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培优向量部分


一、基础知识: 1. 向量的运算: 加法:AB ? BC ? AC ; 减法: AB ? AC ? CB ; 实数与向量的积: 设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? ( x1 ? x2 , y1 ? y2 )

设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) 则 a ? b ? (

x1 ? x2 , y1 ? y2 ) 向 量 ?a 与 a 的 关 系 ; 设 a ? ( x , y) , 则 ? a ? (? x , ? y) (? ? R)

| a |? x2 ? y 2 , | ? a | ? | ? | ? | a |
向量的数量积:

a ? a ? a ?| a |2
设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 )

2

; a ? b ?| a | ? | b | ? cos? (? 是 a 与 b 的夹角)

则 a ? b ? x1 x2 ? y1 y2 2.向量的关系: ①不等关系: || a |? | b || ? | a ? b | ? | a | ? | b | ②设 a ? ( x1 , y1 ) , b ? ( x2 , y2 ) , b ? 0 则 a b ? a ? ?b ,

| a ? b | ? | a | ? | b | (注意等号的条件) a b ? x1 y2 ? x2 y1 ? 0

a ? b ? a? b ? 0 ;

a? b? 0? 1 x 2 x ? 1 y 2 y

3.平面向量的基本定理:如果 e1 , e2 是同一平面内的不共线向量,那么对于这个平面内的任一向量 a , 有且只有一对实数 ? , ? ,使 a ? ? e1 ? ? e2 。 相关结论:如果 e1 , e2 是同一平面内的不共线向量,且 ? e1 ? ? e2 ? 0 ,则 ? ? ? ? 0 点 O、A、B、C 在同一平面内,A、B、C 共线的充要条件是: OA ? xOB ? yOC ( x ? y ? 1) 4.常用公式:

(a ? b)2 ? a ? 2a ? b ? b

2

2

(a ? b) ? (a ? b) ? a ? b

2

2

?ABC 中,M 为 BC 边的

中点,G 为重心, 则 AB ? BC ? CA ? 0 ; 二、综合应用:

1 AM ? ( AB ? AC ) ; GA ? GB ? GC ? 0 2

1.下面给出的关系式中正确的个数是
2 2

(

)

(1)0 ? a ? 0; (2)a ? b ? b ? a; (3)a ? a ; (4)(a ? b)c ? a(b ? c);(5) a ? b ? a ? b (C )2 ( D)3 ? ? ? ? ? ? ? ? 2、在四边形 ABCD 中, AB ? a ? 2b , 其中 a 、b 不共线, BC ? ?4a ? b , CD ? ?5a ? 3b ,
则四边形 ABCD 是:…………………………………………………………………( (A)梯形 (B)矩形 (C)菱形 (D)正方形 3、 a ? (2,1),b ? (3,4), 则向量 a 在向量 b 方向上的投影为: ……………………( (A) 2 5 (B) 2 (C) 5 (D) 10 )

( A)0

( B)1

?

?

?

?



4、已知Δ ABC 的三个顶点 A、B、C 及所在平面内一点 P 满足 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 与Δ ABC 的关系是: ……………………………………………………………( A、P 在Δ ABC 内部 B、P 在Δ ABC 外部 C、P 在直线 AB 上 D、P 在Δ ABC 的 AC 边的一个三等分点上 )

, b ? 2, a ?b ? 5、若 a ? 1
(A) ? 6、

?

?

?

?

? ? 7,则a与b 的夹角? 的余弦值为:………………(
1 2
(C)



1 2

(B)

1 3

(D)以上都不对 )

ABCD 的 3 个顶点为 A(a,b),B(-b,a),C(0,0),则它的第 4 个顶点 D 的坐标是: ( A.(2a,b) B.(a-b,a+b) C.(a+b,b-a) D.(a-b,b-a)

7、△ABC 的三边长分别为 AB=7,BC=5,CA=6,则 AB ? BC 的值为:………………( (A)19 (B)-19 (C)-18 (D)-14



8、在Δ ABC 中, AB ? c , BC ? a , CA ? b ,给出下列命题: ①若 a ? b ? 0 ,则Δ ABC 为钝角三角形 ②若 a ? b ? 0 , 则Δ ABC 为直角三角形

③若 a ? b ? b ? c , 则Δ ABC 为等腰三角形 ④若 c ? (a ? b ? c) ? 0 ,则Δ ABC 为正三角形; 其中真命题的个数是:…………………………………………………………( A.1 B. 2 C. 3 D.4 )

9. 设 e1 , e2 为两个不共线的向量, 若a ? e1 ? ? e2与 b ? ?(2e1 ? 3e2 )共线, 则? ? _____ 10、 在三角形 ABC 中, 设 AB ? a ,AC ? b , 点 D 在线段 BC 上, 且 BD ? 3DC , 则 AD 用 a , b 表示为 。

11、已知 O 是坐标原点, A(3,1), B( ?1, 3) ,若点 C 满足 OC ? ? OA ? ? OB ,其中 ? , ? ? R , 且 ? ? ? ? 1 ,求点 C 的轨迹方程.

? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 12、平面内有四个向量 a、b 、x、y ,满足 a ? y ? x,b ? 2x ? y , a ? b , a ? b ?1

(1)用 a 、b 表示 x 、y ;

?

?

?

?

(2)若 x 与y 的夹角为 ? ,求 cos ? 的值.

?

?

13. 如图, AB ? (6,1), BC ? (x, y),CD ? (?2, ?3) ,

(1)若 BC ∥ DA ,求 x 与 y 间的关系; (2)若又有 ..AC ? BD ,求 x,y 的值及四边形 ABCD 的面积。

14.单位向量OA, OB的夹角为30 , 且OP与OA 的夹角为30 , OP ? 2, 如图, 若OP ? ? OA ? kOB, 求? , k的值.
B 30o 30o

O

A

P

15:已知 O 为 ?ABC 内一点, ?AOB ? 150 , ?BOC ? 90 ,设 OA ? a , OB ? b , OC ? c , 且
| a |? 2 , | b |? 1 , | c |? 3 ,试用 a, b 表示 c 。

16: (1)已知 ?ABC 三个顶点 A、B、C 及平面内一点 P,若 PA ? PB ? PC ? AB ,则点 P 在 ( ) A B ?ABC 外部 C 在直线 AB 上 D 在直线 AC 上 ?ABC 内部 (2)O 是平面上一 定点,A、B、C 是平面上不共线的三个点,动点 P 满足
O P? O ? A? ( AC ? ?? ? [ 0 ?? , 则 ) . P 的轨迹一定通过△ABC 的 | AB| | AC| AB





A.外心

B.内心

C.重心

D.垂心

(3) 在四边形 ABCD 中, 设 AB ? a ,BC ? b ,CD ? c ,DA ? d , 若 a ?b ?b ?c ?c ?d ?d ?a , 则该四边形一定是( ) A 矩形 B 正方形 C 菱形 D 等腰梯形 17. 向? (2) k a ? b 与 a ? 3b 垂直? 已知 a ? (1, 2) , b ? (?3, 2) ,当 k 为何值时: (1) k a ? b 与 a ? 3b 平行?平行时是否同

7.如图,在平面斜坐标系 xOy中, ?xOy ? 60? ,平面上任一点 P 关于斜坐标系的斜坐标是这 样定义的:若 op ? xe1 ? ye2 ,其中 e1 , e2 分别为与 x 轴 y 轴同方向的单位向量,则 斜坐标为 ( x, y ) . 若 p 点斜坐标为(2,-2) ,求 p 到 O 的距离|PO|;
o
60 ?

y

p点

x


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