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6-2第二节 一元二次不等式及其解法练习题(2015年高考总复习)


第二节

一元二次不等式及其解法

时间:45 分钟 分值:75 分 一、选择题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 1.(2013· 浙江卷)设集合 S={x|x>-2},T={x|x2+3x-4≤0},则 (?RS)∪T=( A.(-2,1] C.(-∞,1] 解析 ) B.(-∞,-4] D.[1,+∞)

/>
T={x|-4≤x≤1},?RS={x|x≤-2},由集合的运算性质

得(?RS)∪T={x|x≤1}. 答案 C

2. (2013· 黄冈市期末)已知集合 A={x∈R||lg|x||≤1}, B={x∈Z|x2 -2x-8<0},则 A∩B=( )

1 1 A.(-2,-10)∪(10,4) B.(-2,0)∪(0,4) C.{-1,1,2,3} D.{-1,0,1,2,3} 1 解析 -1<lg|x|<1,10<|x|<10, 1 1 ∴-10<x<-10或10<x<10. 1 1 A={x|-10<x<-10,或10<x<10} B={x|-2<x<4,x∈Z}={-1,0,1,2,3} A∩B={-1,1,2,3},选 C. 答案 C

1

? ?x+2,x≤0, 3.已知函数 f(x)=? 则不等式 f(x)≥x2 的解集是 ?-x+2,x>0, ?

(

) A.[-1,1] C.[-2,1] 解析 B.[-2,2] D.[-1,2]

? ? ?x≤0, ?x>0, ? ? 依题意得 或 2 2 ?-1≤x≤0 或 0< ? ? x + 2 ≥ x ? ?-x+2≥x

x≤1?-1≤x≤1. 答案 A

4. 若不等式 ax2+4x+a>1-2x2 对任意实数 x 均成立, 则实数 a 的取值范围是( ) B.a>2 或 a≤-3 D.-2<a<2

A.a≥2 或 a≤-3 C.a>2

解析 原不等式可化为(a+2)x2+4x+a-1>0,显然 a=-2 时 不等式不恒成立,所以要使不等式对于任意的 x 均成立,必须有 a+
? ?a+2>0, 2>0,且 Δ<0,即? 解得 a>2. ? ?16-4?a+2??a-1?<0,

答案

C

5 . (2014· 郯 城 调 研 ) 已 知 不 等 式 ax2 - bx - 1≥0 的 解 集 是 1? ? 1 ?- ,- ?,则不等式 x2-bx-a<0 的解集是( 3? ? 2 A.(2,3) B.(-∞,2)∪(3,+∞)
?1 1? C.?3,2? ? ?

)

1? ?1 ? ? D.?-∞,3?∪?2,+∞?
? ? ? ?
2

1 1 解析 由题意,知-2,-3是方程 ax2-bx-1=0 的根,所以由 1 ? 1? b 1 ? 1? 1 根与系数的关系,得-2+?-3?=a,-2×?-3?=-a.解得 a=-6, ? ? ? ? b=5,不等式 x2-bx-a<0 即为 x2-5x+6<0,解集为(2,3),故选 A. 答案 A

6.(2013· 重庆卷)关于 x 的不等式 x2-2ax-8a2<0(a>0)的解集为 (x1,x2),且 x2-x1=15,则 a=( 5 A.2 15 C. 4 ) 7 B.2 15 D. 2

解析 本题考查一元二次不等式,根与系数的关系. x +x =2a, ? ?1 2 x2=-8a2, 由题意知?x1· ? ?x2-x1=15 答案 A 5 5 ?a=2或 a=-2(舍去),故选 A.

二、填空题(本大题共 3 小题,每小题 5 分,共 15 分) 7 . 已 知 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 [0,2] , 则 f(x2 - 1) 的 定 义 域 为 __________. 解析 令 0≤x2-1≤2, ∴x∈[- 3,-1]∪[1, 3]. 答案 [- 3,-1]∪[1, 3]

? ?2x-1,x<2, 8.已知函数 f(x)=? 2 则满足不等式 f(x2-4)≤f(3x) ?x ,x≥2, ?

的 x 的取值范围是________.

3

解析

? ?2x-1,x<2, 作出函数 f(x)=? 2 的图象知,函数 f(x)在 R ?x ,x≥2, ?

