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【解析版】山东省实验中学2015届高三第四次诊断考试数学(文)试题


2015 年山东省实验中学高考数学四模试卷(文科)
一、选择题(本题包括 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,每小题只有一个选项符合题意) 1. (5 分) 设复数 z=(3﹣4i) (1+2i) (i 是虚数单位) ,则复数 z 的虚部为( ) A. ﹣2 B. 2 C. ﹣2i D. 2i 【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 : 故选 B. 【

点评】 : 复数代数形式的乘除运算. 计算题. 熟练掌握复数的运算法则和虚部的意义即可得出. 解:∵复数 z=(3﹣4i) (1+2i)=11+2i,∴复数 z 的虚部为 2. 正确理解复数的运算法则和虚部的意义是解题的关键.
2

2. (5 分) 已知全集 U=R,集合 A={x|x ﹣x﹣6≤0},B={x|

>0},那么集合 A∩ (?UB)

=( ) A. {x|﹣2≤x<4} B. {x|x≤3 或 x≥4} C. {x|﹣2≤x≤0} D. {x|0≤x≤3} 【考点】 : 交、并、补集的混合运算. 【专题】 : 集合. 【分析】 : 求出 A,B 中不等式的解集确定出 B,根据全集 U=R,求出 B 的补集,找出 A 与 B 补集的交集即可. 【解析】 : 解:集合 A={x|x ﹣x﹣6≤0}={x|﹣2≤x≤3},B={x|
2

>0}={x|x<0,或 x>4}

∴?UB=}={x|0≤x≤4}, ∴A∩ (?UB)={x|0≤x≤3} 故选:D 【点评】 : 此题考查了交、并、补集的混合运算,熟练掌握各自的定义是解本题的关键. 3. (5 分) 下列有关命题的叙述错误的是( ) A. 若¬p 是 q 的必要条件,则 p 是¬q 的允分条件 B. 若 p 且 q 为假命题,则 p,q 均为假命题 2 2 C. 命题“?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0” D. “x>2”是“ ”的充分不必要条件

【考点】 : 命题的真假判断与应用. 【专题】 : 简易逻辑. 【分析】 : 由充分条件、必要条件的判定方法判断 A,D;由复合命题的真值表判断 B;写 出原命题的否定判断 C. 【解析】 : 解:对于 A,若¬p 是 q 的必要条件,则 q?¬p,即 p?¬q,则 p 是¬q 的充分 条件,A 正确; 若 p 且 q 为假命题,则 p,q 中至少一个为假命题,B 错误;

命题“?x∈R,x ﹣x>0”的否定是“?x∈R,x ﹣x≤0,C 正确; 由 x>2? ,反之不成立,∴“x>2”是“ ”的充分不必要条件,D 正确.

2

2

故选:B. 【点评】 : 本题考查了命题的真假判断与应用,考查了充分条件、必要条件的判定方法,是 基础题. 4. (5 分) 将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,则该球的体积为( A. B. C. D. )

【考点】 : 球的体积和表面积. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 根据已知中,将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球,结合正方体和 圆的结构特征,我们可以求出球的半径,代入球的体积公式即可求出答案. 【解析】 : 解:将棱长为 1 的正方体木块切削成一个体积最大的球时, 球的直径等于正方体的棱长 1, 则球的半径 R= 则球的体积 V= =

故选 D 【点评】 : 本题考查的知识点是球的体积, 其中根据正方体和圆的结构特征, 求出球的半径, 是解答本题的关键.

5. (5 分) 设 O 为坐标原点,若 A、B、C 三点共线,则 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【考点】 : 三点共线;基本不等式. 【专题】 : 计算题. 【分析】 : 根据题意首先求出 和 的最小值是( )



的坐标,再根据两个向量共线的性质得到 2a+b=1,

然后结合所求的式子的结构特征利用基本不等式求出其最小值. 【解析】 : 解:由题意可得: 所以 = ﹣ =(a﹣1,1) , =(1,﹣2) , = ﹣ =(a,﹣1) , =(﹣b,0) ,

=(﹣b﹣1,2) .

又∵A、B、C 三点共线, ∴ ∥ ,从而(a﹣1 )×2﹣1×(﹣b﹣1)=0,

∴可得 2a+b=1.

