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2011届高考数学一轮复习精品题集之数列

时间:2010-06-27


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数列 必修 5 第 2 章 数列 §2.1 数列的概念与简单表示 重难点:理解数列的概念,认识数列是反映自然规律的基本数学模型,探索并掌握数列的几种间单的表示 法(列表,图象,通项公式) ;了解数列是一种特殊的函数;发现数列规律找出可能的通项公式. 考纲要求:①了解数列的概念和几种简

单的表示方法(列表,图像,通项公式). ②了解数列是自变量巍峨正整数的一类函数. 经典例题:假设你正在某公司打工,根据表现,老板给你两个加薪的方案: (Ⅰ)每年年末加 1000 元; (Ⅱ) 每半年结束时加 300 元.请你选择:(1)如果在该公司干 10 年,问两种方案各加薪多少元? (2)对于 你而言,你会选择其中的哪一种? 当堂练习: 1. 下列说法中,正确的是 ( ) A.数列 1,2,3 与数列 3,2,1 是同一个数列. B.数列 l, 2,3 与数列 1,2,3,4 是同一个数列. C.数列 1,2,3,4,…的一个通项公式是 an=n. D.以上说法均不正确. 2 巳知数列{ an}的首项 a1=1,且 an+1=2 an+1,(n≥2),则 a5 为 ( ) A.7. B.15 C.30 D.31. 3.数列{ an}的前 n 项和为 Sn=2n2+1,则 a1,a5 的值依次为 ( ) A.2,14 B.2,18 C.3,4. D.3,18. 4.已知数列{ an}的前 n 项和为 Sn=4n2 -n+2,则该数列的通项公式为 ( ) A. an=8n+5(n∈N*) B. an=8n-5(n∈N*)
(n = 1) 5 an = 8n 5(n ≥ 2, n ∈ N + ) D.

C. an=8n+5(n≥2) 5.已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n2+2n+5,则 a6+a7+a8= ( A.40. B.45 C.50 D.55.

)

6.若数列 {an } 前 8 项的值各异,且 数列为 A. {a2 k +1} B. {a3k +1}

a n +8 = a n 对任意的 n ∈ N * 都成立,则下列数列中可取遍 {an } 前 8 项值的
( C. {a4 k +1} )

D. {a6 k +1}

7.在数列{ an}中,已知 an=2,an= an+2n,则 a4 +a6 +a8 的值为 . 8.已知数列{ an}满足 a1=1 , an+1=c an+b, 且 a2 =3,a4=15,则常数 c,b 的值为 9.已知数列{ an}的前 n 项和公式 Sn=n2+2n+5,则 a6+a7+a8= .

.

2 2 10.设 {a n } 是首项为 1 的正项数列,且 (n + 1)an+1 nan + an+1an = 0 ( n =1,2,3,…) ,则它的通项公式是

a n =________.
11. 下面分别是数列{ an}的前 n 项和 an 的公式,求数列{ an}的通项公式: (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=3n-2

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12. 已知数列{ an}中 a1=1,

a n +1 =

n an n +1 (1)写出数列的前 5 项;(2)猜想数列的通项公式.

13. 已知数列{ an}满足 a1=0,an+1+Sn=n2+2n(n∈N*),其中 Sn 为{ an}的前 n 项和,求此数列的通项公 式.

14. 已知数列{ an}的通项公式 an 与前 n 项和公式 Sn 之间满足关系 Sn=2-3an (1)求 a1; (2)求 an 与 an (n≥2,n∈N*)的递推关系; (3)求 Sn 与 Sn (n≥2,n∈N*)的递推关系,

必修 5 第 2 章 数列 §2.2 等差数列,等比数列 重难点:理解等差数列,等比数列的概念,掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公式,能在具 体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. 考纲要求:①理解等差数列,等比数列的概念. ②掌握等差数列,等比数列的通项公式与前 n 项和公式. ③能在具体的问题情境中,识别数列的等差关系或等比关系,并能用有关知识解决相应的问题. ④了解等差数列与一次函数,等比数列与指数函数的关系.

