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3.1.3概率的基本性质


3.1
3.1.3

随机事件的概率

概率的基本性质

问题提出

1. 两个集合之间存在着包含与相等的关系,集 合可以进行交、并、补运算,你还记得子集、等 集、交集、并集和补集的含义及其符号表示吗?

[知识链接] 1.集合间的基本关系 描述关系 集合 间的 基本

关系 文字语言 符号语言 _____ A=B

集合A与集合B中的所 相等 有元素都相同

A中任意一元素均为B 子集 中的元素
空集是任何集合的子集

_____ A?B 或_____ B?A _____ ??B

空集

2.集合的基本运算 集合的并集 符号 表示 图形 表示 {x|x∈A,或 ____________ 意义 x∈B} ______ {x|x∈A,且 ___________ x∈B} ______ A∪B 集合的交集 A∩B 集合的补集 若全集为U,则集合A的 补集为?UA

{x|x∈U,且x?A} ________________

2. 我们可以把一次试验可能出现的结果看成一 个集合(如连续抛掷两枚硬币),那么必然事件 对应全集,随机事件对应子集,不可能事件对应 空集,从而可以类比集合的关系与运算,分析事 件之间的关系与运算,使我们对概率有进一步的 理解和认识.

知识探究(一):事件的关系与运算

在掷骰子试验中,我们用集合形式定义如下事件: C1={出现1点},C2={出现2点}, C3={出现3点},C4={出现4点}, C5={出现5点},C6={出现6点}, D1={出现的点数不大于1}, D2={出现的点数大于4}, D3={出现的点数小于6}, E={出现的点数小于7}, F={出现的点数大于6}, G={出现的点数为偶数}, H={出现的点数为奇数},等等.

思考1:上述事件中哪些是必然事件?哪些是 随机事件?哪些是不可能事件? 思考2:如果事件C1发生,则一定有哪些事件 发生?在集合中,集合C1与这些集合之间的 关系怎样描述?

思考3:一般地,对于事件A与事件B,如何理解 事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)? 特别地,不可能事件用Ф表示,它与任何事件 的关系怎样约定?

如果当事件A发生时,事件B一定发生, 则B ? A ( 或A? B ); 任何事件都包含不可能事件.

思考4:分析事件C1与事件D1之间的包含关系, 按集合观点这两个事件之间的关系应怎样描述? 思考5:一般地,当两个事件A、B满足什么条 件时,称事件A与事件B相等?

若B ? A,且A ? B,则称事件A与事件B 相等,记作A=B.
思考6:如果事件C5发生或C6发生,就意味着 哪个事件发生?反之成立吗?

思考7:事件D2称为事件C5与事件C6的并事件 (或和事件),一般地,事件A与事件B的并事 件(或和事件)是什么含义?

当且仅当事件A发生或事件B发生时,事件C 发生,则称事件C为事件A与事件B的并事件 (或和事件),记作 C=A∪B(或A+B).

思考8:类似地,当且仅当事件A发生且事件B 发生时,事件C发生,则称事件C为事件A与事 件B的交事件(或积事件),记作C=A∩B(或 AB),在上述事件中能找出这样的例子吗?

思考9:两个集合的交可能为空集,两个事件 的交事件也可能为不可能事件,即A∩B=Ф, 此时,称事件A与事件B互斥,那么在一次试验 中,事件A与事件B互斥的含义怎样理解?在上 述事件中能找出这样的例子吗? 事件A与事件B不会同时发生.

思考10:若A∩B为不可能事件,A∪B为必然 事件,则称事件A与事件B互为对立事件,那 么在一次试验中,事件A与事件B互为对立事 件的含义怎样理解?在上述事件中能找出这 样的例子吗? 事件A与事件B有且只有一个发生.

思考11:事件A与事件B的和事件、积事件,分 别对应两个集合的并、交,那么事件A与事件B 互为对立事件,对应的集合A、B是什么关系? 集合A与集合B互为补集. 思考12:若事件A与事件B相互对立,那么事件 A与事件B互斥吗?反之,若事件A与事件B互斥, 那么事件A与事件B相互对立吗?

例1 从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花,点数 从1~10各10张)中,任取一张.
互斥但不对立 (1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”; 互斥且对立 (2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”; 不是互斥事件

(3)“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9”.

判断上面给出的每对事件是否为互斥事件,是否为对立事
件,并说明理由.

