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选修2-2定积分真题及其答案


选修 2-2 定积分真题及其答案
参考答案与试题解析

一.选择题(共 14 小题) 1. (2015?长沙校级二模)设 A.a>b B.a+b<1 C.a<b D.a+b=1
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,下列关系式成立的是(



【考点】定积分;不等关系与不

等式. 【专题】导数的综合应用.

【分析】利用微积分基本定理分别求出 a、b,再利用三角函数的有关性质即可得出答案. 【解答】解:∵(sinx) =cosx,∴ ∵(﹣cosx) =sinx,∴
′ ′

= =

=sin1; =1﹣cos1.

∵sin1+cos1>1,∴sin1>1﹣cos1,即 a>b. 故选 A. 【点评】正确应用微积分基本定理和 sin1+cos1>1 是解题的关键.

2. (2015?会宁县校级模拟) 曲线 y= 与直线 y=x﹣1 及 x=4 所围成的封闭图形的面积为 ( A.2ln2 B.2﹣ln2 【考点】定积分.
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C.4﹣ln2

D.4﹣2ln2

【专题】导数的概念及应用. 【分析】作出函数的图象,可得围成的封闭图形为曲边三角形 ABC,它的面积可化作梯形 ABEF 的面积与曲边梯形 BCEF 面积的差,由此结合定积分计算公式和梯形面积公式,不难 得到本题的答案. 【解答】解:令 x=4,代入直线 y=x﹣1 得 A(4,3) ,同理得 C(4, ) 由 =x﹣1,解得 x=2,所以曲线 y= 与直线 y=x﹣1 交于点 B(2,1) ∴SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF 而 SBCEF= dx=2lnx| =2ln4﹣2ln2=2ln2
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∵S 梯形 ABEF= (1+3)× 2=4 ∴封闭图形 ABC 的面积 SABC=S 梯形 ABEF﹣SBCEF=4﹣2ln2 故选 D

【点评】本题利用定积分计算公式,求封闭曲边图形的面积,着重考查了利用积分公式求原 函数和定积分的几何意义等知识,属于基础题.

3. (2015?海南模拟)设集合 A={(x,y)||x|+|y|≤2},B={(x,y)∈A|y≤x },从集合 A 中 随机地取出一个元素 P(x,y) ,则 P(x,y)∈B 的概率是( A. B. C. D.
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2



【考点】定积分;几何概型.

【分析】集合 A 是一个正方形区域的内部及边界,4 个顶点是(0,2) (0,﹣2) (2,0) (﹣ 2,0) ,集合 B 是抛物线 y=x 下方的区域,分别求出面积,即可求出 P(x,y)∈B 的概率. 【解答】解:集合 A 是一个正方形区域的内部及边界,4 个顶点是(0,2) (0,﹣2) (2,0) (﹣2,0) ,集合 B 是抛物线 y=x 下方的区域 由
2 2 2

,可求得两图象在第一象限的交点坐标为(1,1)

∵抛物线 y=x 下方的区域的面积,根据对称性,可得面积为 =5+2× = ,

正方形的面积为



∴P(x,y)∈B 的概率是
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故选 B. 【点评】本题考查几何概型,考查学生分析解决问题的能力,其中确定抛物线 y=x 下方的 区域的面积是关键.
2

4. (2015?佳木斯一模)已知等比数列{an},且 a4+a8= 的值为( A.π
2

dx,则 a6(a2+2a6+a10)

) C.π D.﹣9π
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B.4

【考点】定积分;数列的求和. 【专题】等差数列与等比数列.

【分析】设等比数列{an}的公比为 q,由

dx 表示圆的 x +y =4 的面积的 ,可

2

2



dx=π.由于 a4+a8=

dx=π=

,可得 a6(a2+2a6+a10)

=

=π .

2

【解答】解:设等比数列{an}的公比为 q, ∵ dx 表示圆的 x +y =4 的面积的 ,∴
2 2

dx=

=π.

∴a4+a8=

dx=π=



∴a6(a2+2a6+a10)= 故选:A.

=

=π .

2

【点评】本题考查了定积分的几何意义、等比数列的通项公式及其性质,考查了推理能力与 计算能力,属于中档题.