又∵a>0,b>0 ∴ + =( 故 + )?(2a+b)=4+( )≥4+4=8

+ 的最小值是 8.

故选 D. 【点评】 : 解决此类问题的关键是熟练掌握向量共线与点共线之间的关系, 以及两个向量共 线时坐标形式的运算公式,考查基本不等式的应用,此题得到 2a+b=1 是解题的关键. 6. (5 分) 函数 的图象可能是( )

A.

B.

C.

D. 【考点】 : 函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 由函数的解析式,可求出函数的定义域,可排除 B,D 答案;分析 x∈(﹣2,﹣ 1)时,函数值的符号,进而可以确定函数图象的位置后可可排除 C 答案. 【解析】 : 解:若使函数 的解析式有意义



,即

即函数

的定义域为(﹣2,﹣1)∪(﹣1,+∞)

可排除 B,D 答案 当 x∈(﹣2,﹣1)时,sinx<0,ln(x+2)<0 则 可排除 C 答案 故选 A >0

【点评】 : 本题考查的知识点是函数的图象, 熟练掌握函数定义域的求法及函数值符号的判 定是解答的关键. 7. (5 分) 已知等差数列{an}共有 2n﹣1 项,则其奇数项之和与偶数项之和的比为( A. B. C. D. )

【考点】 : 【专题】 : 【分析】 : 【解析】 :

等差数列的性质. 等差数列与等比数列. 求出等差数列的奇数项和与偶数项和,然后直接作比得答案. 解:等差数列{an}共有 2n﹣1 项,那么奇数项有 n 个,偶数项有 n﹣1 个, ,



于是



故选:C. 【点评】 : 本题考查了等差数列的性质,是基础的计算题.

8. (5 分) 已知函数 f(x)=2sin( A . l B. 1 C. D. 0

) ,则 f(1)+f(2)+…+f(2015)的值为(



【考点】 : 三角函数的周期性及其求法;函数的值. 【专题】 : 函数的性质及应用;三角函数的求值. 【分析】 : 利用三角函数求出函数的周期,求出已改周期内的函数值,然后求解所求表达式 的函数值即可. 【解析】 : 解:函数 f(x)=2sin( ) ,所以函数的周期为: =4.

f (1) +f (2) +f (3) +f (4) =2sin ( =2×( )=0,

) +2sin (

) +2sin (

) +2sin (



f(1)+f(2)+…+f(2015)=f(1)+f(2)+f(3)+503(f(1)+f(2)+f(3)+f(4) ) =2×( )=﹣ .

故选:C. 【点评】 : 本题考查三角函数的周期的求法,函数的周期性的应用,三角函数的化简求值, 考查计算能力.

9. (5 分) 已知圆的方程为 x +y ﹣6x﹣8y=0,设该圆过点(3,5)的最长弦和最短弦分别 为 AC 和 BD,则四边形 ABCD 的面积为( ) A. 10 B. 20 C. 30 D. 40 【考点】 : 直线与圆相交的性质. 【专题】 : 压轴题. 【分析】 : 根据题意可知,过(3,5)的最长弦为直径,最短弦为过(3,5)且垂直于该直 径的弦, 分别求出两个量, 然后利用对角线垂直的四边形的面积等于对角线乘积的一半求出 即可. 2 2 2 【解析】 : 解:圆的标准方程为(x﹣3) +(y﹣4) =5 , 由题意得最长的弦|AC|=2×5=10, 根据勾股定理得最短的弦|BD|=2 =4 ,且 AC⊥BD, =20 .

