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[教案精品]新课标高中数学人教A版必修四全册教案3.2简单的三角恒等变换(一)


3.2 简单的三角恒等变换(一) 一.教学目标 1、通过二倍角的变形公式推导半角的正弦、余弦、正切公式,体会化归、换元、方程、逆 向使用公式等数学思想,提高学生的推理能力。 2、理解并掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式,并会利用公式进行简单的恒等变形,体会 三角恒等变形在数学中的应用。 3、通过例题的解答,引导学生对变换对象目标进行对比、分析,促使学生形成对解题过程 中如何选择公式

,如何根据问题的条件进行公式变形,以及变换过程中体现的换元、逆 向使用公式等数学思想方法的认识,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力. 二、教学重点与难点 教学重点:引导学生以已有的十一个公式为依据,以推导积化和差、和差化积、半角公 式的推导作为基本训练,学习三角变换的内容、思路和方法,在与代数变换相比较中,体会 三角变换的特点,提高推理、运算能力. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提 高从整体上把握变换过程的能力. 三、教学设想: (一)复习:三角函数的和(差)公式,倍角公式 (二)新课讲授: 1、由二倍角公式引导学生思考: ?与

?
2

有什么样的关系?

学习和(差)公式,倍角公式以后,我们就有了进行变换的性工具,从而使三角变换 的内容、思路和方法更加丰富,这为我们的推理、运算能力提供了新的平台. 例 1、试以 cos? 表示 sin
2

?
2

, cos 2

?
2

, tan 2
2

?
2



解:我们可以通过二倍角 cos ? ? 2 cos 因为 cos ? ? 1 ? 2sin 因为 cos ? ? 2 cos
2
2

?
2

? 1 和 cos ? ? 1 ? 2sin 2 ? 1 ? cos ? ; 2

?
2

来做此题.

?
2

,可以得到 sin

2

?
2

?
2

? 1 ,可以得到 cos 2

?
2

?

1 ? cos ? . 2

又因为 tan

2

?
2

?

2 ? 1 ? cos ? . ? 1 ? cos ? cos 2 2

sin 2

?

思考:代数式变换与三角变换有什么不同? 代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换. 对于三角变换, 由于不同的三角函数式不 仅会有结构形式方面的差异, 而且还会有所包含的角, 以及这些角的三角函数种类方面的差 异, 因此三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系, 这是三角式恒等变换
1

的重要特点. 例 2.已知 sin ? ? 例 3、求证: (1)、 sin ? cos ? ?

5 ? ,且 ? 在第二象限,求 tan 的值。 13 2 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

(2)、 sin ? ? sin ? ? 2sin

? ??
2

cos

? ??
2



证明:(1)因为 sin ?? ? ? ? 和 sin ?? ? ? ? 是我们所学习过的知识,因此我们从等式右边 着手.

sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? sin ?? ? ? ? ? sin? cos ? ? cos? sin ? .
两式相加得 2sin ? cos ? ? sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ; 即 sin ? cos ? ?



1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? ?; 2?

(2)由(1)得 sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ? ? 2sin ? cos ? ①;设 ? ? ? ? ? ,? ? ? ? ? , 那么 ? ?

? ??
2

,? ?

? ??
2



把 ? , ? 的值代入①式中得 sin ? ? sin ? ? 2sin 思考:在例 3 证明中用到哪些数学思想?

? ??
2

cos

? ??
2



例 3 证明中用到换元思想,(1)式是积化和差的形式, (2)式是和差化积的形式,在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积 的公式. 三.练习:P142 面 1、2、3 题。 四.小结:要对变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识,学会灵活 运用. 五.作业:《习案》三十三。

2


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