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2016届百校联盟浙江省高考最后一卷(押题卷)理科数学(第一模拟)(解析版)

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百校联盟 2016 年浙江省高考最后一卷 (押题卷) 理科数学(第 一模拟)
一、选择题:共 8 题
1.若命题 p:?x0>0,|x0|≤1,则命题 p 的否定是

A.?x>0,|x|>1 C.?x≤0,|x|<1 【答案】A

B.?x>0,|x|≥1 D.?x≤0,|x|≤1

【解析】本题主要考查特称命题的否定.对全称命题与特称命题进行否定时,要从两个方 面进行:一是对量词进行改写,二是对命题的结论进行否定,二者缺一不可. p:?x>0,|x|>1.故选 A. 根据特称命题的否定是全称命题,易得?

2.已知集合 A={x|y=lg(x2-3x-4)},B={y|y>t}.若(?RA)∩B 只有一个子集,则实数 t 的取值范

围为 A.(-1,+∞) B.[-1,+∞) C.(4,+∞) D.[4,+∞) 【答案】D 【解析】本题主要考查对数函数的定义域、集合的运算、集合的子集等基础知识,考查 考生的基本运算能力.
2 由于 A={x|x -3x-4>0}={x|x<-1 或 x>4},所以?RA={x|-1≤x≤4},因为(?RA)∩B 只有一个子集,

所以(?RA)∩B=?,所以实数 t 的取值范围为 t≥4.

3.已知 sin(α+ )+sin α=-

,则 cos(α+ )的值为

A.-

B.

C.-

D.

【答案】B 【解析】本题主要考查三角恒等变换.解答本题时要注意根据两角和的三角公式以及诱 导公式,结合角与角之间的关系灵活处理. 因为 sin(α+ )+sin α=sin(α+ ,所以 sin(α+ )+sin α= sin α+ cos α= sin(α+ )=,所以

)=- .因为(α+ )-(α+ )= ,所以 cos(α+ )=cos( +α+ )=-sin(α+ )= .故选 B.

4.设 a,b,c 是三条不同的直线,α,β,γ 是三个不同的平面.已知 α∩β=a,α∩γ=b,β∩γ=c,则下列

四个命题中不一定成立的是 A.若 a,b 相交,则 a,b,c 三线共点 B.若 a,b 平行,则 a,b,c 两两平行 C.若 a,b 垂直,则 a,b,c 两两垂直 D.若 α⊥γ,β⊥γ,则 a⊥γ 【答案】C 【解析】本题主要考查立体几何中直线与直线、直线与平面、 平面与平面的位置关系等, 意在考查考生的空间想象能力、推理论证能力.解题时,对选项逐个验证,可以借助线面平 行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定定理与性质定理等.空间中点、线、面的位 置关系是客观题的常考题,借助几何模型,强化空间想象能力,完善逻辑推理,是解题成功 的关键. 选项 A 显然正确;对于选项 B,三个平面两两相交,若 a,b 平行,则 a,b,c 两两平行;对于选项 D,如图,在平面 α 内作直线 m⊥b,在平面 β 内作直线 n⊥c,因为 α⊥γ,β⊥γ,所以 m⊥γ,n⊥γ, 所以 m∥n.又 m?α,n?α,所以 n∥α,又 n?β,α∩β=a,所以 n∥a.又 n⊥γ,所以 a⊥γ.故选 C.

5.已知数列{an}为等比数列,则下列结论正确的是

A.a1+a3≥2a2 C.若 a1=a3,则 a1=a2 【答案】D

B.若 a3>a1 ,则 a4>a2 D. + ≥2

【解析】本题主要考查等比数列的性质,考查考生对基础知识的掌握情况. 对于选项 A,当数列{an}的公比为- ,首项为-1 时,a1+a3<2a2,故 A 错误;对于选项 B,当数列 {an}的公比为-3,首项为 1 时,a3>a1 ,但 a4<a2,故 B 错误;对于选项 C,若 a1=a3,则公比为± 1, 且当公比为-1 时,a1≠a2,故 C 错误;对于选项 D, +≥2a1a3=2 恒成立,故选 D.