2

2

四边形 ABCD 的面积 S=| AC|?|BD|= ×10×4

故选 B 【点评】 : 考查学生灵活运用垂径定理解决数学问题的能力, 掌握对角线垂直的四边形的面 积计算方法为对角线乘积的一半. 10. (5 分) (2015?市中区校级四模)若函数 y=|﹣x +4x﹣3|的图象 C 与直线 y=kx 相交于点 M(2,1) ,那么曲线 C 与该直线的交点的个数为( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【考点】 : 二次函数的性质;函数的图象. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 直线 y=kx 过点 M(2,1) ,求出 y= 即可得出交点个数. 【解析】 : 解:∵直线 y=kx 过点 M(2,1) , ∴1=2k, k= , ∴y= ,
2 2

,画出图象 y=

,函数 y=|﹣x +4x﹣3|,

2

∵函数 y=|﹣x +4x﹣3| ∴作图如下:

曲线 C 与该直线的交点的个数为 4 故选:D 【点评】 : 本题考查了函数的图象解决问题,画出图象,即可判断交点,难度不大,属于容 易题. 二、填空题(本题包括 5 小题,共 25 分) 11. (5 分) 为了均衡教育资源,加大对偏远地区的教育投入,调查了某地若干户家庭的年 收入 x(单位:万元)和年教育支出 y(单位:万元) ,调查显示年收入 x 与年教育支出 y 具有线性相关关系,并由调查数据得到 y 对 x 的回归直线方程:y=0.15x+0.2.由回归直线 方程可知,家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加 0.15 万元. 【考点】 : 线性回归方程. 【专题】 : 应用题. 【分析】 : 写出当自变量增加 1 时的预报值,用这个预报值去减去自变量 x 对应的值,得到 家庭年收入每增加 1 万元,年教育支出平均增加的数字,得到结果. 【解析】 : 解:∵对 x 的回归直线方程 y=0.15x+0.2. ∴y1=0.15(x+1)+0.2, ∴y1﹣y=0.15(x+1)+0.2﹣0.15x﹣0.2=0.15, 故答案为:0.15. 【点评】 : 本题考查线性回归方程,考查线性回归方程的应用,用来预报当自变量取某一个 数值时对应的 y 的值,注意本题所说的是平均增,注意叙述正确.

12. (5 分) 若在区域

内任取一点 P,则点 P 落在单位圆 x +y =1 内的概率

2

2





【考点】 : 几何概型. 【专题】 : 计算题.

【分析】 : 由

我们易画出图象求出其对应的面积,即所有基本事件总数对应

的几何量, 再求出区域内也单位圆重合部分的面积, 代入几何概型计算公式, 即可得到答案.

【解析】 : 解:满足约束条件
2 2

区域为△ABC 内部(含边界) ,

与单位圆 x +y =1 的公共部分如图中阴影部分所示, 2 2 则点 P 落在单位圆 x +y =1 内的概率概率为

P=



故答案为:



【点评】 : 本题考查的知识点是几何概型,二元一次不等式(组)与平面区域,求出满足条 件 A 的基本事件对应的“几何度量”N(A) ,再求出总的基本事件对应的“几何度量”N,最后 根据 P= 求解.

13. (5 分) 如图在程序框图中,若输入 n=6,则输出 k 的值是 3 .

【考点】 : 程序框图. 【专题】 : 图表型;算法和程序框图. 【分析】 : 模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的 n,k 的值,当 n=111 时,满足条 件 n>100,退出循环,输出 k 的值为 3. 【解析】 : 解:模拟执行程序框图,可得 n=6,k=0 n=13,不满足条件 n>100,k=1 n=27,不满足条件 n>100,k=2 n=55,不满足条件 n>100,k=3 n=111,满足条件 n>100,退出循环,输出 k 的值为 3. 故答案为:3. 【点评】 : 本题主要考查了程序框图和算法,依次写出每次循环得到的 n,k 的值是解题的 关键,属于基本知识的考查. 14. (5 分) 已知抛物线 C:y =4x 及直线 l:x﹣y+4=0;户是抛物线 C 上的动点,记尸到 抛物线 C 准线的距离为 d1,P 到直线的距离为 d2,则 dl+d2 的最小值为 .
2

【考点】 : 抛物线的简单性质. 【专题】 : 计算题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 【分析】 : 点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离, 过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的垂线, 此时 d1+d2 最小,根据抛物线方程求得 F,进而利用点到直线的距离公式求得 d1+d2 的最小 值. 【解析】 : 解:点 P 到准线的距离等于点 P 到焦点 F 的距离,过焦点 F 作直线 x﹣y+4=0 的 垂线,此时 d1+d2 最小, ∵F(1,0) ,则 d1+d2= 故答案为: . = ,

【点评】 : 本题主要考查了抛物线的简单性质,两点距离公式的应用,比较基础.