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经典例题:已知一个数列{an}的各项是 1 或 3.首项为 1,且在第 k 个 1 和第 k+1 个 1 之间有 2k-1 个 3,即 1,3,1,3,3,3,1,3,3,3,3,3,1,…,记该数列的前 n 项的和为 Sn. (1)试问第 2006 个 1 为该数列的第几项? (2)求 a2006; (3)求该数列的前 2006 项的和 S2006;

当堂练习: 1.数列 2, 5, 2 2, 11,…, 则 2 5 是该数列的( A.第 6 项 B.第 7 项 C.第 10 项
)

D.第 11 项

2 2.方程 x 6 x + 4 = 0 的两根的等比中项是( )

A. 3

B. ±2

C. ± 6

D. 2

3. 已知 a1 , a2 ,… , an 为各项都大于零的等比数列,公比 q ≠ 1 ,则( ) A. a1 + a8 > a4 + a5 C. a1 + a8 = a4 + a5 B. a1 + a8 < a4 + a5 D. a1 + a8 和 a4 + a5 的大小关系不能由已知条件确定

4.一个有限项的等差数列,前 4 项之和为 40,最后 4 项之和是 80,所有项之和是 210,则此数列的项数 ) 为( A.12 B. 14 C.16 D.18
1 1 1 , , 5.若 a,b,c 成等差数列,b,c,d 成等比数列, c d e 成等差数列,则 a,c,e 成( A.等差数列 B.等比数列 C.既成等差数列又成等比数列 D.以上答案都不是
)

6.在等差数列{an}中, a1 a4 a8 a12 + a15 = 2 ,则 a3 + a13 = ( A.4 B. 4 C.8

)

D. 8

S n 5n + 3 a5 = ' 7.两等差数列{an},{bn}的前 n 项和的比 S n 2n + 7 ,则 b5 的值是( 28 A. 17 48 B. 25 53 C. 27 23 D. 15

)

8.{an}是等差数列, S10 > 0, S11 < 0 ,则使 an < 0 的最小的 n 值是( ) A.5 B. 6 C.7 D.8

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9.{an}是实数构成的等比数列, Sn 是其前 n 项和,则数列{ Sn } 中( ) A.任一项均不为 0 B.必有一项为 0 C.至多有一项为 0 D.或无一项为 0,或无穷多项为 0 10.某数列既成等差数列也成等比数列,那么该数列一定是( ) A.公差为 0 的等差数列 B.公比为 1 的等比数列 C.常数数列 1 , 1 , 1 ,… D.以上都不对

a1 + a3 + a9 11.已知等差数列{an}的公差 d≠0,且 a1,a3,a9 成等比数列,则 a2 + a4 + a10 的值是

.

12.由正数构成的等比数列{an},若 a1 a3 + a2 a4 + 2a2 a3 = 49 ,则 a2 + a3 =
an+1 =
2 an 1 a7 = an + 2 对任意正整数 n 都成立,且 2 ,则 a5 =

.

13.已知数列{an}中,

.

a + a2 + … + an = a1 + a2 + … + a19n ( n < 19, n ∈ N* ) 14.在等差数列{an}中,若 a10 = 0 ,则有等式 1 成立,类比 上述性质,相应地:在等比数列{bn}中,若 b9 = 1 ,则有等式

15. 已知数列{2n-1an }的前 n 项和 Sn = 9 6n .
|a bn = n 3 log 2 n 3 ⑴求数列{an}的通项公式;⑵设

1 | ,求数列 bn 的前 n 项和.

16.已知数列{an}是等差数列,且 a1 = 2, a1 + a2 + a3 = 12 . ⑴求数列{an}的通项公式;⑵令
bn = an x n ( x ∈ R )

,求数列{bn}前 n 项和的公式.