6.已知双曲线

=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 E,F,以 OF(O 为坐标原点)为直径

的圆 C 交双曲线于 A,B 两点,AE 与圆 C 相切,则该双曲线的离心率为 A. B. C. D.

【答案】C 【解析】本题主要考查双曲线的定义、离心率,余弦定理等知识,考查考生的运算求解能 力和数形结合思想.解题时,先求出 cos ∠ACE= ,在△ACF 中计算得到|AF|= c,最后根据 双曲线的定义便得离心率 e. 连接 AC,由于|OC|=|CA|=|CF|= ,|OE|=c,所以|EC|= ,在 Rt△EAC 中,|AE|= c,cos∠ACE= .

连接 AF,在△ACF 中,由余弦定理得|AF|= c,根据双曲线的定义,得

c- c=2a,所以双曲

线的离心率 e=

.故选 C.

7.已知实数 x,y 满足

,目标函数 z=y-2x,则

A.z 无最大值,z 的最小值为-2-2 C.z 的最小值为-2-2 【答案】C ,最大值为 4

B.z 的最大值为 4,z 无最小值 D.z 既无最大值也无最小值

【解析】本题主要考查不等式组所表示的平面区域等知识,充分考查了数形结合的数学 思想.解题的关键是将题中的约束条件转化为熟悉的约束条件,画出不等式组所表示的可 行域,然后求最大值与最小值. x2+y2≤4(x+y)可化为(x-2)2+(y-2)2≤8(x+y≠0),可行域为以(2,2)为圆心,2 x≥0, y≥0,x≠y, x+y≠0.由 z=y-2x,得 y=2x+z,问题等价于求 z 的最小值和最大值,作出直线 y=2x 并 平移,如图, 为半径的圆,且

当直线 y=2x+z 与可行域相切时,设切点为 Q,由

+

=(2,2)+(

,-

)=

(2+

,2-

),所以 zmin=yQ-2xQ=2-

-2(2+

)=-2-2

.易得 R(0,4),则

zmax=yR-2xR=4,所以目标函数 z=y-2x 的最小值为-2-2,最大值为 4.

8.若关于 x 的方程 k(x-1) =

2

有 4 个不同的实数根,且其所有实数根的和为 S,则实数 S

的取值范围为 A.(2, ) B.(3, ) C.(2, ) D.(3, )

【答案】B 【解析】本题主要考查方程的根、二次函数的图象等知识,意在考查考生的分类讨论、 函数与方程、转化与化归、数形结合等数学思想.

显然 x=1 是方程的 1 个根.当 x≠1 时,k=

所以

由题意,函数 y=

与 y= 的图象有 3 个不

同的交点,由图可知,0<

,k>4.不妨设方程的 4 个实数根分别为 x1,x2,x3,x4,且 x1<x2<x3<x4,

由图得 x1+x2= × 2=1,x3=1,当 故选 B.

时,由 x2-x= (当 x>1 时),得 x=

,所以 1<x4<,故 3<S<

.

二、填空题:共 7 题
9.已知函数 f(x)=cos x(sin x+cos x),则 f( )=

,f(x)的最小正周期为

,f(x)的

最小值为 【答案】1 π

.

【解析】本题主要考查三角恒等变换、三角函数求值、三角函数的图象与性质等知识, 意在考查考生的运算求解能力. f( )=cos(sin +cos )= + )=1.因为 f(x)=cos x(sin x+cos x)=sin xcos x+cos2 x= sin 2x+

(sin 2x+cos 2x)+sin(2x+ )+ ,所以 f(x)的最小正周期为 π,f(x)的最小值为

- +

.

10.已知抛物线 y =4x 上一动点 M(x,y),定点 N(0,2

2

),则 x+|MN|的最小值是

,此时

点 M 的坐标为 【答案】2 ( )

.

【解析】本题主要考查抛物线的概念与性质等知识,考查考生的运算求解能力、转化与 化归能力、数形结合思想.解题时,先由 x+|MN|=(|MF|-1)+|MN|=|MF|+|MN|-1≥|NF|-1 得 到 x+ |MN|的最小值,再联立方程求出点 M 的坐标.