5. (2015?新余二模)已知函数 f(x)=sin(x﹣φ)﹣1(0<φ< dx=0,则函数 f(x)的一个零点是( A. B. C. D.
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) ,且

(f(x)+1)



【考点】定积分;函数的零点.

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【专题】函数的性质及应用;导数的概念及应用.

【分析】把 f(x)=sin(x﹣φ)﹣1 代入

(f(x)+1)dx=0,由定积分求得 φ,得到

函数解析式,再由 f(x)=0 求得函数 f(x)的一个零点.

【解答】解:由 f(x)=sin(x﹣φ)﹣1 且

(f(x)+1)dx=0,

得 即

[sin(x﹣φ)]dx=0,∴[﹣cos(x﹣φ)] ,∴ ,∴φ= , )﹣1,

=0. .

∵0<φ<

则 f(x)=sin(x﹣ 由 sin(x﹣ 取 k=0,得 x= 故选:A.

)﹣1=0,解得: .



【点评】本题考查了定积分,考查了由三角函数值求角,训练了函数零点的判断方法,是中 档题.

6. (2015?兰州二模)已知函数 f(x)= ( A. ) B.
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,则

C.

D.

【考点】定积分.

【专题】导数的概念及应用. 【分析】先根据条件可化为 定积分以及定积分的几何意义,求出即可. 【解答】解: (x+1) dx+
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2

(x+1) dx+

2

dx,再根据

dx,



(x+1) dx= (x+1) |

2

3

= ,

dx 表示以原点为圆心以 1 为为半径的圆的面积的四分之一, 故 ∴ 故选:B 【点评】本题主要考查了定积分的计算和定积分的几何意义,属于基础题. dx= π, (x+1) dx+
2

dx=

=



7. (2012?海珠区模拟)用 max{a,b}表示 a,b 两个数中的最大数,设 ,那么由函数 y=f(x)的图象、x 轴、直线 线 x=2 所围成的封闭图形的面积是( A. B. C.
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和直



D.

【考点】定积分.

【专题】计算题;压轴题.

【分析】 先给出

, 再由题意用定积分分成两类求封闭

图形的面积即可,由于两段函数的解析式不一样,故分成两段积分.

【解答】解:由题设知:



∴ 故选 A



【点评】本题考查定积分的运用,运用定积分求面积,求解本题的关键是确定出积分区间以 及被积函数.

8. (2010?赫山区校级一模) A.4ln2 B.4ln2+1 C.4ln2+3 D.3ln2+3

=(



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【考点】定积分.

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【专题】计算题;压轴题. 【分析】直接求出函数 2xlnx+x 的原函数,根据积分的定义计算即可. 【解答】解: 故答案为 A. 【点评】本题考查定积分的计算,关键是找出被积函数的原函数,属于基础题. =(x lnx)|1 =4ln2﹣ln1=4ln2;
2 2

9. (2015?怀化二模)定积分 A. B. C.π
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dx 的值为(



D.2π

【考点】定积分.

【专题】导数的概念及应用. 【分析】根据的定积分的几何意义,所围成的几何图形的面积是的四分之一,计算即可. 【解答】解:∵y=
2 2



∴(x﹣1) +y =1 表示以(1,0)为圆心,以 1 为半径的圆, ∴定积分 ∴定积分 故选:A. 【点评】本题主要考查了定积分的几何意义,根据数形结合的思想,属于基础题. dx 所围成的面积就是该圆的面积的四分之一, dx= ,

10. (2015?钦州模拟)求曲线 y=x 与 y=x 所围成图形的面积,其中正确的是( A. C. B. D.

2



【考点】定积分的简单应用.

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【分析】画出图象确定所求区域,用定积分即可求解. 【解答】解:如图所示 S=S△ ABO﹣S 曲边梯形 ABO ,故选:B.

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【点评】用定积分求面积时,要注意明确被积函数和积分区间,本题属于基本运算.

11. (2015?兴安盟二模)如图所示,正弦曲线 y=sinx,余弦曲线 y=cosx 与两直线 x=0,x=π 所围成的阴影部分的面积为( )

A.1

B.

