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Aeotqlx中学高二理科数学中段测试题


生命是永恒不断的创造,因为在它内部蕴含着过剩的精力,它不断流溢,越出时 间和空间的界限,它不停地追求,以形形色色的自我表现的形式表现出来。 --泰戈尔

园庄中学高二理科数学期中测试题 园庄中学高二理科数学期中测试题 中学高二理科数学期中 (满分 150 分,时间 120 分)命题人:林爱华 2011-4-21
一、选择题(10 小题每小题 5 分共

50 分) 1.函数 y=x2cosx 的导数为 ( ) (A) y′ =2xcosx-x2sinx (B) y′ =2xcosx+x2sinx (C) y′ 2cosx-2xsinx =x (D) y′ =xcosx-x2sinx 2、下列结论中正确的是( ) (A)导数为零的点一定是极值点 (B)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) > 0 ,右侧 f ' ( x ) < 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 (C)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x) > 0 ,右侧 f ' ( x ) < 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极小值 (D)如果在 x 0 附近的左侧 f ' ( x ) < 0 ,右侧 f ' ( x) > 0 ,那么 f ( x 0 ) 是极大值 3、函数 f ( x) = 3 x ? 4 x 2 (A) 1 ( x ∈ [ 0, 1 ] ) 的最小值是( (B)
1 2

) (D)-1
(

(C)

0

4、若复数 (a 2 ? a ? 2) + ( a ? 1 ? 1)i (a ∈ R) 是纯虚数,则 a 的取值是
姓名

)

(A) a = ?1 或 a = 2

(B ) a = ? 1 且 a = 2

(C ) a = ? 1

(D ) a = 2

5、关于 x 的不等式 mx 2 ? nx + p > 0 (m、n、p ∈ R) 的解集为 (?1 2) ,则复数 m + pi , 所对应的点位于复平面内的第________象限. (A) 第一 (B) 第二 (C) 第三 6、(1-2i) (3+4i) (-2+i)等于( )
座号

(D) 第四 (D)-20+15i

(A) 20+15i
7、 (1 ? i ) 4 等于 (

(B)20-15i
)

(C) -20-15i

(A )

4

(B)-4

(C) 4i

(D)-4i )

8、由直线 x =
班级

A.

15 4

1 1 , x = 2 ,曲线 y = 及 x 轴所围成的图形的面积是( 2 x 17 1 B. C. ln 2 D. 2 ln 2 4 2

9、已知函数?(x)= ax 3 + bx 2 + cx 的图象如右图所示,则有(
y

)

o

x

A.a>0 ,c<0 C.a<0,c<0

B.a>0,c>0 D.a<0,c>0

1 1 1 1 1 1 1 1 10.用数学归纳法证明: 1 ? + ? + … + ? = + +… + 2 3 4 2n ? 1 2n n + 1 n + 2 2n

( n ∈ N ) ,则从 k 到 k + 1 ,左边要添加的项是(
*

) D. ?
1 2k + 2

A.

1 2k + 1

B.

1 1 ? 2k + 2 2k + 4

C.

1 1 ? 2k + 1 2k + 2

二、填空题(共 5 小题每小题 4 分共 20 分) 11.已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,其中 x, y ∈R,求 x+y= . 12.若 Z 为复数,且(3+Z)i=1, 则 Z= 13. 对于平面几何中的命题:“等底等高三角形面积相等”,在立体几何中,类比上 述命题,可以得到命题:“ ___________________________ ” 14. 已知 f (x ) 为一次函数,且 f ( x) = x + 2 ∫ f (t )dt ,则 f (x ) =_______
0 1

15.观察下列式子 则可归纳出

p w w w tk g o w /c h /: t x j c m/ x . . y

新新新新 新新新新 源源源源源源源源 源源源源源源源源

特特特特特 特特 特特 特特 特特 王王新王 新王 王王 王王 新新
w k @ 6 .o m c t 2 c x 1

p w w x tk g o w /c h /: t . j c m/ x . y

新新新新 新新新新 源源源源源源源源 源源源源源源源源

特特特特特 特特 特特 特特 特特 王王新王 新王 王王 王王 新新
w k 1 6 .o x c @2 c t m

1+

1 3 1 1 5 1 1 1 7 < , 1+ 2 + 2 < , 1+ 2 + 2 + 2 < , … … , 2 2 2 2 3 3 2 3 4 4
新新新 新新源 源源源源源源新源 源 源th源p/源源源gy源源源cx/ 源 w : w j.x t m /w k o .c 特 特特特特特 特王特王新特王 新特特 特 王 王kc@ 王新 王 新1 o.c王 x t 2 6 m w 新新新 源源新源新源新源 源 源源源 源th源p源源源gy源源源cx/ 源 /: w j.x t m /w w k o .c 特 特特特特特 特王特特特特特 新王新 王 王 x @ 2 .6 m 王 w t 1 新 王kc新王oc王