15. (5 分) 对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得取 x 定义域内的每一个值,都有 f(x) =﹣f(2a﹣x) ,则称 f(x)为准奇函数.给出下列函数① f(x)=(x﹣1) ,② f(x)= ③ f(x)=x ,④ f(x)=cosx,其中所有准奇函数的序号是 ② ④ . 【考点】 : 抽象函数及其应用. 【专题】 : 函数的性质及应用. 【分析】 : 判断对于函数 f(x)为准奇函数的主要标准是:若存在常数 a≠0,函数 f(x)的 图象关于(a,0)对称,则称 f(x)为准奇函数. 【解析】 : 解:对于函数 f(x) ,若存在常数 a≠0,使得 x 取定义域内的每一个值,都有 f (x)=﹣f(2a﹣x)知,函数 f(x)的图象关于(a,0)对称, 对于① f(x)=(x﹣1) ,函数无对称中心, 对于② f(x)=
3 2 3 2



,函数 f(x)的图象关于(1,0)对称,

对于③ f(x)=x ,函数 f(x)关于(0,0)对称, 对于④ f(x)=cosx,函数 f(x)的图象关于(kπ+ ,0)对称,

故答案为:② ④ . 【点评】 : 本题考查新定义的理解和应用,函数 f(x)的图象关于(a,0)对称,则称 f(x) 为准奇函数是关键,属于基础题. 三、解答题(本题包括 6 小题,共 75 分) 16. (12 分) 已知函数 f(x)=Asin(ωx+ ) (其中 x∈R,A>0,ω>0)的最大值为 2,

最小正周期为 8. (Ⅰ)求函数 f(x)的解析式及函数的增区间; (Ⅱ)若函数 f(x)图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4,O 为坐标原点,求△POQ 的 面积. 【考点】 : 正弦函数的图象. 【专题】 : 三角函数的图像与性质;解三角形. 【分析】 : (Ⅰ)由已知得 A=2.由周期公式可求得 ω,即可确定解析式,由 2k ≤ x+ ≤2k ,k∈Z 即可解得函数的增区间.

(Ⅱ)先由已知可求得:P,Q 坐标,即可求得|OP|,|OQ|,|PQ|的值,由余弦定理可得 cos ∠POQ,可得 sin∠POQ= ,从而由面积公式即可求值. .

【解析】 : 解: (Ⅰ)由已知得 A=2.由周期公式可求得: ∴f(x)=2sin( ∴由 2k ≤ x+ x+ ) . ≤2k

,k∈Z 即可解得:x∈[8k﹣3,8k+1],k∈Z,

∴函数的增区间是[8k﹣3,8k+1]. ,k∈Z,

(Ⅱ)∵函数 f(x)图象上的两点 P,Q 的横坐标依次为 2,4, ∴可求得:P(2, ) ,Q(4,﹣ ) . ∴可求得:|OP|= ,|OQ|=3 ,|PQ|=2 ∴由余弦定理可得:cos∠POQ= ∴△POQ 的面积为 s= ×OP×OQ×sin∠POQ=3 = . ,sin∠POQ= ,

【点评】 : 本题主要考查了正弦函数的图象和性质, 余弦定理的应用, 两点距离公式的应用, 属于中档题. 17. (12 分) 为调查乘客的候车情况,公交公司在某站台的 60 名候车乘客中随机抽取 15 人,将他们的候车时间(单位:分钟)作为样本分成 5 组,如下表所示: 组别 候车时间 人数 一 [0,5) 2 二 [5,10) 6 三 [10,15) 4 四 [15,20) 2 五 [20,25] 1 (Ⅰ)求这 15 名乘客的平均候车时间; (Ⅱ)估计这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数; (Ⅲ)若从上表第三、四组的 6 人中随机抽取 2 人作进一步的问卷调查,求抽到的两人恰好 来自不同组的概率. 【考点】 : 古典概型及其概率计算公式;频率分布表. 【专题】 : 概率与统计. 【分析】 : (Ⅰ)用每一段的中间值乘以每一段的频率然后作和即得 15 名乘客的平均候车 时间; (Ⅱ)查出 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数,得到 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的频率,用频率乘以 60 即可得到答案; (Ⅲ) 用列举法写出从第三组和第四组中随机各抽取 1 人的所有事件总数, 查出两人恰好来 自不同组的事件个数,则两人恰好来自不同组的概率可求. 【解析】 : 解: (Ⅰ)由图表得: , 所以这 15 名乘客的平均候车时间为 10.5 分钟. (Ⅱ)由图表得:这 15 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数为 8, 所以,这 60 名乘客中候车时间少于 10 分钟的人数大约等于 .

