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平面向量练习题(附答案)

时间:2011-01-15


世纪光华教育·数学

平面向量练习题
一.填空题。
1. AC + DB + CD + BA 等于________. 2.若向量 a =(3,2) b =(0,-1) , ,则向量 2 b - a 的坐标是________. 3.平面上有三个点 A(1,3) ,B(2,2) ,C(7,x) ,若∠ABC =90°,则 x 的值为______

__. 4.向量 a、b 满足|a|=1,|b|= 2 ,(a+b)⊥(2a-b),则向量 a 与 b 的夹角为________. 5.已知向量 a =(1,2) =(3,1) ,b ,那么向量 2 a -
1 b 的坐标是_________. 2

6.已知 A(-1,2) ,B(2,4) ,C(4,-3) ,D(x ,1) ,若 AB 与 CD 共线,

则| BD |的值等于________.
7.将点 A(2,4)按向量 a =(-5,-2)平移后,所得到的对应点 A′的坐标

是______.
8. 已知 a=(1,-2),b=(1,x),若 a⊥b,则 x 等于______ 9. 已知向量 a,b 的夹角为 120 ,且|a|=2,|b|=5,则(2a-b) a=______ ·
10. 设 a=(2,-3),b=(x,2x),且 3a·b=4,则 x 等于_____ 11.
已知 AB = (6,1), BC = ( x, y ), CD = ( ?2,?3), 且 BC ∥ DA ,则 x+2y 的值为_____
o

12. 已知向量 a+3b,a-4b 分别与 7a-5b,7a-2b 垂直,且|a|≠0,|b|≠0,则 a 与 b 的夹角为____ uuu uuu uuur r r 13. 在△ABC 中,O 为中线 AM 上的一个动点,若 AM=2,则 OA OB + OC 的最小值

(

)



. .

14. 将圆 x 2 + y 2 = 2 按向量 v= (2, 平移后, 1) 与直线 x + y + λ = 0 相切, 则λ的值为

二.解答题。
1.设平面三点 A(1,0) B(0,1) C(2,5) , , .

(1)试求向量 2 AB + AC 的模; (3)试求与 BC 垂直的单位向量的坐标.

(2)试求向量 AB 与 AC 的夹角;

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2.已知向量 a=( sin θ , cos θ )( θ ∈ R ),b=( 3 ,3 )
(1)当 θ 为何值时,向量 a、b 不能作为平面向量的一组基底 、 (2)求|a-b|的取值范围 3.已知向量 a、b 是两个非零向量,当 a+tb(t∈R)的模取最小值时, 、 (1)求 t 的值 (2)已知 a、b 共线同向时,求证 b 与 a+tb 垂直 、

4. 设向量 OA = (3,1), OB = (?1,2) ,向量 OC 垂直于向量 OB ,向量 BC 平行于 OA ,试求

OD + OA = OC时, OD 的坐标.
5.将函数 y=-x2 进行平移,使得到的图形与函数 y=x2-x-2 的图象的两个交点关于原点对 称.(如图)求平移向量 a 及平移后的函数解析式.

6. 已 知 平 面 向 量 a = ( 3 ,?1), b = ( ,

1 3 ). 若 存 在 不 同 时 为 零 的 实 数 k 和 t, 使 2 2

x = a + (t 2 ? 3)b, y = ?k a + t b, 且 x ⊥ y.
(1)试求函数关系式 k=f(t) (2)求使 f(t)>0 的 t 的取值范围.

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参考答案

1. 0

2.(-3,-4) 3.7 4.90°
1 10. 3 ?

1 1 5.( 2 ,3 2 ) 6. 73 .7.(-3,2) . .

8.-2

9.12

11.0

12. 90°

13. ?2

14. ? 1或 ? 5

(1)∵ ∴ ∴

AB =(0-1,1-0)=(-1,1) AC =(2-1,5-0)=(1,5) , .

2 AB + AC =2(-1,1)+(1,5)=(-1,7) . |2 AB + AC |=

(?1) 2 + 7 2 (?1) 2 + 12

= 50 .

(2)∵

| AB |=

2 2 = 2 .| AC |= 1 + 5 = 26 ,

AB · AC =(-1)×1+1×5=4.
4 2 13 cos θ = | AB | ? | AC | = 2 ? 26 = 13 .

AB ? AC



(3)设所求向量为 m =(x,y) ,则x2+y2=1. 又

① ②

BC =(2-0,5-1)=(2,4) ,由 BC ⊥ m ,得2 x +4 y =0.