C.2

D.2
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【考点】定积分的简单应用. 【专题】导数的综合应用.

【分析】由图形可知,阴影部分的面积等于正弦函数与余弦函数图形 以利用此区间的定积分可求. 【解答】解:由图形以及定积分的意义,得到所求封闭图形面积等价于 ; 故选:D.



的面积,所

【点评】 本小题主要考查定积分的几何意义以及定积分的基本运算, 对学生的运算求解能力 和数形结合思想提出一定要求.

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12. (2015?厦门模拟)如图所示,由直线 x=a,x=a+1(a>0) ,y=x 及 x 轴围成的曲边梯形 的面积介于相应小矩形与大矩形的面积之间, 即a < + +…+ <A< + +…+
2

2

x dx< (a+1). 类比之, ? n∈N , )

2

2

*

恒成立,则实数 A 等于(

A.

B.

C.ln2

D.ln
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【考点】定积分的简单应用. 【专题】新定义.

【分析】令 A=A1+A2+A3+…+An,根据定积分的定义得到:A1=﹣lnn+ln(n+1) ,同理求出 A2,A3,…,An 的值,相加求出即可. 【解答】解:令 A=A1+A2+A3+…+An, 由题意得: ∴A1= <A1< , dx=lnx| <A2< , <A3< ,…, <An< ,

=ln(n+1)﹣lnn,

同理:A2=﹣ln(n+1)+ln(n+2) ,A3=﹣ln(n+2)+ln(n+3) ,…,An=﹣ln(2n﹣1)+ln2n, ∴A=A1+A2+A3+…+An =﹣lnn+ln(n+1)﹣ln(n+1)+ln(n+2)﹣ln(n+2)+ln(n+3)﹣…﹣ln(2n﹣1)+ln2n =ln2n﹣lnn =ln2, 故选:C. 【点评】本题考察了定积分的简单应用,根据定积分的定义得到 A1,A2,A3,…,An 的值 是解题的关键,本题是一道中档题.

13. (2015?武汉模拟)如图,矩形 OABC 的四个顶点坐标依次为 O(0,0) ,A( B( ,1) ,C(0,1) ,记线段 OC,CB 以及 y=sinx(0

,0) ,

)的图象围成的区域(图 )

中阴影部分) 为 Ω, 若向矩形 OABC 内任意投一点 M, 则点 M 落在区域 Ω 内的概率为 (
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A.

B.1﹣

C.1﹣
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D.

【考点】定积分的简单应用. 【专题】概率与统计.

【分析】利用积分求出阴影部分的面积,结合几何概型的概率公式,即可得到结论

【解答】解:阴影部分的面积是: 矩形的面积是: ,

=



∵点 M 落在区域 Ω 内的概率:



故选:C. 【点评】 本题是与面积有关的几何概率的计算, 求解需要分别计算矩形的面积及阴影部分的 面积,考查了利用积分计算不规则图象的面积

14. (2015?潍坊模拟)如图所示,由函数 f(x)=sinx 与函数 g(x)=cosx 在区间[0, 上的图象所围成的封闭图形的面积为( )

]

A.3

﹣1 B.4

﹣2 C.

D.2
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【考点】定积分在求面积中的应用;正弦函数的图象;余弦函数的图象. 【专题】计算题;导数的概念及应用.

第 9 页(共 25 页)

【分析】求出图象的交点坐标,根据定积分的几何意义,所求面积为 S=

(cosx﹣sinx)

dx+

(sinx﹣cosx)dx+

(cosx﹣sinx)dx,再用定积分计算公式加以运算即可得

到本题答案. 【解答】解:由 y=sinx(x∈[0, ) , ( , ) , ])和 y=cosx(x∈[0, ])所围成的封闭图形的面积为 ])和 y=cosx(x∈[0, ]) ,可得交点坐标为( ,

∴由两曲线 y=sinx(x∈[0,

S=

(cosx﹣sinx)dx+

(sinx﹣cosx)dx+

(cosx﹣sinx)dx

=(sinx+cosx) 故选:D.

﹣(sinx+cosx)

+(sinx+cosx)

=2



【点评】 本题求曲线围成的曲边图形的面积, 着重考查了定积分的几何意义和积分计算公式 等知识,属于基础题.