17. 甲,乙两人连续 6 年对某县农村养鸡业规模进行调查,提供两个不同的信息图如图所示.甲调查表 明:从第 1 年每个养鸡场出产 1 万只鸡上升到第 6 年平均每个鸡场出产 2 万只鸡.乙调查表明:由第 1 年养 鸡场个数 30 个减少到第 6 年 10 个. 请您根据提供的信息说明: ⑴第 2 年养鸡场的个数及全县出产鸡的总只数;

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⑵到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年是扩大了还是 缩小了?请说明理由; ⑶哪一年的规模最大?请说明理由.

a , a , … , ak n 18.已知数列{an}为等差数列,公差 d ≠ 0 ,{an}的部分项组成的数列 k1 k2 恰为等比数列,其中
k1 = 1 , k2 = 5 , k3 = 17 ,求 k1 + k2 + … + kn .

必修 5 §2.3 等差数列,等比数列综合运用

第 2 章 数列

1,设

2 {an } 是等比数列,有下列四个命题:① {an } 是等比数列;② { a n a n + 1 } 是等比数列;

1 } {lg | an |} a ③ n 是等比数列;④ 是等比数列.其中正确命题的个数是 {
A,1 2, B,2
为等比数列,公比为 q ,则数列

(

)

C,3

D,4
是( )

{an }

a1 + a2 + a3 , a4 + a5 + a6 , a7 + a8 + a9 ,L
B,公比为 6q 的等比数列 D,公比为 q 的等比数列
6

A,公比为 3q 的等比数列 C,公比为 q 的等比数列 3,已知等差数列 A,
3

{an }

满足

a1 + a2 + a3 + L + a101 = 0 a1 + a101 < 0
C,

,则有

(

)

a1 + a101 > 0

B,

a1 + a101 = 0

D,

a51 = 51
)

4,若直角三角形的三边的长组成公差为 3 的等差数列,则三边的长分别为 ( A,5,8,11 B,9,12,15 C,10,13,16 D,15,18,21 5,数列 a, a, a,L , a,L ( a ∈ R ) 必为
(

)

A,等差非等比数列 B,等比非等差数列 C,既等差且等比数列 D,以上都不正确 6,若一个等差数列前 3 项的和为 34,最后 3 项的和为 146,且所有项的和为 390,则这个 数列共有 A,10 项 B,11 项 C,12 项 D,13 项 ( )

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7,在等差数列 A,

{an }

中, B,

a1 = 4

,且

a1 , a 5 , a1 3
C,

成等比数列,则 或

{an }
D,

的通项公式为

(

)

an = 3n + 1
2 3

an = n + 3
n 1

an = 3n + 1

an = 4

an = n + 3



an = 4
( )

8,数列 1, a , a , a , K , a

, K , 的前 n 项的和为 1 a n+ 2 C, 1 a
,则前 10 项的和

1 an A, 1 a
9,等差数列

1 a n +1 B, 1 a
中,

D,以上均不正确

{an }

a1 + a7 = 42, a10 a3 = 21

S10

等于

(

)

A,720 B,257 C,255 D,不确定 a 元,存的是一年定期储蓄;2001 年 7 月 1 日他将 10,某人于 2000 年 7 月 1 日去银行存款 到期存款的本息一起取出,再加 a 元后,还存一年的定期储蓄,此后每年 7 月 1 日他都 按照同样的方法,在银行存款和取款;设银行一年定期储蓄利率 r 不变,则到 2005 年 7 月 1 日,他将所有的存款和利息全部取出时,取出的钱数共有多少元? ( )
5 A, a (1 + r ) 5 B, a[(1 + r ) + (1 + r )]

a [(1 + r )6 (1 + r )] C, r

a [(1 + r )5 r ] D, r

11,在某报《自测健康状况》的报道中,自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表, 观察表中的数列的特点,用适当的数填入表中空格内: 30 35 40 45 50 55 60 65 年龄(岁) 115 120 125 130 135 145 收缩压(水银柱,毫米) 110 70 73 75 78 80 83 88 舒张压

a2 a1 x, a1 , a2 , a3 , y x, b1 , b2 , y b b1 = 12,两个数列 与 都成等差数列,且 x ≠ y ,则 2
13,公差不为 0 的等差数列的第 2,3,6 项依次构成一等比数列,该等比数列的公比 q = 14,等比数列 15,设

