 3q ? n ?

解得 d ?

n ? m ? (m ? n ? 10)2 ? 36 (舍去负根). 2

2 ? a3 ? 5 ? d , 要使得 a 3 最大, 即需要 d 最大, n ? m 及 (m ? n ? 10) 取最大值.? m, n ? N * , 即 ?

mn ? 64 ,
2 ? 当且仅当 n ? 64 且 m ? 1 时, n ? m 及 (m ? n ? 10) 取最大值.

从而最大的 d ?

63 ? 7 61 , 2

所以,最大的 a3 ?

73 ? 7 61 2

………16 分

20.解: (1)若 a=1, 则 f ( x) ? x x ?1 ? ln x .
2 当 x ? [1, e] 时, f ( x) ? x ? x ? ln x , f ( x) ? 2 x ? 1 ?
'

1 2 x2 ? x ?1 ? ?0, x x

所以 f ( x ) 在 [1, e] 上单调增, ? f ( x)max ? f (e) ? e2 ? e ?1 . (2)由于 f ( x) ? x x ? a ? ln x , x ? (0, ??) . (ⅰ)当 a ? 0 时,则 f ( x) ? x2 ? ax ? ln x , f ( x) ? 2 x ? a ?
'

……………2 分

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? , x x

令 f ' ( x) ? 0 ,得 x0 ?

a ? a2 ? 8 , ? 0 (负根舍去) 4

且当 x ? (0, x0 ) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( x0 , ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,

所以 f ( x ) 在 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上单调减,在 ( , ??) 上单调增.……4 分 4 4

(ⅱ)当 a ? 0 时,
' ①当 x ? a 时, f ( x) ? 2 x ? a ?

1 2 x 2 ? ax ? 1 ? , x x

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 令 f ( x) ? 0 ,得 x1 ? (x? , ? a 舍) 4 4
'



a ? a2 ? 8 ? a ,即 a ? 1 , 则 f ' ( x) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (a, ??) 上单调增; 4



a ? a2 ? 8 ? a ,即 0 ? a ? 1 , 则当 x ? (0, x1) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( x1 , ??) 时, f ' ( x) ? 0 , 4
………6 分

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 所以 f ( x ) 在区间 (0, ) 上是单调减,在 ( , ??) 上单调增. 4 4
' ②当 0 ? x ? a 时, f ( x) ? ?2 x ? a ?

1 ?2 x 2 ? ax ? 1 ? , x x
2

' 令 f ( x) ? 0 ,得 ?2 x ? ax ? 1 ? 0 ,记 ? ? a ? 8 ,
2

' 若 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 0 ? a ? 2 2 , 则 f ( x) ? 0 ,故 f ( x ) 在 (0, a ) 上单调减;
2

若 ? ? a ? 8 ? 0 ,即 a ? 2 2 ,
2

则由 f ' ( x) ? 0 得 x3 ?

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , x4 ? 且 0 ? x3 ? x4 ? a , 4 4

当 x ? (0, x3 ) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( x3 , x4 ) 时, f ' ( x) ? 0 ;当 x ? ( x4, ??) 时, f ' ( x) ? 0 ,

所以 f ( x ) 在区间 (0,

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 ) 上是单调减,在 ( , ) 上单调增; 4 4 4
…………………………………………8 分

a ? a2 ? 8 在( , ??) 上单调减. 4

综上所述,当 a ? 1 时, f ( x ) 单调递减区间是 (0,

a ? a2 ? 8 ) , f ( x) 单调递增区间 4

是(

a ? a2 ? 8 , ??) ; 4
当 1 ? a ? 2 2 时, f ( x ) 单调递减区间是 (0, a ) , f ( x ) 单调的递增区间是 (a, ??) ;

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 当 a ? 2 2 时, f ( x ) 单调递减区间是(0, )和 ( , a) , 4 4
f ( x) 单调的递增区间是 (

a ? a2 ? 8 a ? a2 ? 8 , ) 和 (a, ??) . ………………10 分 4 4
ln x . x
*

(3)函数 f ( x ) 的定义域为 x ? (0, ??) . 由 f ( x) ? 0 ,得 x ? a ? (ⅰ)当 x ? (0,1) 时, x ? a ≥ 0 , (ⅱ)当 x ? 1 时, 1 ? a ≥ 0 ,

ln x ? 0 ,不等式*恒成立,所以 a ? R ; x
………………12 分

ln x ? 0 ,所以 a ? 1 ; x

(ⅲ)当 x ? 1 时,不等式*恒成立等价于 a ? x ? 令 h( x) ? x ?

ln x ln x 恒成立或 a ? x ? 恒成立. x x

ln x x2 ? 1 ? ln x ,则 h?( x) ? .因为 x ? 1 ,所以 h?( x) ? 0 ,从而 h( x) ? 1 . x x2 ln x 因为 a ? x ? 恒成立等价于 a ? (h( x))min ,所以 a ≤ 1 . x ln x x2 ? 1 ? ln x ,则 g ?( x) ? . x x2 1 再令 e( x) ? x2 ? 1 ? ln x , e?( ) ? x ? ?0 在 x ? (1, ??) 上恒成立,e( x) 在 x ? (1, ??) 上无最大值. 则 x 2 x
令 g ( x) ? x ? 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是 (??,1) . …………………………16 分