二.填空题(共 2 小题) 15. (2011?哈尔滨模拟)若 y=f(x)的图象如图所示,定义 F(x)= 1],则下列对 F(x)的性质描述正确的有 (1) (2) (4) . (1)F(x)是[0,1]上的增函数; (2)F′(x)=f(x) ; (3)F(x)是[0,1]上的减函数; (4)? x0∈[0,1]使得 F(1)=f(x0) . ,x∈[0,

【考点】定积分;导数的概念.

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【专题】计算题;压轴题;数形结合.

第 10 页(共 25 页)

【分析】根据定积分的几何意义,连续曲线 y=f(x)≥0 在[a,b]上形成的曲边梯形的面积 为 S=∫a f(x)dx,可得如图的阴影部分的面积为 F(x) ,根据上边的图形得到 F(x)为增 函数;且 f(x)为 F(x)的原函数;根据下边的图形可得(4)正确. 【解答】解:由定积分的集合意义可知,F(x)表示图中阴影部分的面积,且 F′(x)=f(x) , 当 x0 逐渐增大时,阴影部分的面积也逐渐增大, 所以 F(x)为增函数,故(1) 、 (2)正确; 由定积分的几何意义可知,必然)? x0∈[0,1],使 S1=S2, 此时 S 矩形 ABCO=S 曲边三角形 AOD 即 F(1)=∫0 f(t)dt=f(x0) ,故(4)正确. 所以对 F(x)的性质描述正确的有(1) (2) (4) 故答案为: (1) (2) (4)
1 b

【点评】此题要求学生掌握定积分的几何意义,理解导函数与原函数间的关系,是一道基础 题.

16. (2005?湖南)设函数 f(x)的图象与直线 x=a,x=b 及 x 轴所围成图形的面积称为函数 f(x)在[a,b]上的面积,已知函数 y=sinnx 在[0, (i)y=sin3x 在[0, ]上的面积为 , ; ]上的面积为 . ]上的面积为 (n∈N ) ,
*

(ii)y=sin(3x﹣π)+1 在[ 【考点】定积分.
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【专题】计算题;压轴题.

第 11 页(共 25 页)

【分析】 (i)函数 y=sinnx 与函数 y=sin3x 类比,可以得出函数 y=sin3x 在[0, 得出函数 y=sin3x 在[0, 函数 y=sin3x 在[0, (ii)设 t=x﹣ ]上的面积是函数 y=sin3x 在[0,

]上的面积,

]上的面积的两倍,从而得出

]上的面积.

,t∈[0,π],则 y=sin3t+1,同理可求. ]上的面积为 ( (n∈N+) ,∴对于函数 y=sin3x

【解答】解: (i)∵函数 y=sinnx 在[0, 而言,n=3, ∴函数 y=sin3x 在[0, (ii)设 t=x﹣

]上的面积为: ,则函数 y=sin3x 在[0,

]上的面积为 , ]上的面积为

,t∈[0,π],则 y=sin3t+1,∴y=sin(3x﹣π)+1 在[

故答案为: , 【点评】在解题过程中,寻找解题的突破口,往往离不开类比联想,我们在解题中,要进一 步通过概念类比、性质类比、结构类比以及方法类比等思维训练途径,来提高类比推理的能 力,培养探究创新精神.

三.解答题(共 13 小题) 17. (2015?蒙城县校级模拟)国家 AAAAA 级八里河风景区五一期间举办“管仲杯”投掷飞镖 比赛.每 3 人组成一队,每人投掷一次.假设飞镖每次都能投中靶面,且靶面上每点被投中 的可能性相同.某人投中靶面内阴影区域记为“成功”(靶面正方形 ABCD 如图所示,其中 阴影区域的边界曲线近似为函数 y=Asinx 的图象) . 每队有 3 人“成功”获一等奖, 2 人“成功” 获二等奖,1 人“成功”获三等奖,其他情况为鼓励奖(即四等奖) (其中任何两位队员“成功” 与否互不影响) . (Ⅰ)求某队员投掷一次“成功”的概率; (Ⅱ)设 X 为某队获奖等次,求随机变量 X 的分布列及其期望.