{an }

中,

a1 = 4, q = 5

,前 n 项和为

Sn

,满足

S n > 105 的最小自然数 n 为

{an }

S = 110 a ,a ,a 是一个公差为 d ( d ≠ 0) 的等差数列,它的前 10 项和 10 ,且 1 2 4 a1 = d
; (2)求公差 d 的值和数列

成等比数列. (1)证明

{an }

的通项公式.

16, (1)在等差数列 (2)在等比数列

{an }

中,

a1 + a6 = 12, a4 = 7

,求

an

及前 n 项和

Sn

;

{an }

中,

a1 + an = 66, a2 an 1 = 128, S n = 126

,求 n, q .

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17,设无穷等差数列

{an }

的前 n 项和为

Sn

.

(1)若首项

a1 =

3 2 2 ,公差 d = 1 ,求满足 S k 2 = ( S k ) 的正整数 k ; {an }
,使得对于一切正整数 k 都有

(2)求所有的无穷等差数列

Sk2 = (Sk )2

成立.

18.甲,乙两大型超市,2001 年的销售额均为 P(2001 年为第 1 年) ,根据市场分析和预测,甲超市前 n 年 P P (n 2 n + 2) 2 2 n 1 . 的总销售额为 ,乙超市第 n 年的销售额比前一年多 (I)求甲,乙两超市第 n 年的销售额的表达式; (II)根据甲,乙两超市所在地的市场规律,如果某超市的年销售额不足另一超市的年销售额的 20%,则 该超市将被另一超市收购,试判断哪一个超市将被收购,这个情况将在哪一年出现,试说明理由.

必修 5 数列单元检测 1. 已知等差数列 A.18 C.54 2. 已知 则 B.36

第 2 章 数列

{a n }

的前 n 项和为 Sn,若

a 4 = 18 a5 , 则S 8
D.72

等于

( D

)

{an }为等差数列,{bn }为等比数列, b 其公比 q ≠ 1 , i 且

> 0(i = 1,2,3, L , n ) , a1 = b1 ,a11 = b11 , 若
( B )

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A. C.

a 6 = b6 a 6 < b6

B. D.

a 6 > b6 a 6 > b6


a 6 < b6
D )

3. 在等差数列{a n }中,3(a 3 +a 5 )+2(a 7 +a 10 +a 13 )=24,则此数列的前 13 项之和为 ( A.156 B.13 C.12 D.26 4. 已知正项等比数列数列{an},bn=log a an, 则数列{bn}是 A,等比数列 B,等差数列 C,既是等差数列又是等比数列 D,以上都不对 5. 数列 于

( A )

{a n } 是公差不为零的等差数列,并且 a5 , a8 , a13 是等比数列 {bn } 的相邻三项,若 b2 = 5 ,则 bn 等
( B )

5 5 ( ) n 1 3 A. 3 3 ( ) n 1 5 C.

5 3 ( ) n 1 3 B. 3 5 ( ) n 1 5 D.

6. 数列 1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第 1000 项的值是 ( B ) A. 42 B.45 C. 48 D. 51 7. 一懂 n 层大楼,各层均可召集 n 个人开会,现每层指定一人到第 k 层开会,为使 n 位开会人员上下楼梯 所走路程总和最短,则 k 应取 ( D )

1 A. 2 n

1 B. 2 (n—1)

1 C. 2 (n+1)

1 1 1 D.n为奇数时,k= 2 (n—1)或k= 2 (n+1) ,n为偶数时k= 2 n
8. 设数列 A.S4<S5

{an } 是等差数列, a2 = 6,
B.S4=S5

a8 = 6 ,Sn 是数列 {an } 的前 n 项和,则( B
C.S6<S5 D.S6=S5

)

9. 等比数列

{an }

S10 31 = a = 1 ,前 n 项和为 S n , 若 S 5 32 ,则公比 q 等于 的首项 1

(

B )

A.