规律方法

1.要判断两个事件是不是互斥事件,只需要分别

找出各个事件包含的所有结果,看它们之间能不能同时发 生.在互斥的前提下,看两个事件的并事件是否为必然事件,

从而可判断是否为对立事件.
2.考虑事件的结果间是否有交事件.可考虑利用Venn图分 析,对于较难判断的关系,也可考虑列出全部结果,再进行 分析.

跟踪演练1

从装有2个红球和2个白球(球除颜色外其他均相

同)的口袋任取2个球,观察红球个数和白球个数,判断下列 每对事件是不是互斥事件,如果是,再判断它们是不是对立 事件.

(1)至少有1个白球,都是白球;
(3)至少有一个白球,都是红球.

不是互斥事件

(2)至少有1个白球,至少有一个红球; 不是互斥事件
互斥且对立

跟踪演练2

盒子里有6个红球,4个白球,现从中任取3个球,

设事件A={3个球中有一个红球,两个白球},事件B={3个球

中两个红球,一个白球},事件C={3个球中至少有一个红球},
事件D={3个球中既有红球又有白球}. (1)事件D与A,B是什么样的运算关系; (2)事件C与A的交事件是什么事件. 解 (1)对于事件D,可能的结果为1个红球2个白球,或2个红 球1个白球,故D=A∪B. (2)对于事件C,可能的结果为1个红球2个白球,2个红球1个白 球,或3个红球,故C∩A=A.

知识探究(二):概率的几个基本性质
思考1:概率的取值范围是什么?必然事件、 不可能事件的概率分别是多少?
思考2:如果事件A与事件B互斥,则事件A∪B 发生的频数与事件A、B发生的频数有什么关 系?fn(A∪B)与fn(A)、fn(B)有什么关系?进 一步得到P(A∪B)与P(A)、P(B)有什么关系?

若事件A与事件B互斥,则A∪B发生的频数等 于事件A发生的频数与事件B发生的频数之和, 且 P(A∪B)=P(A)+ P(B),这就是 概率的加法公式. 思考3:如果事件A与事件B互为对立事件,则 P(A∪B)的值为多少?P(A∪B)与P(A)、P(B) 有什么关系?由此可得什么结论? 若事件A与事件B互为对立事件,则 P(A)+P(B)=1.

思考4:如果事件A与事件B互斥,那么 P(A)+P(B)与1的大小关系如何? P(A)+P(B)≤1.

思考5:如果事件A1,A2,?,An中任何两个都 互斥,那么事件(A1+A2+?+An)的含义如何? P(A1+A2+?+An)与P(A1),P(A2),?, P(An)有什么关系? 事件(A1+A2+?+An)表示事件A1,A2,?,An 中有一个发生; P(A1+A2+?+An)= P(A1)+P(A2)+ ? +P (A n).

思考6:对于任意两个事件A、B, P(A∪B)一定比P(A)或P(B)大吗? P(A∩B)一定比P(A)或P(B)小吗?

例3

某公务员去开会,他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概

率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.
(1)求他乘火车或乘飞机去的概率; (2)求他不乘轮船去的概率;

(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5,请问他有可能乘
哪种交通工具? 解 (1)记“他乘火车”为事件A,“他乘轮船”为事件B, “他乘汽车”为事件C,“他乘飞机”为事件D.这四个事 件两两不可能同时发生,故它们彼此互斥, 所以P(A∪D)=P(A)+P(D)=0.3+0.4=0.7. 即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.

(2)设他不乘轮船去的概率为P,则P=1-P(B)=1-0.2=0.8, 所以他不乘轮船去的概率为0.8. (3)由于P(A)+P(B)=0.3+0.2=0.5,

P(C)+P(D)=0.1+0.4=0.5,
故他可能乘火车或乘轮船去,也有可能乘汽车或乘飞机去.

规律方法

1.互斥事件的概率的加法公式P(A∪B)=P(A)+

P(B).
2.对于一个较复杂的事件,一般将其分解成几个简单的 事件,当这些事件彼此互斥时,原事件的概率就是这些简 单事件的概率的和. 3.当求解的问题中有“至多”、“至少”、“最少”等

关键词语时,常常考虑其反面,通过求其反面,然后转化
为所求问题.

