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2017优化方案高考总复习·数学·文(北师大版)选修4-4第1讲

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选修4-4 坐标系与参数方程 第1讲 坐标系 选修4-4 坐标系与参数方程 1.坐标系 (1)坐标变换 设点 P(x, y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 φ: ? x( λ>0), ?x′= λ· ? 的作用下, ?y′= μ· ? y( μ>0) 点 P(x,y)对应到点 (λx,μ y),称 φ 为坐标系中的伸缩变换. 栏目 导引 选修4-4 坐标系与参数方程 (2)极坐标系 在平面内取一个定点 O,叫作极点;自极点 O 引一条射线 Ox, 叫作极轴; 再选一个长度单位, 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 ( 通常取逆时针方 向),这样就建立了一个极坐标系. 设 M 是平面内任意一点,极点 O 与点 M 的距离 |OM|叫作点 M 的极径, 记为 ρ; 以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的角 xOM 叫作点 M 的极角, 记为 θ,有序数对(ρ,θ)叫作点 M 的极坐标,记为 M(ρ,θ). 栏目 导引 选修4-4 坐标系与参数方程 2.直角坐标与极坐标的互化 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在 两坐标系中取相同的长度单位. 设 M 是平面内的任意一点, 它 的 直 角 坐 标 、 极 坐 标 分 别 为 (x , y) 和 (ρ , θ ) , 则 2+ y2 2 x ? ? ?x= ρcos θ ,?ρ = ________, y ? ? (x≠0) x ?y= ρsin θ , ? ?tan θ = ____________. ? 栏目 导引 选修4-4 坐标系与参数方程 3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0,θ 0 ),且极轴到此直线的角为 α,则它的 方程为: ρsin(θ-α)= ρ0sin(θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程: (1)直线过极点: θ= θ0 和 θ=π + θ0; ρcos θ=a ; (2)直线过点 M(a, 0)且垂直于极轴: ____________ π? ? ρsin θ=b . (3)直线过 M?b, ?且平行于极轴: ____________ 2 栏目 导引 选修4-4 坐标系与参数方程 4.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ 0),半径为 r,则该圆的方程为: 2 ρ 2- 2ρ0ρ cos(θ- θ0 )+ ρ2 - r = 0. 0 几个特殊位置的圆的极坐标方程: (1)当圆心位于极点,半径为 r: ρ= r; ρ=2acos θ (2)当圆心位于 M(a, 0),半径为 a: ______________ ; π? ρ=2asin θ ? a , (3)当圆心位于 M? ,半径为 a: ______________. 2? 栏目 导引 选修4-4 坐标系与参数方程 考点一 平面直角坐标系中的伸缩变换 2 ? ?x′= 3x, y 2 求双曲线 C: x - = 1 经过 φ:? 变换 64 ? ?2y′= y 后所得曲线 C′的焦点坐标. 栏目 导引 选修4-4 坐标系与参数方程 [ 解 ] 设曲线 C′ 上任意一点 P′(x′ , y ′ ) ,由上述可知,将 1 ? 2 2 2 2 ?x=3x′, x ′ 4 y ′ x ′ y 2 ? 代入 x - =1, 得 - =1, 化简得 - 64 9 64 9 ? ?y=2y′, y′2 x2 y2 =1,即 - =1 为曲线 C′的方程,可见仍是双曲线, 16 9 16 则焦点 F1(-5,0),F2(5,0)

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