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高考复习专题之圆锥曲线

时间:2014-07-08


高考复习专题之圆锥曲线
临澧一中数学组:易 容
圆锥曲线将几何与代数进行了完美结合.借助纯代数的解决手段研究曲线的概念和性质 及直线与圆锥曲线的位置关系,从数学家笛卡尔开创了坐标系那天就已经开始. 高考中它依然是重点,主客观题必不可少,易、中、难题皆有.为此需要我们做到: 1.重点掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和性质.这些都是圆锥曲线的基石,高考中 的题目

都涉及到这些内容. 2.重视求曲线的方程或曲线的轨迹, 此处作为高考解答题的命题对象难度较大.所以要掌 握住一般方法:定义法、直接法、待定系数法、相关点法、参数法等. 3.加强直线与圆锥曲线的位置关系问题的复习.此处一直为高考的热点.这类问题常涉及 到圆锥曲线的性质和直线的基本知识点、线段的中点、弦长、垂直问题,因此分析问题时利 用数形结合思想和设而不求法与弦长公式及韦达定理联系去解决.这样加强了对数学各种能 力的考查. 4.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程. (1)基本方法: 1. 待定系数法:求所设直线方程中的系数,求标准方程中的待定系数 a 、 b 、 c 、 e 、

p 等等;
2. 齐次方程法:解决求离心率、渐近线、夹角等与比值有关的问题; 3. 韦达定理法: 直线与曲线方程联立, 交点坐标设而不求, 用韦达定理写出转化完成。 要注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根; 4. 点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。也叫五条等式法:点满足方程两个、中 点坐标公式两个、斜率公式一个共五个等式; 5. 距离转化法:将斜线上的长度问题、比例问题、向量问题转化水平或竖直方向上的 距离问题、比例问题、坐标问题; (2)基本思想: 1. “常规求值”问题需要找等式, “求范围”问题需要找不等式; 2. “是否存在”问题当作存在去求,若不存在则计算时自然会无解; 3.证明“过定点”或“定值” ,总要设一个或几个参变量,将对象表示出来,再说明与 此变量无关;
1

4.证明不等式,或者求最值时,若不能用几何观察法,则必须用函数思想将对象表示 为变量的函数,再解决; 5.有些题思路易成,但难以实施。这就要优化方法,才能使计算具有可行性,关键是 积累“转化”的经验; 6.大多数问题只要忠实、准确地将题目每个条件和要求表达出来,即可自然而然产生 思路。 一、求直线、圆锥曲线方程、离心率、弦长、渐近线等常规问题

例 1.(1) 【浙江理数】设 F1 、 F2 分别为双曲线 点.若在双曲线右支上存在点

x2 y2 ? ? 1, ( a >0、 b >0)的左、右焦 a 2 b2

,满足 PF2 ? F1F2 ,且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线

的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为( )

A. 【答案】C

B.

C.

D.

(2) 设双曲线的一个焦点为

,虚轴的一个端点为

,如果直线

与该双曲线的一条渐

近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )

A. 【答案】D

B.

C.

D.

1 1 x2 y 2 例 2. (14 分)已知椭圆 2 ? 2 ? 1 ?a ? b ? 0?.过点(2,—1)且方向向量为 a ? ( , ? ) 2 2 a b
的直线 L 交椭圆与 A、B 两点。

⑴若线段 AB 的中点为 M,求直线 OM 的斜率(用 a、 b 表示) ; ⑵若椭圆的离心率为

3 ,焦距为 2,求线段 AB 的长; 3

⑶在⑵的条件下,设椭圆的左焦点为 F 1 ,求 ?ABF 1 的面积。 点评:常规求值问题的方法:待定系数法,先设后求,关键在于找等式。 例 3、 (1) 动圆 M 与圆 C1:(x+1)2+y2=36 内切,与圆 C2:(x-1)2+y2=4 外切,求圆心 M 的轨迹方程。
2

分析:作图时,要注意相切时的“图形特征” :两个圆心与切点这三点共线(如图中的 A、M、C 共线,B、D、M 共线) 。列式的主要途径是动圆的“半径等于半径” (如图中的 。 MC ? MD ) 解:如图, MC ? MD , ∴ AC ? MA ? MB ? DB即6 ? MA ? MB ? 2 ∴ MA ? MB ? 8 (*)

y M D C 5 x

A

0B

∴点 M 的轨迹为椭圆,2a=8,a=4,c=1,b2=15 轨迹方程为

x2 y2 ? ?1 16 15

点评:得到方程(*)后,应直接利用椭圆的定义写出方程,而无需再用距离公式列式
2 2 求解,即列出 ( x ? 1) ? y ?

