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2015高考理科数学《曲线与方程》练习题

时间:2014-09-10


2015 高考理科数学《曲线与方程》练习题
[A 组 一、选择题 1.方程 x2-y2=0 对应的图象是( ) 基础演练·能力提升]

解析:由 x2-y2=0 得,y=x 或 y=-x, 故选 C. 答案:C 2. 已知点 P 是直线 2x-y+3=0 上的一个动点, 定点 M(-1,2) , Q 是线段 PM 延长线上的一点, 且|PM|=|MQ|,则 Q 点的轨迹方程是( A.2x+y+1=0 C.2x-y-1=0 ) B.2x-y-5=0 D.2x-y+5=0

解析:设 Q(x,y),则 P 为(-2-x,4-y),代入 2x-y+3=0 得 2x-y+5=0. 答案:D 3.已知 A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以 C 为一个焦点的椭圆经过 A,B 两点,则椭圆的另一 个焦点 F 的轨迹方程是( A.y - =1(y≤-1) 48 C.x - =1(x≤-1) 48
2 2

) B.y - D.x -
2 2

x2 y2

x2
48

=1(y≥1) =1 (x≥1)

y2
48

解析:由题意知|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14, 又∵|AF|+|AC|=|BF|+|BC|, ∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2, 故点 F 的轨迹是以 A, B 为焦点 , 实轴长为 2 的双曲线的下支. 又

x2 c=7,a=1,b2=48,∴点 F 的轨迹方程为 y2- =1(y≤-1).
48
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答案:A 4.有一动圆 P 恒过定点 F(a,0)(a>0)且与 y 轴相交于点 A、B,若△ABP 为正三角形,则点 P 的 轨迹为( ) B.圆 D.双曲线

A.直线 C.椭圆

解析:设 P(x,y),动圆 P 的半径为 R,由于△ABP 为正三角形, ∴P 到 y 轴的距离 d= 而 R=|PF|= ∴|x|= 3 · 2 3 3 R,即|x|= R. 2 2
2

x-a x-a

+y2, +y2.

2

整理得(x+3a)2-3y2=12a2,

x+3a 即 12a2

2

y2 - 2=1. 4a

∴点 P 的轨迹为 双曲线. 答案:D → → 5.已知点 A(1,0)和圆 C:x2+y2=4 上一点 R,动点 P 满足RA=2AP,则点 P 的轨迹方程为( 3? ? A.?x- ?2+y2=1 2? ? 3? ? C.x2+?y- ? 2=1 2? ? 解析:设 P(x,y),R(x0,y0), → → 则有RA=(1-x0,-y0),AP=(x-1,y). → → 又RA=2AP, 3? ? B.?x+ ?2+y2=1 2? ? 3? ? D.x2+?y+ ?2=1 2? ? )

x- ?1-x0= ∴? ?-y0=2y.



?x0=-2x+3, ∴? ?y0=-2y.

又 R(x0,y0)在圆 x2+y2=4 上, 3? ? ∴(-2x+3)2+(-2y)2=4,即?x- ?2+y2=1. 2? ? 答案:A
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6.设 A1,A2 是椭圆 + =1 的长轴两个端点,P1,P2 是垂直于 A1A2 的弦的端点,则直线 A1P1 与 9 4

x2 y2
)

A2P2 交点的轨迹方程为(
A. + =1 9 4 C. - =1 9 4

x2 y2 x2 y2

B. + =1 9 4 D. - =1 9 4

y2 x2 y2 x2

解析:设交点为 P(x,y),A1(-3,0),A2(3,0),P1(x0,y0),P2(x0,-y0), ∵A1,P1,P 共线,∴ ∵A2,P2,P 共线,∴

y-y0 y = .① x-x0 x+3 y+y0 y = .② x-x0 x-3 x

9 3y 由①②解得 x0= ,y0= ,

x

代入 + =1,化简,得 - =1. 9 4 9 4 答案:C 二、填空题 7.△ABC 的顶点 A(-5,0),B(5,0),△ABC 的内切圆圆心在直线 x=3 上,则顶点 C 的轨迹方程 是________. 解析:如图,|AD|=|AE|=8,

x2 y2 0 0

x2 y2

|B F|=|BE|=2,|CD|=|CF|, 所以|CA|-|CB|=8-2=6. 根据双曲线定义, 所求轨迹是以 A, B 为焦点, 实轴长为 6 的双曲线的右支, 方程为 - =1(x>3). 9 16 答案: - =1(x>3) 9 16 8.(2014 年成都模拟)P 是椭圆 2+ 2=1 上的任意一点,F1、F2 是它的两个焦点,O 为坐标原点,
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x2

y2

x2

y2

x2 y2 a b

→ → → 有一动点 Q 满足OQ=PF1+PF2,则动点 Q 的轨迹方程是________. → → → 解析:由OQ=PF1+PF2,

→ → → 又PF1+PF2=PM= → → 2PO=-2OP, 设 Q(x,y), → 1→ 则OP=- OQ 2

y? ? x =?- ,- ?, 2? ? 2 y? ? x 即 P 点坐标为?- ,- ?,又 P 在椭圆上, 2 2? ?
? x?2 ?- ? ? 2? ? y?2 ?- ? ? 2?