第 12 页(共 25 页)

【考点】定积分在求面积中的应用;几何概型;离散型随机变量的期望与方差. 【专题】导数的综合应用;概率与统计. 【分析】 (Ⅰ)由题意,求出矩形和阴影部分的面积,利用几何概型公式解答; (Ⅱ)明确 X 的取值,分别求出随机变量对应的概率,列出分布列,求期望. 【解答】解: (Ⅰ)由题意知:S 矩形=10× 10=100, 记某队员投掷一次“成功”事件为 A, 则 P(A)= …. (5 分) =20,

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(Ⅱ)因为 X 为某队获奖等次,则 X 取值为 1、2、3、4. ,P(X=2)= P(X=3)= 即 X 分布列为: X P(X) …(10 分) 所以,X 的期望 EX=1× +2× +3× +4× = …(12 分) 1 2 3 4 ,P(X=4)= …. (9 分) ,

【点评】本题考查了几何概型的运用以及随机变量的分布列和期望.

18. (2015?福建模拟)已知函数 f(x)=lnx. (Ⅰ)若函数 h(x)=f(x)+ x ﹣ax 在点(1,h(1) )处的切线与直线 4x﹣y+1=0 平行, 求实数 a 的值
2

第 13 页(共 25 页)

(Ⅱ)对任意的 a∈[﹣1,0) ,若不等式 f(x)< ax +2x+b 在 x∈(0,1]上恒成立,求实 数 b 的取值范围 (Ⅲ)若函数 y=g(x)与 y=f(x)的图象关于直线 y=x 对称,设 A(a,g(a) ) ,B(b,g (b) ) ,N=( ,g( ) ) (a<b) ,试根据如图所示的曲边梯形 ABCD 的面积与两个直

2

角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的大小关系,写出一个关于 a 和 b 的不等式,并加以证明.

【考点】定积分在求面积中的应用;利用导数研究函数的单调性;利用导数求闭区间上函数 的最值.
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【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求导数,利用函数 h(x)=f(x)+ x ﹣ax 在点(1,h(1) )处的切线与直 线 4x﹣y+1=0 平行,建立方程,即可求实数 a 的值; (Ⅱ)不等式 b>lnx﹣ ax ﹣2x 对任意的 a∈[﹣1,0)恒成立,则 b>(lnx﹣ ax ﹣2x)
max,进而转化为不等式 2 2 2

b>lnx﹣ x ﹣2x 在 x∈(0,1]上恒成立,即可求实数 b 的取值范

2

围; (Ⅲ) 由题意得曲边梯形 ABCD 的面积小于与两个直角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的和, 可得 e ﹣e < (b﹣a) (e +e +2
b a b a

) ,再进行证明即可.

【解答】解: (Ⅰ)h′(x)= ∴a=﹣2…(4 分)

(x>0) ,依题意得:h′(1)=4 即 2﹣a=4,

(Ⅱ)由不等式 b>lnx﹣ ax ﹣2x 对任意的 a∈[﹣1,0)恒成立,则 b>(lnx﹣ ax ﹣2x)
max,

2

2

∵函数 φ(a)=lnx﹣ ax ﹣2x 在 a∈[﹣1,0)上为单调递减,
第 14 页(共 25 页)

2

∴φ(a)max=φ(﹣1)=lnx+ x ﹣2x ∴问题转化为不等式 b>lnx+ x ﹣2x 在 x∈(0,1]上恒成立,…(7 分)
2

2

令 G(x)=lnx+ x ﹣2x,则 G′(x)= ∴G(x)max=G(1)=﹣ ∴b 的取值范围为 b>﹣ …(9 分)

2

≥0.