上是增函数,则由 f(x2-4)≤f(3x)可得 x2-4≤3x,解得-1≤x≤4. 答案 [-1,4]

9.(2013· 重庆卷)设 0≤α≤π,不等式 8x2-(8sinα)x+cos2α≥0 对 x∈R 恒成立,则 α 的取值范围为________. 解析 由题意知 Δ=64sin2α-32cos2α≤0, ∴2sin2α-cos2α≤0,即 1-cos2α-cos2α≤0, 1 π π ∴cos2α≥2,∴2kπ-3≤2α≤2kπ+3,k∈Z. π π ∴kπ-6≤α≤kπ+6,k∈Z.又 α∈[0,π]. π? ?5π ? ? ∴α∈?0,6?∪? 6 ,π?.
? ? ? ?

π? ?5π ? ? 答案 ?0,6?∪? 6 ,π?
? ? ? ?

三、解答题(本大题共 3 小题,每小题 10 分,共 30 分) 10.解下列不等式: 2-x (1)8x-1≤16x2; (2) >1; x+3 (3)x2-2ax-3a2<0(a<0). 解 (1)原不等式转化为 16x2-8x+1≥0,即(4x-1)2≥0,则 x∈

R,故原不等式的解集为 R. (2) 原不等式可化为 ?2-x?-?x+3? -2x-1 2x+1 >0 ? >0 ? <0 ? x+3 x+3 x+3

1 (2x+1)(x+3)<0?-3<x<-2. 1 故原不等式的解集为{x|-3<x<-2}.
4

(3)原不等式转化为(x+a)(x-3a)<0, ∵a<0,∴3a<-a,得 3a<x<-a. 故原不等式的解集为{x|3a<x<-a}. 11.一个服装厂生产风衣,月销售量 x(件)与售价 p(元/件)之间的 关系为 p=160-2x,生产 x 件的成本 R=500+30x(元). (1)该厂月产量多大时,月利润不少于 1 300 元? (2)当月产量为多少时,可获得最大利润,最大利润是多少? 解 (1)由题意知,月利润 y=px-R,

即 y=(160-2x)x-(500+30x)=-2x2+130x-500. 由月利润不少于 1 300 元,得-2x2+130x-500≥1 300. 即 x2-65x+900≤0,解得 20≤x≤45. 故该厂月产量在 20~45 件时,月利润不少于 1 300 元. (2)由(1)得,y=-2x2+130x-500 65? 3 225 ? =-2?x- 2 ?2+ 2 ,
? ?

由题意知,x 为正整数. 故当 x=32 或 33 时,y 最大为 1 612(元). 所以当月产量为 32 或 33 件时, 可获最大利润, 最大利润为 1 612 元. 12.(2013· 安徽卷)设函数 f(x)=ax-(1+a2)x2,其中 a>0,区间 I ={x|f(x)>0}. (Ⅰ)求 I 的长度(注:区间(α,β)的长度定义为 β-α); (Ⅱ)给定常数 k∈(0,1), 当 1-k≤a≤1+k 时, 求 I 长度的最小值. 解 a , 1+a2 (Ⅰ)因为方程 ax-(1+a2)x2=0(a>0)有两个实根 x1=0,x2=

5

故 f(x)>0 的解集为{x|x1<x<x2}. a a 因此区间 I=(0, . 2),I 的长度为 1+a 1+a2 1-a2 a (Ⅱ)设 d(a)= ,则 d′(a)= (a>0). 1+a2 ?1+a2?2 令 d′(a)=0,得 a=1.由于 0<k<1,故 当 1-k≤a<1 时,d′(a)>0,d(a)单调递增; 当 1<a≤1+k 时,d′(a)<0,d(a)单调递减. 所以当 1-k≤a≤1+k 时,d(a)的最小值必定在 a=1-k 或 a=1 +k 处取得. 1-k 2 d?1-k? 1+?1-k? 2-k2-k3 而 = = <1, d?1+k? 1+k 2-k2+k3 1+?1+k?2 故 d(1-k)<d(1+k). 因 此 当 a = 1 - k 时 , d(a) 在 区 间 [1 - k,1 + k] 上 取 得 最 小 值 1-k . 2-2k+k2

6


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