2013 届高三教学调研测试(二) 数学Ⅱ(附加题) 参考答案
21、 【选做题】在 A、B、C、D 四小题中只能选做两题,每小题 10 分,共计 20 分. ...... A.选修 4—1:几何证明选讲 证明:连结 OF. 因为 DF 切⊙O 于 F,所以∠OFD=90° . 所以∠OFC+∠CFD=90° . 因为 OC=OF,所以∠OCF=∠OFC. 因为 CO⊥AB 于 O,所以∠OCF+∠CEO=90° . 所以∠CFD=∠CEO=∠DEF,所以 DF=DE. 因为DF是⊙O的切线,所以DF2=DB· DA. 所以 DE2=DB· DA. B.选修 4—2:矩阵与变换 解:由矩阵 A 属于特征值 6 的一个特征向量为 ? 1 ? ? ? ,可得 ? 即 c ? d ? 6; 由矩阵 A 属于特征值 1 的一个特征向量为 ? 2 ? ? F A E O B D C

?1? ?1?

?3 3 ? ?1? ?1? ? ?1? =6 ?1? , ?c d ? ? ? ??

?3? ?3 3 ? ? 3 ? ? 3 ? ? 可得, ?c d ? ? ? 2? = ? ? 2? , ? ? 2? ? ?? ? ? ?

1? ?2 ? 3 - 2? ?3 3? ?c ? 2, 即 3c ? 2d ? ?2 , 解得 ? 即 A=? ? , A 逆矩阵是 ? 1 1 ? . ?2 4? ?d ? 4, ?? ? 3 2?
C.选修 4—4:坐标系与参数方程 解:将曲线 C1 ,???C2 化为直角坐标方程得:

C1 :??x ? 3 y ? 2 ? 0 ,
C2 :?x2 ? y 2 ? 2x ? 2 y ? 0 即 C2 :?? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 ,
2 2

圆心到直线的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 ? 2 ,∴曲线 C1与C2 相离. 2

D.选修 4—5:不等式选讲 证明:由 | f ( x) ? f (a) |?| x2 ? a2 ? a ? x |?| ( x ? a)( x ? a ?1) | = | x ? a || x ? a ? 1|?| x ? a ? 1|?| ( x ? a) ? 2a ? 1| ?| x ? a | ? | 2a | ?1 ?| 2a | ?2 = 2(| a | ?1) . 【必做题】第 22 题、第 23 题,每题 10 分,共计 20 分. 22.解: (1)设袋中原有 n 个白球,则从 9 个球中任取 2 个球都是白球的概率为 C n ,
C92
2

2 由题意知 C n = 5 ,即

C92

12

n(n ? 1) 5 ,化简得 n2 ? n ? 30 ? 0 . 2 ? 9?8 12 2

解得 n ? 6 或 n ? ?5 (舍去) 故袋中原有白球的个数为 6. (2)由题意,X 的可能取值为 1,2,3,4.
P ( X ? 1) ? P( X ? 3) ? 6 2; 3? 6 1 ; ? P( X ? 2) ? ? 9 3 9?8 4 3? 2 ? 6 1 ; 3 ? 2 ?1? 6 1 . ? P( X ? 4) ? ? 9 ? 8 ? 7 14 9 ? 8 ? 7 ? 6 84

所以取球次数 X 的概率分布列为: X
P

1
2 3
3 4 14

2
1 4
84 7

3
1 14

4
1 84

所求数学期望为 E(X)=1 ? 2 +2 ? 1 +3 ? 1 +4 ? 1 = 10 . 23.解: (1) a1 ? 2, a2 ? 4, a3 ? 8, a4 ? 15 ; (2) an ?

1 3 (n ? 5n ? 6) .证明如下: 6 1 3 (k ? 5k ? 6) , 6

当 n ? 1 时显然成立,
? 设 n ? k (k ? 1, k ? N ) 时结论成立,即 ak ?

则当 n ? k ? 1 时,再添上第 k ? 1 个平面,因为它和前 k 个平面都相交,所以可得 k 条互不 平行且不共点的交线,且其中任 3 条直线不共点,这 k 条交线可以把第 k ? 1 个平面划最多 分成 [(k ? 1) ? (k ? 1) ? 2)]个部分,每个部分把它所在的原有空间区域划分成两个区域.
2

1 2

因 此 , 空 间 区 域 的 总 数 增 加 了

1 ? ak ?1 ? ak ? [ k(? 2 ? k)? ? ( 1 2 1 ? [ (k ? 13)? k ? ?1 ) , ) ] 5( 6 6
即当 n ? k ? 1 时,结论也成立.
? 综上,对 ?n ? N , an ?

1 [(k ? 1)2 ? (k ? 1) ? 2)] 个 , 2 1 3 1 2 ? 1 k) ? k ? ) ? 2 ] k ? ? k ? ?6 ) ( 5 [ ( 6 2

1 )

1 3 (n ? 5n ? 6) . 6


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