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2.2.4面面平行的性质定理


2.2.4平面与平面平行的性质

知识回顾——线面平行的判定及其性质

线面平行判定定理 线面平行性质定理 面面平行判定定理

新知探究——平面与平面平行的性质

探究一 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线 与另一个平面具有什么位置关系? α β l

结论:如果两个平面平

行,那么一个平面 内的直线与另一个平面平行.

新知探究——平面与平面平行的性质

探究二 如果两个平面平行,那么一个平面内的直线 与另一个平面内的直线具有什么位置关系?

a

a

b

b

结论:如果两个平面平行,那么两个平面 内的直线要么是异面直线,要么是 平行直线.

新知探究——平面与平面平行的性质

探究三 已知: 平面?,?,? ,? // ? , ? ? ? ? a
证明: ? ? ? ? a

? ? ? ? b求证:a // b

?
?
?

? ?? ? b

a b

{b ? ?
? // ?

a ??

a, b没有公共点 a, b都在平面?内

a // b

新知学习——平面平行性质定理

定理

如果两个平行平面同时和第三个平面 相交,那么它们的交线平行. ?

图形语言:

?
?

a
b

? / /? , ? I ? ? a, 符号语言: ? I ? ?b

? a // b

性质定理说明

简记:面面平行

线线平行

作用:证明线线平行 思路:线线平行 面面平行

例题2(书P60例6)

求证:夹在两个平行平面间的平行线段相等.
讨论:解决这个问题的基本步骤是什么?

第一步:结合图形,将原题改写成数学符号语言; 已知:如图,α∥β,AB∥CD,A∈α,
C∈α,B∈β,D∈β, 求证:AB=CD 第二步:分析,作出辅助线; β B

?

A

C

γ

D

例题2
第三步:书写证明过程. 证明:
AB / / DC ? 过AB,CD可作平面?

? I ? ? AC ?? I ? ? BD ? / /?

BD∥AC AB∥CD

?

A

C

ABCD为平行四边形 ? AB ? CD

β B

γ

D

夹在两个平行 平面间的所有 平行线段相等.

例3. 如图,设平面α∥平面β,AB、CD是两异面直线, M、N分别是AB、CD的中点,且A、C∈α,B、 D∈β. 求证:MN∥α. C 证明:连接BC,取BC的中 A 点E,分别连接ME、NE, α N 则ME∥AC, M E

∴ ME∥平面α, 又 NE∥BD, ∴ NE∥β, β 又ME∩NE=E, ∴平面MEN∥平面α, ∵ MN平面MEN, ∴MN∥α.

D B

例4.在四棱锥P-ABCD中,ABCD是平行四边形,M、N 分别是AB、PC的中点.求证:MN∥平面PAD.
证明: 如图,取CD的中点E,连接NE、ME, ∵M、N分别是AB、PC的中点, ∴NE∥PD,ME∥AD ∴NE∥平面PAD,ME∥平面PAD 又NE∩ME=E, ∴平面MNE∥平面PAD, 又MN?平面MNE, ∴MN∥平面PAD.

小结

空间线面间平行关系转化示意图
判定

线线平行

判定 性质

线面平行

判定 性质

面面平行

性质


2.2.2-2.2.4面面关系及其平行判定与性质定理(要点)

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