(Ⅲ)设第三组的乘客为 a,b,c,d,第四组的乘客为 e,f,“抽到的两个人恰好来自不同 的组”为事件 A. 所得基本事件共有 15 种,即(ac) , (ab) , (ad) , (ae) , (af) , (bc) , (bd) , (be) , (bf) , (cd) , (ce) , (cf) , (de) , (df) , (ef) ,

抽到的两人恰好来自不同组的事件共 8 种,分别是(ae) , (af) , (be) , (bf) , (ce) , (cf) , (df) , (df) . 其中事件 A 包含基本事件 8 种,由古典概型可得 ,即所求概率等于 .

【点评】 : 本题考查了频率分布表,考查了古典概型及其概率计算公式,考查了学生读取图 表的能力,是基础的计算题. 18. (12 分) 如图,ABCD 是边长为 2 的正方形,ED⊥平面 ABCD,ED=1,EF∥BD 且 EF= BD. (1)求证:BF∥平面 ACE; (2)求证:平面 EAC⊥平面 BDEF (3)求几何体 ABCDEF 的体积.

【考点】 : 棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定;平面与平面垂直的判定. 【专题】 : 综合题;空间位置关系与距离. 【分析】 : (1)记 AC 与 BD 的交点为 O,则 DO=BO= BD,连接 EO,则可证出四边形 EFBO 是平行四边形,从而 BF∥EO,最后结合线面平行的判定定理,可得 BF∥平面 ACE; (2)利用面面垂直的判定定理证明平面 EAC⊥平面 BDEF; (3)利用条件公式求几何体的条件. 【解析】 : (1)证明:记 AC 与 BD 的交点为 O,则 DO=BO= BD,连接 EO, ∵EF∥BD 且 EF= BD, ∴EF∥BO 且 EF=BO,则四边形 EFBO 是平行四边形, ∴BF∥EO, 又∵EO?面 ACE,BF?面 ACE, ∴BF∥平面 ACE; (2)证明:∵ED⊥平面 ABCD,AC?平面 ABCD,∴ED⊥AC. ∵ABCD 为正方形,∴BD⊥AC, 又 ED∩ BD=D,∴AC⊥平面 BDEF, 又 AC?平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 BDEF; (3)解:∵ED⊥平面 ABCD,∴ED⊥BD, 又∵EF∥BD 且 EF= BD,∴BDEF 是直角梯形, 又∵ABCD 是边长为 2 的正方形, ,

∴ 由(1)知 AC⊥平面 BDEF, ∴几何体的体积





【点评】 : 本题以一个特殊多面体为例,考查了线面平行的判定定理、面面垂直的判定理、 空间几何体的体积,要求熟练掌握相应的判定定理,属于中档题. 19. (12 分) 已知公差不为零的等差数列{an},满足 a1+a3+a5=12. ,且 a1,a5,a17 成等比 数列. (I)求数列{an}的通项公式; (II)若 bn= ,数列{bn}的前 n 项和为 Sn,求证:Sn﹣n< .