由题意知,抛物线的焦点为 F(1,0),准线为 x=-1,x+|MN|=(|MF|-1)+|MN|=|MF|+|MN|-1≥|NF|-1= -1=2,所以 x+|MN|的最

小值是 2,又直线 NF 的方程为 y=-2

x+2

,联立

,得点 M 的坐标为

(

).

11.已知某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的体积为

,表面积为

.

【答案】

30+6

【解析】本题主要考查三视图、空间几何体体积和表面积的计算等基础知识,意在考查 考生的空间想象能力和运算求解能力.解决本题的思路是根据三视图还原出几何体, 然 后根据几何体的形状计算出体积和表面积. 根据三视图,知可以借助长方体得到如图所示的三棱锥 P-ABC,

过点 P 作 PH⊥AB,垂足为 H,连接 CH,则三棱锥的体积 V= × S△ABC× PH= × 10× 4= ,S△PAB=

× 5× 4=10,S△ABC=S△PBC= × 5× 4=10,S△PAC= × 2

× 6=6

,所以三棱锥的表面积为 30+6

.

12.已知函数 f(x)=ln(mex+ne-x)+m 为偶函数,且 f(0)=2+ln 4,则 m=

,不等式 f(x)≤f(m+n)

的解集为 【答案】2 [-4,4]

.

【解析】本题主要考查函数的奇偶性、单调性等基础知识,意在考查转化与化归等数学 思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.先根据偶函数得到 m=n,再 利用 f(0)=2+ln 4 得到 m=2,所以不等式 f(x)≤f(m+n)可转化为 f(x)≤f(4).由于 f(x)为偶函数, 所以 f(-x)=f(x),可得 m=n,又 f(0)=ln(2m)+m=2+ln 4,则 m=2.f(x)≤f(m+n)=f(4),即 ln[2(ex+e-x)]+2≤ ln[2(e4+e-4)]+2,ex+e-x≤e4+e-4,令 g(x)=ex+e-x,则 g(x)为偶函数,当 x>0 时,g(x)单调递增,当 x<0 时,g(x)单调递减,若 g(x)≤g(4),则-4≤x≤4,即所求不等式的解集为{x|-4≤x≤4}.

13.在矩形 ABCD 中,AB=3,BC=4,点 M 为矩形 ABCD 所在平面内的任意一点,且满足

MA=2,MC= 【答案】0

,则

·

=

.

【解析】本题主要考查平面向量的综合运用,意在考查转化与化归、数形结合等数学思 想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力. 如图,连接 AC,BD 交于点 E,连接 ME,则 E 为 AC,BD 的中 点, · [( + )2-( )2]= [(2 )2-( )2]= ,同理

·

,不难发现,|

|=|

|,所以

·

· ,又

AC=BD==5=

,所以∠AMC=90° ,所以

·

·

=0.

14.设 x,y 是正实数,且 x+y=5,则

+

的最小值为

.

【答案】

【解析】本题主要考查利用基本不等式求最值,考查考生的基本运算能力.解题时,先令 ,将 + 转化为 2+ + ,然后利用基本不等式求解.利用基本不等式求最值,

关键是满足“一正、二定、三相等”的条件. 令 ,则 ,a+b=x+y+3=8,所以

+

+

+

=

a+b+ + -6=2+ + =2+ (a+b)( + )=2+ (5+ + )≥2+ (5+2

)= ,当且仅当 a= ,b= ,

即 x= ,y= 时取等号,所以

+

的最小值为 .

15. 在长方体 ABCD-A1B1C1D1 中,已知二面角 A1-BD-A 的大小为 ,若空间一条直线 l 与直

线 CC1 所成的角为 ,则直线 l 与平面 A1BD 所成的角的取值范围是

.

【答案】

]

【解析】本题主要考查直线与平面所成的角、二面角等,考查考生的空间想象能力、推 理论证能力及运算求解能力. 如图所示,过点 A 作 AO⊥BD 于点 O,连接 A1O,易知 A1A⊥平面 ABCD,所以 A1O⊥BD,则 ∠A1OA 是二面角 A1-BD-A 的平面角,所以∠A1OA= .将直线 l 平移到 AM,使得∠A1AM=∠ MAO=.过点 A 作 AP⊥平面 A1BD 于点 P,所以 AM(即直线 l)与平面 A1BD 所成的最大角为 ∠AMA1=∠MAO+∠MOA= + .设∠A1AN= ,AN 与直线 OP 交于点 N,则 AN(即直线

l)与平面 A1BD 所成的最小角为∠ANP=∠PA1A-∠A1AN=

.则直线 l 与平面 A1BD

所成的角的取值范围是[

].