( x ? 1) 2 ? y 2 ? 4 ,再移项,平方,?相当于将椭圆标准

方程推导了一遍,较繁琐! 例 3、 (2)△ABC 中,B(-5,0),C(5,0),且 sinC-sinB=

3 sinA,求点 A 的轨迹方程。 5

分析:由于 sinA、sinB、sinC 的关系为一次齐次式,两边乘以 2R(R 为外接圆半径) , 可转化为边长的关系。

3 sinA 5 3 ∴ AB ? AC ? BC 5
解:sinC-sinB=

2RsinC-2RsinB=

3 ·2RsinA 5
(*)

即 AB ? AC ? 6

∴点 A 的轨迹为双曲线的右支(去掉顶点) ∵2a=6,2c=10 ∴a=3, c=5, b=4

x2 y2 ? ? 1 (x>3) 所求轨迹方程为 9 16

点评:要注意利用定义直接解题,这里由(*)式直接用定义说明了轨迹(双曲线右支) 二、 “是否存在”问题
2 例 4. 已知定点 A (-2, -4) , 过点 A 作倾斜角为 45 度的直线 L, 交抛物线 y ? 2 px( p >0)

于 B、C 两点,且线段 BC 长为 2 10 。 (I)求抛物线的方程; (II)在(I)中的抛物线上是否存在点 D,使得 DB=DC 成立?若存在,求出点 D 的坐 标,若不存在,请说明理由。

3

(答: y 2 ? 2 x 。存在点 D(2,2)或(8,-4) ) 例 5. 【北京理数】在平面直角坐标系 xOy 中,点 B 与点 A(-1,1)关于原点 O 对称,P 是

动点,且直线 AP 与 BP 的斜率之积等于 (Ⅰ)求动点 P 的轨迹方程;

.

(Ⅱ)设直线 AP 和 BP 分别与直线 x=3 交于点 M,N, 问: 是否存在点 P 使得△PAB 与△PMN 的面积相等?若存在,求出点 P 的坐标;若不存在,说明理由。

三、过定点、定值问题 例 6、已知抛物线 S 的顶点在坐标原点,焦点在 x 轴上, ?ABC 的三个顶点都在抛物线上, 且 ?ABC 的重心为抛物线的焦点,若 BC 所在直线 L 的方程为 4x+y-20=0. (Ⅰ)求抛物线 S 的方程; (Ⅱ)若 O 是坐标原点,P、Q 是抛物线 S 上的两动点,且满足 OP ? OQ 。试说明动直 线 PQ 是否过一个定点。 (答: y ? 16 x ,定点为 M(16,0) )
2

x2 y 2 例 7.已知椭圆 C: 2 ? 2 ? 1( a > b >0) ,过焦点垂直于长轴的弦长为 1,且焦点与短轴两 a b
端点构成等边三角形。 (Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)过点 Q(—1,0)的直线 L 交椭圆于 A、B 两点,交直线 x = —4 于点 E,设

AQ ? ?QB , AE ? ? EB 。求证: ? ? ? 为定值,并计算出该定值。
点评:距离转化法把斜线上的转化为垂直与水平上的,比如向量中的比例以坐标转化,比如 抛物线中焦半径与到准线距离的转化。 例 8.过抛物线 y ? 4ax ( a >0)的焦点 F 作任意一条直线分别交抛物线于 A、B 两点,如
2

果 ?AOB (O 为原点)的面积是 S,求证:

S2 3 为定值。 (答: a ) AB

点评:证明定值问题的方法:⑴常把变动的元素用参数表示出来,然后证明计算结果与参数

4

无关;⑵也可先在特殊条件下求出定值,再给出一般的证明。 处理定点问题的方法:⑴常把方程中参数的同次项集在一起,并令各项的系数为零, 求出定点;⑵也可先取参数的特殊值探求定点,然后给出证明。 四.最值问题 例 9.定长为 3 的线段 AB 的两个端点在抛物线 y 2 ? x 上移动,记线段 AB 的中点为 M,求 点 M 到 y 轴的最短距离,并求此时点 M 的纵坐标。 (答:最短距离为

5 2 ,M 的纵坐标为 ? ) 4 2

点评:最值问题的方法:几何法、配方法(转化为二次函数的最值) 、三角代换法(转化为 三角函数的最值) 、利用切线的方法、利用均值不等式的方法等。 五、求参数范围问题。 常用思路:寻找不等式。将各限制条件都列出,再求交集。不要遗漏限制条件。 常用建立不等式的途径: (1) 直线与曲线有交点时判别式大于等于零; ⑵ 圆锥曲线中变量 X、Y 的取值范围; ⑶ 点与曲线的位置关系,如弦的中点在曲线内部; ⑷ 已知题设中有的范围; ⑸ 正弦函数、余弦函数的有界性; ⑹ 均值不等式; ⑺ 焦半径的取值范围; ⑻ 函数的值域; ⑼ 三角形图形中两边之和大于第三边。 例 10: (1).若直线 y=kx+1 与焦点在 x 轴上的椭圆 围为_________.(答: 1,5 ?