【考点】 : 数列与不等式的综合;等差数列的性质. 【专题】 : 等差数列与等比数列. 【分析】 : (Ⅰ)由已知得 a3=4, 能求出数列{an}的通项公式. (Ⅱ)由 ,由此利用裂项法能证明 ,从而(4+2d) =(4﹣2d) (4+14d) ,由此
2

Sn﹣n< . 【解析】 : (Ⅰ)解:∵a1+a3+a5=12,∴3a3=12,∴a3=4.…(2 分) ∵a1,a5,a17 成等比数列,∴ ∴(4+2d) =(4﹣2d) (4+14d) , ∵d≠0,解得 d=1,…(4 分) ∴an=a3+(n﹣3)d=4+(n﹣3)=n+1; ∴数列{an}的通项公式为 .…(5 分)
2



(Ⅱ)证明:∵

,…(7 分)

∴ = = ∴Sn﹣n= ,…(11 分) .…(12 分)

【点评】 : 本题考查数列的通项公式的求法,考查不等式的证明,解题时要认真审题,注意 裂项法的合理运用. 20. (13 分) 已知函数 f(x)=x +ax﹣lnx,a∈R. (1)若函数 f(x)在[1,2]上是减函数,求实数 a 的取值范围; 2 (2)令 g(x)=f(x)﹣x ,是否存在实数 a,当 x∈(0,e](e 是自然常数)时,函数 g (x)的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在,说明理由. 【考点】 : 函数单调性的性质. 【专题】 : 分类讨论;转化思想. 【分析】 :(1) 由函数 f (x) 在[1, 2]上是减函数得 在[1,2]上恒成立,即有 h(x)=2x +ax﹣1≤0 成立求解. (2)先假设存在实数 a,求导得 结合 x∈(0,e]分当 a≤0 时,当 时,当 = ,a 在系数位置对它进行讨论, 时三种情况进行.
2 2

【解析】 : 解: (1) 令 h(x)=2x +ax﹣1, 有
2

在[1,2]上恒成立,







(6 分) =

(2) 假设存在实数 a, 使g (x) =ax﹣lnx (x∈ (0, e]) 有最小值 3, (7 分) 当 a≤0 时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3, ∴g(x)无最小值.

(舍去) ,

当 ∴ 当

时,g(x)在

上单调递减,在 ,a=e ,满足条件. (11 分)
2

上单调递增

时,g(x)在(0,e]上单调递减,g(x)min=g(e)=ae﹣1=3,
2

(舍去) ,

∴f(x)无最小值. (13 分) 综上,存在实数 a=e ,使得当 x∈(0,e]时 g(x)有最小值 3. (14 分) 【点评】 : 本题主要考查转化化归、分类讨论等思想的应用,函数若为单调函数,则转化为 不等式恒成立问题,解决时往往又转化求函数最值问题.

21. (14 分) 已知椭圆 C: 的弦长为 . (Ⅰ)求椭圆 C 的方程:

=1(a>b>0)的离心率为 e=

,过焦点且垂直于长轴

(Ⅱ) 斜率为 k 的真线 l 经过椭圆 C 的右焦点 F 且与椭圆交于不同的两点 A, B设 (﹣2,﹣1) ,求直线 l 斜率 k 的取值范围. 【考点】 : 椭圆的简单性质;直线与圆锥曲线的关系. 【专题】 : 向量与圆锥曲线;圆锥曲线的定义、性质与方程.

λ∈

【分析】 : (Ⅰ)通过离心率为 e,及 a ﹣b =c ,可知 b=c,再利用过焦点且垂直于长轴的 弦长为 ,可得 b=1, ,从而可得椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,联立直线与椭圆方程, 根据韦达定理及 ,可得 y1=λy2,通过化简,解不等式 即可.

2

2

2

【解析】 : 解: (Ⅰ)∵离心率为 e= 又∵a ﹣b =c ,∴b=c, ∵过焦点且垂直于长轴的弦长为 ∴ ∴b=1, , ; ,
2 2 2

,∴





∴椭圆 C 的方程为:

(Ⅱ)根据题意,设直线 l 的方程为:y=k(x﹣1) ,A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 联立直线与椭圆方程 ,消去 x,得(1+2k )y +2ky﹣k =0,
2 2 2

根据韦达定理,得 y1+y2=

,y1+y2=





,∴y1=λy2,

∴ ∵

, 在(﹣2,﹣1)上位增函数,∴ ,

解不等式

,得





∴所求直线 l 斜率 k 的取值范围为:





【点评】 : 本题考查椭圆的简单性质,直线与椭圆的位置关系,韦达定理,向量共线,函数 的单调性,解不等式,注意解题方法的积累,属于中档题.


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