三、解答题:共 5 题
16.已知在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,且 c=2,2sin A=

acos C,

(1)求角 C 的大小; (2)若 2sin 2A+sin(2B+C)=sin C,求△ABC 的面积. 【答案】(1)由已知得,csin A= 由正弦定理得,sin Csin A= 又 sin A>0,∴cos C≠0,sin C= acos C,

sin Acos C. cos C,tan C= ,

∴C= . (2)由 2sin 2A+sin(2B+C)=sin C 得, 2sin 2A=sin C-sin(2B+C),∴4sin Acos A=sin(A+B)-sin[(π-A)+B] =sin(A+B)+sin(B-A)=2sin Bcos A. 当 cos A=0 时,A= ,此时 B= ,

∵c=2,∴b=

,S△ABC= bc=

.

当 cos A≠0 时,sin B=2sin A,∴b=2a.
2 2 2 2 2 由 c =a +b -2abcos C 得,4=a +b -ab.

联立

,得

, ∴S△ABC= absin C=

.

综上所述,△ABC 的面积为

.

【解析】 本题主要考查三角形的内角和定理、 正弦定理、 余弦定理、 三角形的面积公式、 三角恒等变换等知识,意在考查考生的运算求解能力.第(1)问,先将 2sin A 转化为 csin A, 再根据边角关系化简得到 sin C= cos C,最后求出角 C;第(2)问,先用内角和定理、三角

恒等变换将 2sin 2A+sin(2B+C)=sin C 转化为 4sin A· cos A=2sin Bcos A,再结合 cos A 是否 等于 0 分类讨论,最后利用三角形的面积公式求解.

【备注】把三角恒等变换、解三角形结合起来是近几年高考考查三角部分的主要命题方 向之一,但问题的核心依然是三角恒等变换及正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理 及三角形面积公式的运用.在解决这类问题时,只要抓住问题的本质,把三角形的问题归 结到三角恒等变换上,灵活地选用三角恒等变换公式是不难解决的.

17.在四棱锥 P-ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=∠APB=90° ,点 M 是线段 AB 上的点,且 PM⊥

CD,AB=BC=2PB=2AD=4BM.

(1)证明:平面 PAB⊥平面 ABCD; (2)求平面 PAB 与平面 PCD 夹角的正弦值. ,得 PM⊥AB, 【答案】(1)由 AB=2PB=4BM,∠APB=90° 又 PM⊥CD,且 AB 与 CD 相交,所以 PM⊥平面 ABCD, 又 PM?平面 PAB,所以平面 PAB⊥平面 ABCD.

(2)解法一 由(1)及 AD∥BC,∠ABC=90° 可知,DA⊥平面 PAB,延长 BA 与 CD 交于点 H, 连接 PH,作 AN⊥PH 于点 N,连接 ND,则平面 PAB 与平面 PCD 的夹角是∠AND. 设 BM=1,则 AB=4,PB=2,AD=2,PM= ,易知△HAN∽△HPM,故 AN= ,DN= ,

所以 sin∠AND=

,

故平面 PAB 与平面 PCD 夹角的正弦值是 解法二

.

如图建立空间直角坐标系,易知平面 PAB 的一个法向量为 n=(1,0,0),

设 BM= ,则 P(0,0, t),C(2t, ,0),D(t,- t,0),

因此

=(2t, ,- t),

=(-t,-2t,0).

设平面 PCD 的法向量为 m=(x,y,z), 则由 m· =0,m· =0,得 x+2y=0,4x+yz=0,即 m=(2 ,,7)为平面 PCD 的一个法向量,

所以 cos<m,n>= ,

故平面 PAB 与平面 PCD 夹角的正弦值是

.