(Ⅲ) 由题意得曲边梯形 ABCD 的面积小于与两个直角梯形 ADMN 和 NMCB 的面积的和, 用不等式表示为 (10 分) 即 e ﹣e < (b﹣a) (e +e +2
b a b a

< (b﹣a)[g(a)+g(

)]+ (b﹣a)[g(b)+g(

)]…

)…(11 分)

证明:设 b=lnm,a=lnn,则
b a b a

=

(0<n<m) , )等价于 < (m+n+2 )…(11 分)

不等式 e ﹣e < (b﹣a) (e +e +2 即 令 即 < ln =t(t>1) ,则只要证 ﹣lnt<0,

<lnt,

又令 m(t)=

﹣lnt,则 m′(t)=

<0,

∴函数 m(t)在(1,+∞)上单调递减, ∴m(t)<m(1)=0 ∴e ﹣e < (b﹣a) (e +e +2
b a b a

)…(14 分)

【点评】本题考查知识点较多, 涉及导数的几何意义,函数的最值, 定积分知识,综合性强.

19. (2009 春?如东县期末)设 y=f(x)是二次函数,方程 f(x)=0 有两个相等的实根,且 f′(x)=2x+2.
第 15 页(共 25 页)

(1)求 y=f(x)的表达式; (2)求 y=f(x)的图象与两坐标轴所围成封闭图形的面积. 【考点】定积分在求面积中的应用;导数的运算.
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【分析】 (1)根据导函数的解析式设出原函数的解析式,根据有两个相等的实根可得答案. (2)根据定积分的定义可得答案. 【解答】解: (1)∵f′(x)=2x+2 设 f(x)=x +2x+c,
2 2

根据 f(x)=0 有两等根,得△ =4﹣4c=0 解得 c=1,即 f(x)=x +2x+1; (2)S= = .

【点评】本题主要考查导数的逆运算和定积分在求面积中的应用.属基础题.

20. (2010?永州校级模拟)求由曲线 y=x +2 与 y=3x,x=0,x=2 所围成的平面图形的面积.

2

【考点】定积分的简单应用. 【专题】计算题.

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【分析】因为所求区域均为曲边梯形,所以使用定积分方可求解. 【解答】解:联立 ,解得 x1=1,x2=2

∴S=∫0 (x +2﹣3x)dx+∫1 (3x﹣x ﹣2)dx=

1

2

2

2

+

=1

【点评】用定积分求面积时,要注意明确被积函数和积分区间,属于基本运算.

第 16 页(共 25 页)

21. (2013 秋?琼山区校级期末)如图,计算由曲线 y=x +1,直线 x+y=3 以及两坐标轴所围 成的图形的面积 S.

2

【考点】定积分在求面积中的应用.

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【专题】计算题;函数的性质及应用. 【分析】先确定积分区间与被积函数,再求原函数,即可求得结论. 【解答】解:如图,由 y=x +1 与直线 x+y=3 在点(1,2)相交,…(2 分) 直线 x+y=3 与 x 轴交于点(3,0)…(3 分) 所以,所求围成的图形的面积 = =
2

【点评】本题考查利用定积分求面积,先确定积分区间与被积函数,再求原函数是关键.

22. (2011 春?天门校级期末)如图,在区间[0,1]上给定曲线 y=x ,试在此区间内确定点 t 的值,使图中阴影部分的面积 S1+S2 最小.

2

第 17 页(共 25 页)

【考点】定积分在求面积中的应用;利用导数研究函数的单调性. 【专题】计算题.

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【分析】先利用定积分分别表示出阴影部分的面积 S1 与 S2,然后求出 S1+S2 关于 t 的函数 解析式和定义域,利用导数研究函数的单调性,从而求出函数的最小值. 【解答】解: , …(4 分) ∴ …(6 分)

令 S′(t)=0,得 当 ∴当 所以,当 时,

或 t=0(舍去) 时,S′(t)>0; 时,S(t)为增函数…(10 分)

时,S′(t)<0;当

时,S(t)为减函数,当 …(12 分)

【点评】 本题主要考查了定积分在求面积中的应用, 以及利用导数研究函数的单调性和求函 数最值,属于中档题.

23. (2015 春?蠡县校级期末)已知 F(x)= (1)求 F(x)的单调区间; (2)求函数 F(x)在[1,3]上的最值. 【考点】微积分基本定理;利用导数求闭区间上函数的最值. 【专题】计算题;导数的概念及应用.
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dt, (x>0) .