1 2

B.

1 2

C.2

D.-2

10. 已知 Sn 是等差数列{an}的前 n 项和,若 S6=36,Sn=324,Sn-6=144(n>6) ,则 n 等于 ( D ) A.15 B.16 C.17 D.18

an =
11. 已知

n 79 a n 80 , n ∈ N + ) ( ,则在数列{ n }的前 50 项中最小项和最大项分别是( C )

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A.

a1 , a 50

B.

a1 , a8

C.

a8 , a9 a1 a 2 a3 L a n

D.

a 9 , a 50

12. 已知:

a n = log ( n+1) (n + 2) (n ∈ Z * )

,若称使乘积

为整数的数 n 为劣数, ( A )

则在区间(1,2002)内所有的劣数的和为 A.2026 C.1024 13. 在等差数列 14. 在等差数列 k≤60)的值为

B.2046 D.1022 .

{an }
{a n }

中,已知 a1+a3+a5=18, an-4+an-2+an=108,Sn=420,则 n=
d= 1 2 ,且 a1 + a 4 + a 7 + L + a 58 = 60 ,则 a k + a 61 k (k∈N+,

中,公差

.

15. 已知 16. 已知

S n = 4 an

1 2
n2

( n ∈ N *)

则 通项公式 = ,则

an

= ;

.

a1 = 3且a n = S n 1 + 2 n

,则

an

Sn

=

.

17. 若数列

{a n } 前 n 项和可表示为 s n

= 2n + a

{a n } 是否可能成为等比数列?若可能,求出 a 值;若

不可能,说明理由.

18.设{an}为等差数列,{bn}为等比数列,a1=b1=1,a2+a4=b3,b2b4=a3,分别求出{an}及{bn}的前 n 项和 S10 及 T10.

19.已知数列{an}是公比为 q 的等比数列,Sn 是其前 n 项和,且 S3,S9,S6 成等差数列 (1)求证:a2 , a8, a5 也成等差数列 (2)判断以 a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项是否也是数列{an}中的一项,若是求出这一项,若不 是请说明理由.

公比为 q (q ≠ 1) , S n→ m 表示这个数列的第 n 项到第 m 项共 m n + 1 项 用 20.等比数列 {a n } 的首项为 a1 , 的和. (Ⅰ)计算 S 1→3 , S 4→6 , S 7→9 ,并证明它们仍成等比数列;

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(Ⅱ)受上面(Ⅰ)的启发,你能发现更一般的规律吗?写出你发现的一般规律,并证明.

21.某城市 2001 年末汽车保有量为 30 万辆,预计此后每年报废上一年末汽车保有量的 6%,并且每年新增 汽车数量相同.为保护城市环境,要求该城市汽车保有量不超过 60 万辆,那么每年新增汽车数量不应超过 多少辆?

参考答案 第 2 章 数列 §2.1 数列的概念与简单表示 经典例题:解: (Ⅰ)55000 元(Ⅱ)63000 元 (1) (2)当 n<2 时(Ⅰ)方案 当 n=2 时(Ⅰ) (Ⅱ)方案都行 当 n<2 时(Ⅱ)方案 当堂练习:
c = 2 b = 1 c = 3 b = 6

1.C; 2.C; 3.D; 4.D; 5.B; 6.B; 7. 46; 8.