【解析】本题以四棱锥为载体,主要考查空间面面位置关系的证明及二面角的求解等,意 在考查考生的空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力.第(1)问比较简单,由 PM⊥ AB,PM⊥CD,得到 PM⊥平面 ABCD,从而得到平面 PAB⊥平面 ABCD;第(2)问既可以用传 统法“作、证、算”来解决,也可以用空间向量法解决. 【备注】立体几何解答题的考查以空间线面位置关系(平行、垂直)的证明、空间角的求 解为主.第(1)问是线面平行、垂直问题的证明或探求,一般寻找线线、线面、面面之间的 关系进行灵活转化,要关注中点(中位线),在寻找解题思路时,建议采用分析法,从需要求证 的结论逐步逆推到已知条件.第(2)问一般有两种方法(传统法和向量法),传统法需要关注 “作、 证、 算”的推理论证过程;利用空间向量法来解决时,要当心不要算错,要熟记线面角、 二面角公式.另外要提醒考生在备考时不要一味强调利用向量法解题,要加强空间想象能 力和思维能力的训练,做到两者兼顾.

18.已知函数 f(x)=|ax2-(a+1)x+1|(a∈R).

(1)当 a= 时,求函数 f(x)在[0,2]上的单调区间; (2)当 0≤a≤1 时,对任意的 x∈[0,2],m≥f(x)恒成立,求实数 m 的最小值. 【答案】(1)当 a= 时,f(x)=| x2- x+1|= |x2-4x+3|= |(x-2)2-1|, 可知函数 f(x)在[0,1]上单调递减,在(1,2]上单调递增.

(2)①当 a=0 时,f(x)=|x-1|在[0,2]上的最大值为 1. ②当 0<a≤1 时,对称轴为 x= >0,Δ=(a-1)2≥0,



≥2,即 0<a≤ 时,f(x)max=max{|f(0)|,|f(2)|}=max{1,|2a-1|},

而|2a-1|<1,所以 f(x)max=1. 若<2,即 <a≤1 时,

f(x)max=max{|f(0)|,|f(

)|,|f(2)|}=max{1,

,|2a-1|},

又 <a≤1,

<1,|2a-1|≤1,所以 f(x)max=1.

综上,m≥1,所以实数 m 的最小值为 1. 【解析】本题以绝对值函数为载体,考查函数的单调性与最值等,意在考查分类讨论、数 形结合、转化与化归等数学思想方法,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题 的能力.第(1)问当 a= 时,化简函数 f(x)的解析式,结合函数 f(x)的大致图象即可求出单调区

间;第(2)问考查函数的最值,关键是数形结合,对 a=0,0<a≤

<a≤1 分类讨论求解.

【备注】二次函数与绝对值函数作为重要的函数模型,具有重要的应用价值.二次函数是 永恒的经典,高考中的二次函数问题,基本上都要突出函数与方程思想的运用,体现了“用 最朴素的材料,考查最基本的方法”这一命题思想,同时追求一定的综合性,因此,加强二次 函数综合题的训练显得特别重要,在复习时应加以重视.

19.已知椭圆 C: + =1(a>b>0)的上顶点为(0,1),且上顶点到焦点的距离为

.

(1)求椭圆 C 的方程; (2)如图,过点 M(0,m)(m>0)的直线与椭圆 C 交于 A,B 两点,若在直线 y=-m 上存在点 N,使 △NAB 为正三角形,求 m 的最大值.

【答案】(1)由题意知,b=1,a=

,所以椭圆 C 的方程为 +y2=1.

(2)显然,直线 AB 的斜率存在,设其方程为 y=kx+m,与 +y2=1 联立,消去 y,并化简 得,(1+5k2)x2+10kmx+5m2-5=0,则判别式 Δ=100k2m2-4(1+5k2)(5m2-5)=100k2-20m2+20>0,

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 x1+x2=-

,x1x2=

.