第 18 页(共 25 页)

【分析】 (1)由定积分计算公式,结合微积分基本定理算出

.再利

用导数,研究 F'(x)的正负,即可得到函数 F(x)的单调增区间是(2,+∞) ,单调递减 区间是(0,2) . (2)根据 F(x)的单调性,分别求出 F(1) 、F(2) 、F(3)的值并比较大小,可得 F(x) 在[1,3]上的最大值是 F(3)=﹣6,最小值是 【解答】解:依题意得, , 定义域是(0,+∞) . (2 分) (1)F'(x)=x +2x﹣8, 令 F'(x)>0,得 x>2 或 x<﹣4; 令 F'(x)<0,得﹣4<x<2, 且函数定义域是(0,+∞) , ∴函数 F(x)的单调增区间是(2,+∞) ,单调递减区间是(0,2) . (6 分) (2)令 F'(x)=0,得 x=2(x=﹣4 舍) , 由于函数在区间(0,2)上为减函数,区间(2,3)上为增函数, 且 , ,F(3)=﹣6, . (10 分)
2



∴F(x)在[1,3]上的最大值是 F(3)=﹣6,最小值是

【点评】 本题利用定积分求一个函数的原函数, 并研究原函数的单调性和闭区间上的最值. 着 重考查了定积分计算公式、利用导数研究函数的单调性与最值等知识,属于中档题.

24. (2013?临沂一模)已知函数 f(x)=﹣alnx+

+x(a≠0)

(I)若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) ) )处的切线与直线 x﹣2y=0 垂直,求实数 a 的值; (Ⅱ)讨论函数 f(x)的单调性; (Ⅲ)当 a∈(﹣∞,0)时,记函数 f(x)的最小值为 g(a) ,求证:g(a)≤﹣e . 【考点】微积分基本定理;利用导数研究函数的单调性. 【专题】综合题;导数的综合应用. 【分析】 (I)先求 f(x)的定义域为{x|x>0},先对已知函数进行求导,由 f′(1)=﹣2 可 求a
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﹣4

(II)由

=

,通过比较﹣a 与 2a 的大小解不

等式 f′(x)>0,f′(x)<0,从而可求函数的单调区间 (III)由(II)可知,当 a∈(﹣∞,0)时,函数 f(x)的最小值 f(﹣a) ,结合已知可求 a, 然后结合已知单调性可求 ,从而可证

【解答】解: (I)由已知可知 f(x)的定义域为{x|x>0} (x>0) 根据题意可得,f′(1)=2× (﹣1)=﹣2 ∴﹣a﹣2a +1=﹣2 ∴a=1 或 a=﹣
2

(II)∵

=

①a>0 时,由 f′(x)>0 可得 x>2a 由 f′(x)<0 可得 0<x<2a ∴f(x)在(2a,+∞)上单调递增,在(0,2a)上单调递减 ②当 a<0 时, 由 f′(x)>0 可得 x>﹣a 由 f′(x)<0 可得 0<x<﹣a ∴f(x)在(﹣a,+∞)上单调递增,在(0,﹣a)上单调递减 (III)由(II)可知,当 a∈(﹣∞,0)时,函数 f(x)的最小值 f(﹣a) 故 g(a)=f(﹣a)=﹣aln(﹣a)﹣3a 则 g′(a)=﹣ln(﹣a)﹣4 令 g′(a)=0 可得﹣ln(﹣a)﹣4=0 ∴a=﹣e
﹣4

当 a 变化时,g’(a) ,g(a)的变化情况如下表

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∴a=﹣e

﹣4

是 g(a)在(﹣∞,0)上的唯一的极大值,从而是 g(a)的最大值点 =﹣e
﹣4 ﹣4

当 a<0 时, ∴a<0 时,g(a)≤﹣e .

【点评】本题主要考查了导数的几何意义的应用,函数的导数与函数的单调性的应用,及函 数的极值与最值的求解的相互关系的应用,属于函数知识的综合应用.

25. (2014 春?阿勒泰市校级月考)计算定积分: (1) (4﹣2x) (4﹣x )dx;
2

(2)

dx.

【考点】微积分基本定理.