跟踪演练 3 (2013· 大同高一检测)甲、乙两人下棋,和棋的概 1 1 率为 ,乙获胜的概率为 ,求: 2 3

(1)甲获胜的概率; (2)甲不输的概率.
解 (1)“甲获胜”和“和棋或乙获胜”是对立事件,所以“甲 1 1 1 获胜”的概率 P=1- - = . 2 3 6 1 即甲获胜的概率是 . 6

(2)法一 设事件 A 为“甲不输”,可看成是“甲获胜”“和 1 1 2 棋”这两个互斥事件的并事件,所以 P(A)= + = . 6 2 3 法二 设事件 A 为“甲不输”, 可看成是“乙获胜”的对立事 1 2 2 件,所以 P(A)=1- = .即甲不输的概率是 . 3 3 3

1 某射手进行一次射击,试判断下列事件哪 些是互斥事件?哪些是对立事件? 事件A:命中环数大于7环; 事件B:命中环数为10环; 事件C:命中环数小于6环; 事件D:命中环数为6、7、8、9、10环. 事件A与事件C互斥,事件B与事件C互斥,事件 C与事件D互斥且对立.

2 一个人打靶时连续射击两次 事件“至少有一次中靶”的互斥事件是 (D ) A.至多有一次中靶 B.两次都中靶 C. 只有一次中靶 D. 两次都不中靶

3 把红、蓝、黑、白4张纸牌随机分给 甲、乙、丙、丁四人,每人分得一张,那么 事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌” 是 (B ) A.对立事件 B. 互斥但不对立事件 C.必然事件 D. 不可能事件

4.给出以下结论:①互斥事件一定对立.②对立 事件一定互斥.③互斥事件不一定对立.④事件 A与B的和事件的概率一定大于事件A的概率.⑤ 事件A与B互斥,则有P(A)=1-P(B).其中正确 命题的个数为 ( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 答案 C 解析 对立必互斥,互斥不一定对立,∴②③正 确,①错;又当A∪B=A时,P(A∪B)=P(A), ∴④错;只有A与B为对立事件时,才有P(A)=1 -P(B),∴⑤错.

5.抛掷一枚骰子,“向上的点数是1或2”为事件A,“向上 的点数是2或3”为事件B,则 A.A?B B.A=B ( )

C.A+B表示向上的点数是1或2或3
D.AB表示向上的点数是1或2或3 答案 解析 C 设A={1,2},B={2,3},A∩B={1},A∪B={1,

2,3},∴A+B表示向上的点数为1或2或3.

6.对空中飞行的飞机连续射击两次,每次发射一枚炮弹,设 A={两次都击中飞机},B={两次都没击中飞机},C={恰

有一弹击中飞机},D={至少有一弹击中飞机},下列关系
不正确的是 A.A?D C.A∪C=D
答案 D

( B.B∩D=? D.A∪B=B∪D

)

解析 “恰有一弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中
第二枚击中,“至少有一弹击中”包含两种情况:一种是恰有一弹击 中,一种是两弹都击中,∴A∪B≠B∪D.

7.(2013· 保定高一检测)从装有5个红球和3个白球的口袋内任

取3个球,那么,互斥而不对立的事件是
A.至少有一个红球与都是红球 B.至少有一个红球与都是白球 C.至少有一个红球与至少有一个白球 D.恰有一个红球与恰有两个红球

(

)

答案

D

8.某人在打靶中,连续射击2次,事件“至少有一次中靶” 的互斥事件是________.

答案

两次都不中靶

9、 如果从不包括大小王的52张扑 克牌中随机抽取一张,那么取到红心 1 (事件A)的概率是 4 ,取到方片(事 1 件B)的概率是 4 ,问:
(l)取到红色牌(事件C)的概率是多少? (2)取到黑色牌(事件D)的概率是多少? P(C)=P(A∪B)= P(A)+P(B)=0.5, P(D)=1- P(C)=0.5.

10 袋中有 12 个小球,分别为红球、 黑球、黄球、绿球,从中任取一球,已 1 知得到红球的概率是 3 ,得到黑球或黄 5 球的概率是12 ,得到黄球或绿球的概率 5 也是 12,试求得到黑球、黄球、绿球的 概率分别是多少?

1 1 1 , , . 4 6 4

小结作业 1.事件的各种关系与运算,可以类比集 合的关系与运算,互斥事件与对立事件 的概念的外延具有包含关系,即{对立事 件} {互斥事件}.
2.在一次试验中,两个互斥事件不能同 时发生,它包括一个事件发生而另一个 事件不发生,或者两个事件都不发生, 两个对立事件有且仅有一个发生.

3.事件(A+B)或(A∪B),表示事件A 与事件B至少有一个发生,事件(AB)或 A∩B,表示事件A与事件B同时发生. 4.概率加法公式是对互斥事件而言的, 一般地,P(A∪B)≤P(A)+P(B).

作业:P121练习:1,2,3. P124习题3.1 A组:5,6.


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