1 ; 9. 45; 10. n ;

11. 【 解】 (1)

an=4n+5

(n = 1) 1 an = 2 × 3n1 (n ≥ 2, n ∈ N + ) (2)

1 1 1 1 1 12. 【 解】 (1)1, 2 , 3 , 4 , 5 .(2) n .
(n = 1) 0 an = + 2n 1 (n ≥ 2, n ∈ N )

13. 【 解】

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14. 【 解】

1 3 2 (2) an +1= 4 an (1)

1 3 4 Sn+ 2 (n≥1,n∈N*) (n≥1,n∈N*)(3) Sn +1=

§2.2 等差数列,等比数列 经典例题:(1)4022031 (2)3 (3)5928 当堂练习: 1.B; 2.B; 3.A; 4.B; 5.B; 6.B; 7.B;8.B; 9.D; 10.B; 13 b b …bn = b1 b2 …b17n ( n < 17, n ∈ N* ) 11. 16 12. 7 13. 1 14. 1 2

15. (1)

an =

6 2n1

n n +1 (2)

16. (1) an = 2n

n(n + 1) S n = 2 x (1 x n ) 2nx n+1 2 1 x (1 x ) (2)

( x = 1), ( x ≠ 1)

17.(1) 第 2 年养鸡场的个数为 26 个,全县出产鸡的总只数是 31.2 万只 (2) 到第 6 年这个县的养鸡业比第 1 年缩小了 (3) 第 2 年的规模最大
n 18. 3 n 1

§2.3 等差数列,等比数列综合运用
3 1.C; 2.C; 3.C; 4.B; 5.D; 6.D; 7.D; 8.D; 9.C; 10.C;11. 140,85; 12.. 4 ; 13. 3; 14. 8

15, 1)略; 2) ( (
( 16, 1)

d = 2, an = 2n

an = 2 n 1 , S n = n 2 ;
a1 = 2, an = 64
a = 64, an = 2 时, q = 2, n = 6 ;当 1 时,

(2)当

1 q = ,n = 6 2

17, 1)当 (

a1 =

3 3 n(n 1) 1 2 ,d =1 Sn = n + = n +n S 2 = (S k ) 2 2 2 2 2 时, ,由 k 得,

1 1 4 1 k + k 2 = ( k 2 + k )2 k 3 ( k 1) = 0 2 2 4 ,即 ,又 k ≠ 0 ,所以 k = 4 .

(2)设数列

{a n }的公差为 d ,则在 S k

2

S1 = ( S1 ) 2 2 = (S k ) 2 k = 1,2 得 S 4 = ( S 2 ) 中分别取

a1 = a12 4×3 2 ×1 2 4a1 + 2 d = (2a1 + 2 d ) 即 ,由(1)得 a1 = 0 或 a1 = 1 .

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当 a1 = 0 时,代入(2)得: d = 0 或 d = 6 ;

S 2 = (S k ) a = 0, S n = 0 当 a1 = 0, d = 0 时, n ,从而 k 成立;
2

a = 6(n 1) ,由 S 3 = 18 , ( S 3 ) = 324, S 9 = 216 知, 当 a1 = 0, d = 6 时,则 n
2

S9 ≠ (S3 ) 2

,故所得数列不符合题意;
2

S 2 = (S k ) a = 1, S n = n 当 a1 = 1 时, d = 0 或 d = 2 ,当 a1 = 1 , d = 0 时, n ,从而 k S 2 = (S k ) a = 2n 1, S n = n 2 ,从而 k 成立,综上 成立;当 a1 = 1 , d = 2 时,则 n
2

共有 3 个满足条件的无穷等差数列;

an = 0



an = 1



a n = 2n 1

.

另解:由

S k 2 = (S k ) 2

1 1 k 2 [a1 + (k 1)d ]2 = k 2 [a1 + (k 2 1)d ] 2 2 得 ,整理得

1 1 1 1 1 ( d 2 d )k 2 + (da1 d 2 )k + (a12 a1 + d 2 + d da1 ) = 0 4 2 2 4 2 对于一切正整数 k 都

1 2 1 4 d 2 d = 0 1 2 da1 d = 0 2 d = 0 d = 0 d = 2 1 1 2 a1 a1 + d 2 + d da1 = 0 a = 0 a1 = 1 a1 = 1 4 2 成立,则有 解之得: 1 或 或
所以所有满足条件的数列为:

an = 0



an = 1



a n = 2n 1

.