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【专题】导数的概念及应用. 【分析】根据微积分的基本定理即可得到结论. 【解答】解: (1) ( (4﹣2x) (4﹣x )dx= )| = ;
2

(2x ﹣4x ﹣8x+16)dx=

3

2

(2)

dx=

(2x﹣2﹣ )dx=(x ﹣2x﹣lnx)|

2

=1﹣ln2.

【点评】本题主要考查微积分定理的应用,要求熟练掌握常见函数的微积分公式.

26. (2013?渝水区校级一模)已知等差数列{an}和等比数列{bn}中,a1=b1=2, b2=a2+1= ,

(1)分别求数列{an}、{bn}的通项公式; (2)求数列 的前 n 项的和 Sn.

【考点】微积分基本定理;数列的求和.

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【专题】等差数列与等比数列. 【分析】 (1)先求 ,进而根据等差数列{an}和等比数列{bn}的通项公式,即可解出

公差和公比,即可求出通项公式. (2)先求出 ,再利用错位相减法即可求出其和 Sn. =4﹣0=4,∴b2=a2+1=4.

【解答】解: (1)∵

设等差数列{an}和等比数列{bn}公差、公比分别为 d、q. 则 2q=2+d+1=4,解得 d=1,q=2. ∴an=2+1× (n﹣1)=n+1, .

(2)由(1)可得 ∴Sn= 2Sn=2+ 错位相减得 . ,



【点评】 本题考查了等差数列和等比数列的通项公式及利用错位相减法求数列的和, 充分理 解以上知识和方法是解题的关键.

27. (2013 春?无为县校级期中)计算下列定积分的值

(1)

(2)

(3)

(4)



【考点】微积分基本定理. 【专题】计算题.

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【分析】先找到被积函数的原函数,然后运用微积分基本定理计算定积分即可.
2 {\;}^{\frac{π}{2}}

【解答】解: (1)

=( x ﹣cosx)|0

=1+



(2)

=

(6x +12x+6)dx=(2x +6x +6x)

2

3

2

=112;

(3)

=(﹣ ﹣lnx)

=ln2﹣ln3+ ;

(4)

=

= (

+x)

=



【点评】 本题主要考查了定积分, 运用微积分基本定理计算定积分的关键是找到被积函数的 原函数,属于积分中的基础题.

28. (2012?集美区校级模拟)已知函数 f(x)=2cos (1)求函数 f(x)的最小正周期和值域; (2)若 α 为第二象限角,且

2

sinx.

,求

的值. 个

(3)将函数 f (x)图象上每一点的横坐标缩小为原来的 ,纵坐标不变,再向右平移

单位,得到的函数设为 g(x) ,求 【考点】微积分基本定理;二倍角的余弦. 【专题】三角函数的图像与性质.

的值.

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【分析】 (1)将函数 f(x)变形为 f(x)=1+2cos(x+ (2)将 (3)由(1)知 从而得出答案. 【解答】解: (1)∵ ∴函数 f(x)的周期为 2π, 又∵ ,
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) ,从而求出函数的周期和值域;

化简为

,再求出 sinα,cosα 的值,代入即可; ,经过变换后得到的函数 g(x)=1+2cos2x,

=



故函数 f(x)的值域为[﹣1,3]; (2)∵ ,∴ ,即 ,



= 又∵α 为第二象限角,且 ,∴ ,



∴原式=



(3)由(1)知 经过变换后得到的函数 g(x)=1+2cos2x, ∴ =



=



【点评】 本题考查了三角函数的图象及性质, 考查了三角恒等变换, 考查了微积分基本定理, 是一道中档题.

29.已知 y=e sin2x,求微分 dy. 【考点】微积分基本定理. 【专题】计算题. 【分析】求微分 dy,设 y=f(x) ,则 dy=f(x)'dx,此题 f(x)=e sin2x,再根据积分公式 (uv) =u v+v u 求解 f(x) ,故可求解出微分 dy. 【解答】解:dy=(e sin2x)'dx =[e (sin2x)'+(e )'sin2x]dx =(2e cos2x﹣e sin2x)dx =e (2cos2x﹣sin2x)dx. 【点评】此题考查微积分的基本定理及基本计算,其中涉及到乘法函数的求积分问题.题目 涉及知识点教少但计算能力要求较高.在计算方面要稍加注意.
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