? ? 2 5 2 5 ?x = ?x = - ? ? 5 5 ? ? 2 5 5 2 5 5 ?y = ? 5 . ?y = 5 . ? ? 5 或? 5 由①、②,得 ? ∴ ( 5 ,- 5 )或(- 5 , 5 ) 即为所求.

13. . 【解】 (1)要使向量a、b不能作为平面向量的一组基底,则向量a、b共线 、 、



3 sin θ ? 3 cos θ = 0 ? tan θ =

3 3



θ = kπ +

π
6

(k ∈ Z )

,即当

θ = kπ +

π
6

(k ∈ Z )

时,向量a、b不能作为平面向量的一组 、

基底 (2)

| a ? b |= (sin θ ? 3 ) 2 + (cos θ ? 3) 2 = 13 ? 2( 3 sin θ + 3 cos θ )

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而? 2 3 ≤

3 sin θ + 3 cos θ ≤ 2 3

∴ 2 3 ? 1 ≤| a ? b |≤ 2 3 + 1

14. 【解】 (1)由 (a + tb) =| b | t + 2a ? bt + | a |
2 2 2

2

t=?


2a ? b |a| =? cos α (α是a与b的夹角) 2 |b| 2|b| 时a+tb(t∈R)的模取最小值 t=?
|a| |b|

(2)当a、b共线同向时,则 α = 0 ,此时 、

2 ∴ b ? ( a + tb) = b ? a + tb = b ? a ? | a || b |=| b || a | ? | a || b |= 0

∴b⊥(a+tb)

18.解:设 OC = ( x, y ),Q OC ⊥ OB 又Q BC // OA, BC = ( x + 1, y ? 2)
? x = 14, ? 联立①、②得 ? y = 7 ………10分

∴ OC ? OB = 0

2y ? x = 0
即: 3 y ? x = 7 ②



3( y ? 2) ? ( x + 1) = 0

∴ OC = (14,7), 于是OD = OC ? OA = (11,6) .

19.解法一:设平移公式为

? x = x′ ? h ? 2 ? y = y ′ ? k 代入 y = ? x ,得到
y ′ ? k = ?( x ′ ? h) 2 .即y = ? x 2 + 2hx ? h 2 + k ,
2 把它与 y = x ? x ? 2 联立,

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? y = ? x 2 + 2hx ? h 2 + k ? ? ?y = x2 ? x ? 2 得?
设图形的交点为(x1,y1),(x2,y2), 由已知它们关于原点对称,

即有:

? x1 = ? x 2 ? ? y1 = ? y 2

由方程组消去y得: 2 x ?(1 + 2h) x ? 2 + h
2

2

+ k = 0.



x1 + x 2 =

1 + 2h 1 且x1 + x 2 = 0得h = ? . 2 2

又将( x1 , y1 ), ( x 2 , y 2 ) 分别代入①②两式并相加,
2 2 2 得: y1 + y 2 = ? x1 + x 2 + 2hx1 ? x 2 ? h + k ? 2.

∴ 0 = ( x 2 ? x1 )( x 2 + x1 ) ? ( x1 + x 2 ) ?
1 ? ?x = x′ + 2 ? ? ? y = y′ ? 9 ? 4 代入 y 平移公式为: ?

1 9 1 9 +k ?2 k = .a = (? , ) 4 4 2 4 . . 解得

= ? x 2 得: y = ? x 2 ? x + 2 .

2 解法二:由题意和平移后的图形与 y = x ? x ? 2 交点关于原点对称,可知该图形上所有点

都可以找到关于原点的对称点在另一图形上,因此只要找到特征点即可.

1 9 1 9 ( ,? ) ? , y = x ? x ? 2 的顶点为 2 4 ,它关于原点的对称点为( 2 4 ),即是新图形的顶点.
2

1 1 9 9 h = ? ? 0 = ? ,k = ? 0 = 2 2 4 4 以下同 由于新图形由 y = ? x 平移得到, 所以平移向量为
2

解法一. 20.解:(1)Q x ⊥ y,∴ x ? y = 0.即[(a + t ? 3)b] ? ( ? k a + t b) = 0.
2

Q a ? b = 0, a = 4, b = 1,∴ ?4k + t (t 2 ? 3) = 0, 即k =

2

2

1 2 t (t ? 3). 4

1 2 t (t ? 3) > 0, 即t (t + 3 ) > (t ? 3 )0, 则 ? 3 < t < 0或t > 3. (2)由f(t)>0,得 4


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