18. (I)设甲超市第 n 年的年销售量为 a n
a n = S n S n1 =

Q Sn =

P ( n 2 n + 2) ∴n ≥ 2时 2

P(n 2 n + 2) P[(n 1) 2 (n 1) + 2] = ( n 1) P 2 2
( n 1) P (n ≥ 2) ∴ an = (n = 1) P
Q bn bn 1 = P 2 n 1 ∴ bn 1 bn 2 = P 2 n2

又 n = 1 时, a1 = P . 设乙超市第 n 年的年销售量为 bn ,
bn 2 bn 3 = P 2 n 3





b2 b1 = P 2

1 1 1 bn b1 = P ( + 2 + n 1 ) 2 2 2 以上各式相加得:

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∴ bn = P(1 +

1 1 1 1 + + + n 1 ) = P( 2 n 1 ) 2 22 2 2

(II)显然 bn < 2 P ∴ n > 3 时

a n > bn ,

故乙超市将被早超市收购.



1 a n > bn 5



n 1 1 P > P (2 n 1 ) 5 2



n > 11

5 2 n 1

5 11> 11 5 Q n = 10 时 10 > 11 2 9 不成立. 而 n = 11 时 210 成立.



n=11 时

1 a11 > b11 5 成立. 答:这个情况将在 2011 年出现,且是甲超市收购乙超市.

数列单元检测 1.D; 2.B; 3.D; 4.A; 5.B; 6.B; 7.D; 8.B; 9.B; 10.D;11.C;12.A;13. 20; 14. 7;15.
3 an = n 2 (2n + 3) 2 16.
(n = 1) (n ≥ 2)
S n = (2n + 1)2 n 1

an =

n 2 n1 ;

.

17. 【 解】 因

{a n } 的前 n 项和 s n

= 2n + a

a = s n s n 1 (n ≥ 2) , ,故 a1 = s1 = 2 + a , n

0 an=2n+a-2n-1-a=2n-1( n ≥ 2 ).要使 a1 适合 n ≥ 2 时通项公式,则必有 2 + a = 2 , a = 1 ,

此时

a n = 2 n 1 ( n ∈ N )

,

a n +1 2n = n 1 = 2 an 2 ,

故当 a=-1 时,数列

{a n } 成等比数列,首项为 1,公比为 2, a ≠ 1 时, {a n } 不是等比数列.

18. 【 解】 ∵{an}为等差数列,{bn}为等比数列,∴a2+a4=2a3,b2b4=b32,

1 1 已知 a2+a4=b3,b2b4=a3,∴b3=2a3,a3=b32, 得 b3=2b32,∵b3≠0,∴b3= 2 ,a3= 4 . 1 3 10 × 9 55 由 a1=1,a3= 4 ,知{an}的公差 d=- 8 , ∴S10=10a1+ 2 d=- 8 . 1 2 2 由 b1=1,b3= 2 ,知{bn}的公比 q= 2 或 q=- 2 ,
当q = b (1 q10 ) 31 b (1 q10 ) 31 2 2 时, T10 = 1 = (2 + 2);当q = 时, T10 = 1 = (2 2). 2 1 q 32 2 1 q 32

19. 【 解】 (1)S3=3a1, S9=9a1, S6=6a1, 而 a1≠0,所以 S3,S9,S6 不可能成等差数列……2 分
Sn = a1 (1 q n ) a (1 q 9 ) a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 6 ) , 得2 1 = + 1 q 1 q 1 q 1 q