则有

a2



b2

=1,

x2 y2 即 2+ 2=1. 4a 4b x2 y2 答案: 2+ 2=1 4a 4b
9.已知真命题:若 A 为⊙O 内一定点,B 为⊙O 上一动点,线段 AB 的垂直平分线交直线 OB 于点

P,则点 P 的轨迹是以 O,A 为焦点,OB 长为长轴长的椭圆.类比此命题,写出另一个真命题:若 A
为⊙O 外一定点, B 为⊙O 上一动点, 线段 AB 的垂直平分线交直线 OB 于点 P, 则点 P 的轨迹是________. 解析:如图,连接 AP,由于 P 是线段 AB 垂直平分线上一点,

故有|PA|=|PB|,
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因此||PA|-|PO||=||PB|-|PO||=|OB|=R=定值,其中 R 为⊙O 的半径. 又由于点 A 在圆外, 故||PA|-|PO||=|OB|=R<|OA|, 故动点 P 的轨迹 是以 O,A 为焦点,OB 为实轴长的双曲线. 答案:以 O,A 为焦点,OB 为实轴长的双曲线 三、解答题 10.如图所示,直线 l1 与 l2 相交于点 M,l1⊥l2,点 N∈l1,以 A、B 为端点的曲线段 C 上的任一点 到 l2 的距离与到点 N 的距离相等.若△AMN 为锐角 三角形,|AM|= 17,|AN|=3,且|NB|=6,建立 适当的坐标系,求曲线段 C 的方程.

解析:以 l1 为 x 轴,l2 为 y 轴建立平面直角坐标系,M 为坐标原点.作 AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2, 垂足分别为 E、D、F.

设 A(xA,yA),B(xB,yB),N(xN,0). 依题意有 xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,

yA=|DM|= |AM|2-|DA|2=2 2.
∵△AMN 是锐角三角形, ∴xN=|ME|+|EN| =|ME|+ |AN|2-|AE|2=4,

xB=|BF|=|BN|=6.
设 P(x,y)是曲线段 C 上任一点, 则 P∈{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}. ∴曲线段 C 的方程为 y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0). 11.已知圆 C 的方程为 x2+y2=4. (1)求过点 P(1,2)且与圆 C 相切的直线 l 的方程; (2)直线 l 过点 P(1,2),且与圆 C 交于 A、B 两点,若|AB|=2 3,求直线 l 的方程;
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→ → → → (3)圆 C 上有一动点 M(x0,y0),ON=(0,y0),若向量OQ=OM+ON,求动点 Q 的轨迹方程,并说明 此轨迹是什么曲线. 解析:(1)显然直线 l 的斜率存在,设 切线方程为 y-2=k(x-1),则由 |2-k| =2,得 k1=0, k2+1

k2=- ,从而所求的切线方程为 y=2 和 4x+3y-10=0.
(2)当直线 l 垂直于 x 轴时, 此时直线方程为 x=1, l 与圆的两个交点坐标为(1, 3)和(1, - 3), 这两点的距离为 2 3,满足题意;当直线 l 不垂直于 x 轴时,设其方程为 y-2=k(x-1), 即 kx-y-k+2=0,设圆心到此直线的距离为 d(d>0),则 2 3=2 4-d2,得 d=1,从而 1= |-k+2| 3 ,得 k= ,此时直线方程为 3x-4y+5=0,综上所述,所求直线方程为 2 4 k +1 3x-4y+5=0 或 x=1. → → → → (3)设 Q 点的坐标为(x, y),M 点坐标是(x0,y0),ON=(0,y0),∵OQ=OM+ON,∴(x,y)=(x0,2y0) ?y?2 2 2 ?x=x0,y=2y0.∵x2 0+y0=4,∴x +? ? =4, ?2? 即 + =1. 4 16 ∴Q 点的轨迹方程是 + =1,轨迹是一个焦点在 y 轴上的椭圆. 4 16 → → 2 5 12. (能力提升)(2014 年恩施模拟)在直角坐标平面上, O 为原点, M 为动点, |OM|= 5, ON= 5 →

4 3

x2

y2

x2

y2

OM.过点 M 作 MM1⊥y 轴于点 M1, 过 N 作 NN1⊥x 轴于点 N1, OT=M1M+N1N.记点 T 的轨迹为曲线 C, 点 A(5,0)、 B(1,0),过点 A 作直线 l 交曲线 C 于两个不同的点 P、Q(点 Q 在 A 与 P 之间).
(1)求曲线 C 的方程; (2)是否存在直线 l,使得|BP|=|BQ|,并说明理由. 解析:(1)设点 T 的坐标为(x,y),点 M 的坐标为(x′,y′),则 M1 的坐标为(0,y′), →







ON=

?2 5 ? ?2 5 ? 2 5→ 2 5 2 5 OM= (x′, y′), 于是点 N 的坐标为? N1 的坐标为? x′, y′?, x′,0?, 5 5 5 ? 5 ? ? 5 ?

