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3.5直线与圆的位置关系(第二课时)[1]


5.直线和圆的位置关系 (2)

知识回顾
r


O ┐d

r


O

r


O

相交
?

d ┐ 相切

d ┐ 相离


d < r; d = r;

直线和圆相交 直线和圆相切

? ?

d > r;

直线和圆相离

切线的性质定理
? 定理 ).
? ?

圆的切线垂直于过切点的直径(半径
O D

∵CD是⊙O的切线,A是切点, ∴OA⊥CD
C



A

探索 ? 如图,AB是⊙O的直径,直线l经过点A,l与AB的夹
角为∠α,当l绕点A顺时针旋转时, 1.随着∠α的变化,点O到l的距离d如何变化?直 线l与⊙O的位置关系如何变化? 2.当∠α等于多少度时,点O到l的距离等于半径r? 此时,直线l与⊙O有怎样位置关系?为什么?B 随着∠α的减小,点O到l的距离d 逐渐减小。当l与AB重合时d为0, ●O 过AB后随着∠α的增大d也增大, α d α 当∠α为直角时d最大。等于⊙O ┓ 的半径。 A 这时,直线l与⊙O相切。
?

l

你能写出一个命题来表述这个事实吗?

切线的判定定理
? 经过直径的一端,并且垂直于这条直径 的直线是圆的切线. B
(点A在⊙O上,CD过点A, 若 OA⊥CD,则CD是⊙O的切线) ∵ d=OA, r=OA ∴d=r
C A D


O

∴ CD是⊙O的切线.

例:如图:AB是⊙O的直径, ∠ABT=450, AT=BA,求证:AT是⊙O的切线.
B

.O
T A

练习
1.如图,已知直线AB 经过⊙O 上的点C, 并且OA=OB,CA=CB,那么直线 AB是 ⊙O 的切线吗? 为什么? 解:直线 AB是⊙O 的切线.
O

证明:连接OC。 ∵OA=OB AC=BC ∴OC ⊥ AB ∴AB是⊙O 的切线

A

C

B

? (中考题)如图,AB是⊙O的直径,P在AB的延长线上, PD与⊙O相切于D,C在⊙O上,PC=PD. (1)求证:PC是⊙O的切线; (2)连结AC,若AC=PC,PB=1,求⊙O的半径. (1)证明:连接OC 、OD, 则OC=OD ∵ PD与⊙O相切于D, ∴ OD ⊥ PD ∵OC=OD PO=PO PC=PD ∴ △ POC ≌ △ P OD ∴ ∠PCO= ∠PDO=900 4 ∴ PC是⊙O的切线
(2)∠A=300 r=1

3 2 1 5

? 探索:从一块三角形材料中,能否剪下一个圆,使
其与各边都相切? 分析:假设符合条件的圆已作出,则它的圆心到三边的 距离相等.因此,圆心在这个三角形三个角的平分线上, 半径为圆心到三边的距离.
A N I
● ●

A M

I ●


B



C

B

┓ D

C

A F I ●


E

B



C

定义:与三角形三边都相切的圆叫做三角形 的内切圆. 内切圆的圆心叫做三角形的内心,内心 是三角形三条角平分线的交点. 内心到三角 形三边的距离相等.

A

A F
C

O

I ●


E

B

B



C

三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心, 外心是三条边的垂直平分线的交点. 外心到三角形三个顶点的距离相等. 三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心, 内心是三条角平分线的交点. 内心到三角形三边的距离相等.

判断题:

1、三角形的内心到三角形各个顶点的距离相等(错 )
2、三角形的外心到三角形各边的距离相等 (错 )

3、等边三角形的内心和外心重合; (对 )
4、三角形的内心一定在三角形的内部( 对 )

5、菱形一定有内切圆(对 )
6、矩形一定有内切圆( 错)

例2 如图,在△ABC中,点O是内心, (1)若 ∠ABC=50°, ∠ACB=70°,求∠BOC的度数
解(1)∵点O是△ABC的内心,
1 ∴ ∠OBC= ∠OBA= ∠ABC= 25 ° 21 2

A O

同理 ∠OCB= ∠OCA=

∠ACB=35 °

B

C

∴ ∠BOC=180 °- (∠OBC+ ∠OCB) = 180 °-60 °=120 °

(2)若∠A=80 °,则∠BOC= 130

度。

(3)若∠BOC=110 °,则∠A=

40

度。

(4)试探索: ∠A与∠BOC之间存在怎样

的数量关系?请说明理由。
1 答: ∠BOC =90 ° + ∠A 2
B

A

O
C

随堂练习130页
? 1.以边长为3,4,5的三角形的三个顶点为圆心,分别 作圆与对边相切,则这三个圆的半径分别是多少?.

A
3 5

C

4

B

做一做: 过一点如何作圆的切线

1.过圆上一点作圆的切线.(课本129页)
已知⊙O上有一点A,过点A作出⊙O的切线.

2.过圆外一点作圆的切线
O

A
● ●

P

B

1.判断:若直线和圆相切,则该直线和圆一定 有一个公共点. ( √ ) 2、设⊙O的半径为r,点O到直线a的距离为d, 若⊙O与直线a至多只有一个公共点,则d与r的 关系是……………………( C ) A、d≤r B、d<r C、d≥r D、d=r 3、设⊙O的半径为r,直线a上一点到圆心的 距离为d,若d=r,则直线a与⊙O的位置关系 是……………………………………( D ) A、相交 B、相切 C、相离 D、相切或相交

Rt△的三边长与其内切圆半径间的关系
已知:如图,⊙O是Rt△ABC的内切 圆,∠C是直角,AC=3,BC=4. 求⊙O的半径r.
A D


O


┗ F

B

E

C

3.如图,AB是半圆O的直径,C为半圆上一点,过C作 圆的切线,连结AC,作直线AD,使∠DAC=∠CAB,AD交 半圆于E,交过点C的切线于点D. (1)试判断AD与CD有何位置关系?并说明理由;

(2)若AB=10,AD=8,求AC的长.
E

D C

A

O

B


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