所以 q≠1,则由公式

即 2q6=1+q3 ∴2q6a1q=a1q+q3a1q , ∴2a8=a2+a5 所以 a2, a8, a5 成等差数列

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1 (2)由 2q6=1+q3=- 2
要以 a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项是数列{an}中的第 k 项,
k 2 ak ak 5 5 1 5 q3 = q6 1 = , 所以q k 2 = , 所以( ) 3 = , a2 a2 4 4 2 4 必有 ak-a5=a8-a2,所以 所以

1 ( ) 由 k 是整数,所以 2

k 2 3

=

5 4 不可能成立,所以 a2, a8, a5 为前三项的等差数列的第四项不可能也是数列

{an}中的一项.
2 3 2 20. 【 解】 (Ⅰ) S1→3 = a1 (1 + q + q ) , S 4→6 = a1 q (1 + q + q ) ,

S 7→9 = a1 q 6 (1 + q + q 2 )

S 7 →9 S 4 → 6 = = q3 S 4→6 S1→3 因为 ,

所以 S1→3,S 4→6,S 7→9 成等比数列. , (2 p = r + n 且 m , n , p , r 均 为 正 整 数 ) 也 成 等 比 数 列 , ,

(Ⅱ)一般地

S n→n+ m, S p→p + m, S r →r + m

S n→ n + m = a1 q n 1 (1 + q + q 2 + L + q m )

,

S p→ p + m = a1 q p 1 (1 + q + q 2 + L + q m )
S p→ p +m S r →r + m = = q pn S p→ p+m S n→n + m ( 2 p = r + n)

S r →r + m = a1 q (1 + q + q + L + q )
r 1 2 m

,

所以

S n→n+ m, S p→p + m, S r →r + m

成等比数列.

21. 【 解】 设 2001 年末汽车保有量为 b1 万辆,以后各年末汽车保有量依次为 b2 万辆,

b3 万辆,……,

b = 0.94bn + x 每年新增汽车 x 万辆,则 b1 = 30 , n +1
所以,当 n ≥ 2 时,

bn = 0.94bn 1 + x ,两式相减得: bn +1 bn = 0.94(bn bn 1 )

b bn = bn bn 1 = L = 0 , 即 bn = L = b1 = 30 , 此 时 ( 1 ) 显 然 , 若 b2 b1 = 0 , 则 n +1
x = 30 30 × 0.94 = 1.8. (2)若 b2

b1 ≠ 0 ,则数列 {bn +1 bn }为以 b2 b1 = x 0.06b1 = x 1.8 为首项,

n 以 0.94 为公比的等比数列,所以, bn +1 bn = 0.94 (x 1.8) .

( i ) 若 b2 b1 < 0 , 则 对 于 任 意 正 整 数 n , 均 有 bn +1 bn < 0 , 所 以 , bn +1 < bn < L < b1 = 30 , 此 时 ,
x < 30 30 × 0.94 = 1.8.

b bn > 0 ,所以, bn +1 > bn > L > b1 = 30 , (ii)当 x > 1.8万 时, b2 b1 > 0 ,则对于任意正整数 n ,均有 n +1
n 由 bn +1 bn = 0.94 (x 1.8) ,得

bn = (bn bn1 ) + (bn1 bn 2 ) + L + (b2 b1 ) + b1 =

(b

2

b1 )(1 0.94 n1 ) + 30 1 0.94

=

(x 1.8)(1 0.94 ) + 30
n 1

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0.06

,

要使对于任意正整数 n ,均有 bn ≤ 60 恒成立, 即

(x 1.8)(1 0.94 ) + 30 ≤ 60
n 1

0.06

对于任意正整数 n 恒成立,解这个关于 x 的一元一次不等式 , 得

x≤

1.8 + 1.8 1 0.94 n ,

1.8 1.8 + 1.8 x≤ f (n ) = + 1.8 1 0.94 n 在n∈N上的最小值 ,由于关于 n 的函数 1 0.94 n 上式恒成立的条件为: 单调递减,所以, x ≤ 3.6 .

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