→ → ? 2 5 ? 所以M1M=(x′,0),N1N=?0, y′?. 5 ? ?
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?x=x′, ? 2 5 ? 由OT=M1M+N1N,有(x,y)=(x′,0)+?0, y′?,所以? 2 5 5 ? ? ?y= 5 y′
→ → → 由此得 x′=x,y′= →
′2

.

5 y. 2
′2 2

? 5 ?2 x2 y2 由|OM|= 5,得 x +y =5,所以 x +? y? =5,得 + =1,即所求的方程表示的曲线 C 是 5 4 ?2 ? 椭圆. (2)点 A(5,0)在曲线 C 即椭圆的外部,当直线 l 的斜率不存在时,直线 l 与椭圆 C 无交点,所以 直线 l 的斜率存在,并设为 k,直线 l 的方程为 y=k(x-5).

y ?x + =1, 由方程组? 5 4 ?y=k x-

2

2

得(5k2+4)x2-50k2x+125k2-20=0.

依题意知 Δ =20(16-80k2)>0, 得- 当- 5 5 <k< . 5 5 5 5 <k< 时,设交点 P(x1,y1),Q(x2,y2),PQ 的中点为 R(x0,y0), 5 5

50k2 x1+x2 25k2 则 x1+x2= 2 ,x0= = 2 . 5k +4 2 5k +4
2 2 ? 25k ? -20k -5?= 2 . ∴y0=k(x0-5)=k? 2 ?5k +4 ? 5k +4

又|BP|=|BQ|?BR⊥l?k·kBR=-1, 20k 5k2+4 20k2 2 2 2 2 k·kBR=k· 2 = 2=-1?20k =20k -4,而 20k =20k -4 不可能成立,所以不存 25k 4-20k 1- 2 5k +4 在直线 l,使得|BP|=|BQ|. [B 组 因材施教·备选练习]

1.已知点 M(-3,0),N(3,0),B(1,0),动圆 C 与直线 MN 切于点 B,过 M、N 与圆 C 相切的两直 线相交于点 P,则 P 点的轨迹方程为( A.x2- =1(x>1) 8 ) B.x2- =1(x<-1) 8
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y2

y2

C.x + =1(x>0) 8

2

y2

D.x -

2

y2
10

=1(x>1)

解析:如图所示,设直线 MP 与直线 NP 分别与动圆 C 切于点 E、F,则|PE|=|PF|,|ME|=|MB|, |NF|=|NB|.从而|PM|-|PN|=|ME|-|NF|=|MB|-|NB|=4-2=2<|MN|,所以点 P 的轨迹是以 M、N 为焦点,实轴长为 2 的双曲线的右支.设对应的双曲线方程为 2- 2=1,则 a=1,c=3,b2=8.故 P 点的轨迹方程为 x2- =1(x>1). 8

x2 y2 a b

y2

答案:A 2.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点,在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内 的轨迹是( A.直线 C.抛物线 ) B.椭圆 D.双曲线

解析:在棱长为 a 的正方体 ABCD-A1B1C1D1 中,DC 与 A1D1 是两条相互垂直的异面直线,平面 ABCD 过直线 DC 且平行于 A 1D1,以 D 为原点,分别以 DA、DC 为 x 轴、y 轴建立平面直角坐标系,设点 P(x,

y)在平面 ABCD 内,且到 A1D1 到 DC 的距离相等,∴|x|= y2+a2,∴x2-y2=a2,故该轨迹为双曲线.

答案:D 3.由抛物线 y2=2x 上任意一点 P 向其准线 l 引垂线,垂足为 Q,连接顶点 O 与 P 的直线和连接 焦点 F 与 Q 的直线交于点 R,则点 R 的轨迹方程是________.
2 ?y0 ? ?1 ? ? 1 ? 解析:设 P? ,y0?,则 F? ,0?,Q?- ,y0? 2 2 2 ? ? ? ? ? ?

2 ∴OP 的方程 y= x①

y0

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QF 的方程为:y=-y0?x- ?②
由①、②消去 y0 得 y2=-2x2+x. 答案:y2=-2x2+x

? ?

1? 2?

======*以上是由明师教育编辑整理======

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