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,则 t 的取值范 5 t

?

x2 y2 ? ? 1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任意一 (2)若点 O 和点 F 分别为椭圆 4 3
点,则 OP ? FP 的最大值为( )

5

A.2

B.3

C.6

D.8

【答案】C(利用圆锥曲线中变量 X、Y 的取值范围; )

(3)设 a >1,则双曲线

x2 y2 ? ? 1 的离心率 e 的取值范围为_________; a 2 (a ? 1)2

(答:

?

2, 5 )

?

(4)若 F1 、 F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点,过 F1 作垂直于 x 轴的直线交双曲 a 2 b2

线于 A、B 两点,若 ?ABF2 为锐角三角形,则双曲线的离心率的取值范围为____________; (答: 1,1 ?

?

2 )

?

(5)若 M 是椭圆

x2 y2 ? ? 1 上的任意一点, F1 、 F2 是椭圆的左、右焦点,则 9 4

MF1 ? MF2 的最大值为____;
(答:9(利用均值不等式) (6)若点 P 是抛物线 y ? 2 x 上的一个动点,则点 P 到点(0,2)的距离与点 P 到准
2

线的距离之和的最小值为__________;

(答:

17 ) (利用三角形两边之和大于第三边) 2

六、规范解题 解析几何在高考中经常是两小题一大题: 两小题经常是常规求值类型, 一大题中的第一 小题也经常是常规求值问题, 故常用方程思想先设后求即可。 解决第二小题时常用韦达定理 法结合以上各种题型进行处理,常按照以下七步骤: 一设直线与方程; (提醒:①设直线时分斜率存在与不存在;②设为 y=kx+b 与 x=my+n 的区别)二设交点坐标; (提醒:之所以要设是因为不去求出它,即“设而不求”)

6

三则联立方程组;四则消元韦达定理; (提醒:抛物线时经常是把抛物线方程代入直线 方程反而简单)五根据条件重转化;常有以下类型: ①“以弦 AB 为直径的圆过点 0” ? OA ? OB ? k1 ? k 2 ? ?1 (提醒:需讨论 K 是否存在) ? OA ? OB ? 0 ? x1 x2 ? y1 y2 ? 0 ②“点在圆内、圆上、圆外问题” ? “直角、锐角、钝角问题”

? “向量的数量积大于、等于、小于 0 问题” ? x1 x2 ? y1 y2 >0;
③“等角、角平分、角互补问题” ? 斜率关系( K1 ? K 2 ? 0 或 K1 ? K 2 ) ; ④“共线问题” (如: AQ ? ?QB ? 数的角度:坐标表示法;形的角度:距离转 化法) ; (如:A、O、B 三点共线 ? 直线 OA 与 OB 斜率相等) ; ⑤“点、线对称问题” ? 坐标与斜率关系;⑥“弦长、面积问题” ;六则化简与计算; ? 转化为坐标与弦长公式问题(提醒:注意两个面积公式的合理选择) 七则细节问题不忽略;①判别式是否已经考虑;②抛物线问题中二次项系数是否会出现 0. 七、站在系统的高度探究问题的本原 解析几何主要考察“直线与圆锥曲线的位置关系” ,这里就仅举直线与抛物线的位置关 系为例。 请证明以下命题:

2 案例一:抛物线 y ? 2 px ( p >0) ,过焦点 F(

p ,0)作一条弦 AB 交抛物线于 A、B 两点, 2

其中 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 。如图 (一) 有关定值问题:

7

p2 , y1 y2 ? ? p 2 ; (1) x1 x2 ? (2) kOA ? kOB ? ?4 4
(3) OA ? OB ? ?