________________________________

三、解答题(6 小题共 80 分) 16. (13 分)实数 m 取什么值时,复数 z = m ( m + 1) + ( m 2 ? 1)i 是: (1)实数 (2)虚数 (3)0

17. (13 分)已知函数 f ( x ) = ? x3 + ax 2 + bx 在区间 ( ?2,1) 内,当 x = ?1 时取得 极小值,当 x =
2 时取得极大值。 3

(1)求函数 y = f ( x ) 在 x = ?2 时的对应点的切线方程。 (2)求函数 f ( x ) 在 [ ?2,1] 上的最大值与最小值。

a a+n 18. (13分)已知〈〈0,n〉 ab 0,求证: 〈 b b+n

19. (13 分) 如图 在二次函数 f(x)= 如图,在二次函数 4x- x 的图象与 x 轴所 围成的图形中有一个 内接矩形 ABCD,求这 求这 个矩形的最大面积 个矩形的最大面积. 大面积
2

y

x

20. (14 分)已知函数 f ( x ) = ln x , 函数 g ( x ) =

1 + a f / ( x) f ( x)
/

⑴求函数 y = g ( x) 的表达式; ⑵若 a > 0 ,函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 ,求 a 的值; ⑶在⑵的条件下,求直线 y =

2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积. 3 6



。 21、 (14 分)数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,且 a n + S n =1(n∈N*) (1)计算出 a1 、 a 2 、 a3 的值; (2)猜测出 a n 的通项公式,并用数学归纳法加以证明。



参考答案:1-5 ABDCB 11、6.5 12、-3-i 14、 f ( x) = x ? 1
2

6—10 DBDAC 13、等底面积等高的三棱锥体积相等
1 1 1 2n + 1 + 2 +?+ < 2 2 n +1 2 3 (n + 1)
…………………4 分

15、 1 +

16.解: (1)当 m ? 1 = 0,即m = ±1 时,复数 z 是实数;
2

(2)当 m ? 1 ≠ 0,即m ≠ 1且m ≠ ?1 时,复数 z 是虚数;…………………… 8 分

{ m (2 m1+=10)= 0 ,即 m = ?1 时, z = 0 (3)由复数相等的定义,得 m ?
分 17.解: (1) f ' ( x ) = ?3 x + 2ax + b ,又 x = ?1 , x =
2

………… 12

2 分别对应函数的极小、极大值, 3

则 x = ?1 , x =

2 2 是方程 ?3 x + 2ax + b = 0 的两实根。 3



2 2 b 2 a = ?1 + , ? = ( ?1) × 3 3 3 3

于是 a = ?

1 ,b = 2 ………………………4 分 2 1 2 3 则 f ( x ) = ? x ? x + 2 x 且当 x = ?2 时, f ( ?2 ) = 2 且 f ' ( 2 ) = ?8 ……6 分 2
…………………8 分

∴所求切线方程为 y ? 2 = ?8 ( x + 2 ) 即 8 x + y + 14 = 0 (2)∵ f ( ?2 ) = 2

f ( ?1) = ?

3 2

? 2 ? 22 f ? ?= ? 3 ? 27

f (1) = 3 2

1 2

…………12 分

∴ f ( x ) 在 [ ?2,1] 上的最大值为 2,最小值为 ?

………………13 分

20、⑴ g ( x) = x +

a , x

∴当 a > 0, x > 0 时, g ( x) ≥ 2 a 当且仅当 x = a 时取等号.
∴函数 y = g ( x) 在 (0, +∞) 上的最小值是 2 a ,∴依题意得 2 a = 2 ∴ a = 1 .

2 7 3 ? ? ? ?y = 3 x + 6 ? x1 = 2 ? x2 = 2 ? ? ⑶由 ? 解得 ? ,? 5 ?y = x + 1 ? y = 13 ? y2 = 2 ? ? 1 6 ? x ? ?
∴直线 y =

2 7 x + 与函数 y = g ( x) 的图象所围成图形的面积 3 6

2 ? 2 7 7 1 ? S = ∫ 3 ?( x + ) ? ( x + ) ?dx = ? ln 3 24 6 x ? 2? 3

21、 a1 =

1 1 1 、 a 2 = 、 a3 = 2 4 8

an =

1 2n


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