设线段 AB 的中点为 P(x0,y0),当 k≠0 时,直线 PN:y-y0=- (x-x0)(k≠0),
2 令 y=-m,由 y0=kx0+m,得点 N 的坐标为(2km+(k +1)x0,-m),显然 k=0 时也符合,

所以|PN|= |AB|= |x1-x2|= .

|kx0+2m|,

由△NAB 为正三角形得|PN|= |AB|,所以|kx0+2m|= · ,两边同时平方可得

(k·

+2m)2= × [(

)2-4×

],即(

)2=15×

,即

m2(2+5k2)2=15(5k2+1-m2), 得 m2= ,令 1+5k2=t,则 m2= ≤ ,

当且仅当 t=4,即 k2= 时等号成立,此时 Δ=50>0,所以 m 的最大值为 . 【解析】本题主要考查椭圆的方程、直线与椭圆的位置关系等知识,意在考查数形结合、 转化与化归等数学思想方法,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第 (1)问根据题意易得方程;第(2)问先分析得到直线 AB 的斜率存在,再设直线 AB 的方程,与 椭圆的方程联立,得到 x1+x2=,x1x2= ,再得到点 N 的坐标,根据△NAB 为正三角形

得|PN|= |AB|,得到 m2=

,进而求解.

【备注】近几年的高考题中,解析几何一般作为倒数第二题出现,重点考查圆锥曲线的方 程、 几何性质,直线与圆锥曲线的位置关系以及与圆结合的综合问题等.一般地,第(1)问是 求圆锥曲线的方程,属于送分题,千万不要失分;第(2)问一般考查数学思想方法,通常在数

形结合下利用坐标,将问题转化为弦长问题、距离问题、方程问题等,一元二次方程根与 系数的关系是解决问题的常用工具,要熟练掌握.

20.已知数列{an}满足: a1=a2=1,

=λ(n∈N*),λ 是常数.

(1)当 λ=2 时,求 an+an+1-2n 的值; (2)记 bn=an+an+1-nλ(n∈N*). (i)求数列{bn}的通项公式及数列{an}的前 n 项和 Sn 的表达式; (ii)若 λ≥2,求证: + +…+ .

【答案】(1)当 λ=2 时,

=2,即 an+2an+1+an+2=4n+2,

∴(an+an+1-2n)+[an+1+an+2-2(n+1)]=0, ∵a1=a2=1,∴an+an+1-2n=0. (2)(i)易知 bn+bn+1=0,∴bn=b1(-1)n-1=(2-λ)(-1)n-1,
n-1 ∴an+an+1=nλ+(2-λ)(-1) ,

当 n 为偶数时,Sn=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(an-1+an) =[1+3+…+(n-1)]λ+(2-λ)(1+1+…+1) = λ+ (2-λ), 当 n 为奇数时,Sn=a1+(a2+a3)+(a4+a5)+…+(an-1+an) =1+[2+4+…+(n-1)]λ-(2-λ)(1+1+…+1) =1+ λ(2-λ) .

∴Sn=

.

(ii)当 n≥3 且 n 为奇数时,Sn=1+

λ-

(2-λ)≥1+

× 2=



,

当 n 为偶数时,Sn-

(λ-2)+ (2-λ)=(λ-2)×

≥0,



,



+

+…+≤ + + +…+

.

当 n≤3 时结论显然成立,当 n≥4 时, + + +…+ + + +[ + +…+ ]= + + + [( + )+( +

)+…+(

+)]= + + +

+

)< + + +

.

【解析】本题主要考查数列的通项公式、分组求和、裂项相消法求和等,意在考查转化 与化归的数学思想,考查考生的运算求解能力、分析问题和解决问题的能力.第(1)问通过 构造(an+an+1-2n)+[an+1+an+2-2(n+1)]=0,得到 an+an+1-2n=0;第(2)问同样构造 an+an+1=nλ+(2-λ)(-1)n-1,然后结合分组求和、裂项相消法求和,进行放缩,最后得出结论.

【备注】数列解答题一般有两问到三问,常以等差数列、等比数列的通项公式、求和为 切入点,将数列与函数、不等式等知识综合起来,这类题一般对逻辑推理能力的要求较高; 也可以给出一个递推关系式,在此基础上设计几个小问,此时,小问中设出的数列往往是 特殊数列,这些小问中提供的条件实质就是解题的风向标、指路石,要充分应用,且各小问 有时是一环扣一环,注意前面证明的结论在后面小问中的应用.


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