3 2 1 1 2 P ; (4) ? ? ; 4 FA FB P

(5)过抛物线的焦点作两条垂直的弦 AB,CD,则

1 1 1 ; ? ? AB CD 2 P

(二) 与数列有关的问题 (1) AB 为焦点弦,T 为准线上任意一点,则 TA、TF、TB 的斜率成等差数列; (2) AB 为焦点弦,过点 A、B 的切线相交于点 M,则 MA 、 MF 、 MB 成等比数列; (三) 有关圆的问题 (1) 以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切;以 A1 B1 为直径的圆与抛物线的弦 AB 相切; (2) 以 AF 为直径的圆与 y 轴相切;以 BF 为直径的圆与 y 轴相切; (3) 其中性质(1) ? 抛物线的准线与 x 轴的交点 E 在以 AB 为直径的圆外。 (四) 有关共线问题 (1)A、O、 B1 三点共线; (2)B、O、 A1 三点共线; (五) 有关平分问题: EF 平分 ? AEB ? K AE ? KBE ? 0 (六) 有关面积问题

(1) S?OAB ?

P2 ; 2sin ?

(2)

2 2 S? S? P3 A1 FB1 OAB ? 4; ; ( 3 ) ? S?FBB1 ? S?FAA1 AB 8

(七)有关定点问题 符合以上任一条性质的弦 AB 过一定点 F(即抛物线的焦点) 。

8

案例二:抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0) ,过点 P ( 2 p ,0)作一条弦 AB 交抛物线于 A、B 两点, 其中 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 。则 (一) OA ? OB ; (二)以 AB 为直径的圆经过原点; (三) S?OAB 的最小值为 4 p2 ,此时 AB ? x轴 ; (四)当 AB ? x轴 时,以 AB 为直径的圆的面积最小; (五) 过 O 作 OM ? AB , 垂足为 M, 则 M 点必在一个圆的圆周上; (答: ( x ? p)2 ? y 2 ? p2 , 除原点外) ; 案例三:抛物线 y 2 ? 2 px ( p >0) ,过点 M( p ,0)作一条弦 AB 交抛物线于 A、B 两点, 其中 A( x1 , y1 ) 、B( x2 , y2 ) 。 (一) OA ? OB ? ? P ;
2

(二)

1 MA
2

?

1 MB
2

?

1 ; P2

(三)

2 S? A1 FB1

S?FBB1 ? S?FAA1

? 4。

八、 【思维总结】 1.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用,注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些 性质; 2.复习时要突出“曲线与方程”这一重点内容 曲线与方程有两个方面:一是求曲线方程,二是由方程研究曲线的性质.这两方面的问 题在历年高考中年年出现,且常为压轴题.因此复习时要掌握求曲线方程的思路和方法,即 在建立了平面直角坐标系后,根据曲线上点适合的共同条件找出动点 P(x,y)的纵坐标 y 和横坐标 x 之间的关系式,即 f(x,y)=0 为曲线方程,同时还要注意曲线上点具有条件, 确定 x,y 的范围,这就是通常说的函数法,它是解析几何的核心,应培养善于运用坐标法 解题的能力,求曲线的常用方法有两类:一类是曲线形状明确且便于用标准形式,这时用待 定系数法求其方程;另一类是曲线形状不明确或不便于用标准形式表示,一般可用直接法、 间接代点法、 参数法等求方程。 二要引导如何将解析几何的位置关系转化的代数数量关系进
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而转化为坐标关系,由方程研究曲线,特别是圆锥曲线的几何性质问题常化为等式解决,要 加强等价转化思想的训练。 3.重视对数学思想、方法进行归纳提炼,达到优化解题思维、简化解题过程 ①方程思想, 解析几何的题目大部分都以方程形式给定直线和圆锥曲线, 因此把直线与圆锥 曲线相交的弦长问题利用韦达定理进行整体处理,就简化解题运算量 ②用好函数思想方法 对于圆锥曲线上一些动点,在变化过程中会引入一些相互联系、相互制约的量,从而使一些 线的长度及 a,b,c,e 之间构成函数关系,函数思想在处理这类问题时就很有效。 ③掌握坐标法 坐标法是解析几何的基本方法,因此要加强坐标法的训练。 ④对称思想 由于圆锥曲线和圆都具有对称性质,可使分散的条件相对集中,减少一些变量和未知量,简 化计算,提高解题速度,促成问题的解决。 ⑤参数思想 参数思想是辩证思维在数学中的反映, 一旦引入参数, 用参数来划分运动变化状态, 利用圆、 椭圆、双曲线上点用参数方程形式设立或(x0、y0)即可将参量视为常量,以相对静止来控 制变化,变与不变的转化,可在解题过程中将其消去,起到“设而不求”的效果。 ⑥转化思想 解决圆锥曲线时充分注意直角坐标与极坐标之间有联系, 直角坐标方程与参数方程, 极坐标 之间联系及转化,利用平移得出新系坐标与原坐标之间转化,可达到优化解题的目的。 除上述常用数学思想外,数形结合、分类讨论、整体思想、构造思想也是不可缺少的思想方 法,复习也应给予足够的重视 2014 年 3 月 30 日

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