nbhkdz.com冰点文库

三角函数

时间:2014-05-30


常用诱导公式 常用的诱导公式有以下六组: 公式一 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:对于 x 轴正半轴为起 点轴而言 弧度制下的角的表示:

角度制下的角的表示: sin (α +k?360°)=sinα (k∈Z) tan (α +k?360°)=tanα (k∈Z) sec(α +k?360°)=secα (k∈Z) 公式二 设 α 为任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系:对于 x 轴负半轴为起点轴而言 弧度制下的角的表示: sin(π +α )=-sinα tan(π +α )=tanα sec(π +α )=-secα 角度制下的角的表示: cos(π +α )=-cosα cot(π +α )=cotα csc(π +α )=-cscα cos(α +k?360°)=cosα (k∈Z) cot(α +k?360°)=cotα (k∈Z) csc(α +k?360°)=cscα (k∈Z)

sin(180°+α )=-sinα tan(180°+α )=tanα sec(180°+α )=-secα 公式三

cos(180°+α )=-cosα cot(180°+α )=cotα csc(180°+α )=-cscα
[3]

任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα tan(-α )=-tanα sec(-α )=secα 公式四 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: cos(-α )=cosα cot(-α )=-cotα csc (-α )=-cscα
[3]

角度制下的角的表示: sin(180°-α )=sinα tan(180°-α )=-tanα sec(180°-α )=-secα 公式五 cos(180°-α )=-cosα cot(180°-α )=-cotα csc(180°-α )=cscα
[3]

利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(2π -α )=-sinα tan(2π -α )=-tanα sec(2π -α )=secα 角度制下的角的表示: sin(360°-α )=-sinα tan(360°-α )=-tanα sec(360°-α )=secα 公式六 π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋) ⒈ π /2+α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π /2+α )=cosα tan(π /2+α )=-cotα sec(π /2+α )=-cscα 角度制下的角的表示: sin(90°+α )=cosα tan(90°+α )=-cotα sec(90°+α )=-cscα cos(90°+α )=-sinα cot(90°+α )=-tanα csc(90°+α )=secα
[3]

cos(2π -α )=cosα cot(2π -α )=-cotα csc(2π -α )=-cscα

cos(360°-α )=cosα cot(360°-α )=-cotα csc(360°-α )=-cscα
[3]

cos(π /2+α )=—sinα cot(π /2+α )=-tanα csc(π /2+α )=secα

⒉ π /2-α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π /2-α )=cosα tan(π /2-α )=cotα sec(π /2-α )=cscα cos(π /2-α )=sinα cot(π /2-α )=tanα csc(π /2-α )=secα

角度制下的角的表示: sin (90°-α )=cosα tan (90°-α )=cotα sec (90°-α )=cscα cos (90°-α )=sinα cot (90°-α )=tanα csc (90°-α )=secα
[3]

⒊ 3π /2+α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(3π /2+α )=-cosα tan(3π /2+α )=-cotα sec(3π /2+α )=cscα 角度制下的角的表示: sin(270°+α )=-cosα tan(270°+α )=-cotα sec(270°+α )=cscα cos(270°+α )=sinα cot(270°+α )=-tanα csc(270°+α )=-secα
[3]

cos(3π /2+α )=sinα cot(3π /2+α )=-tanα csc(3π /2+α )=-secα

⒋ 3π /2-α 与 α 的三角函数值之间的关系[1-2] 弧度制下的角的表示: sin(3π /2-α )=-cosα tan(3π /2-α )=cotα sec(3π /2-α )=-cscα 角度制下的角的表示: sin(270°-α )=-cosα tan(270°-α )=cotα sec(270°-α )=-cscα cos(270°-α )=-sinα cot(270°-α )=tanα csc(270°-α )=-secα
[3]

cos(3π /2-α )=-sinα cot(3π /2-α )=tanα csc(3π /2-α )=-secα

诱导公式记忆 奇变偶不变,符号看象限。 规律 公式一到公式五函数名未改变, 公式六函数名发生改变。 公式一到公式五可简记为:函数名不变,符号看象限。即 α +k?360 (k∈Z),﹣α ,180°±α ,360°-α 的三角函数值,等于 α 的同名三角 函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。[4] 上面这些诱导公式可以概括为: 对于
k? ? ? (k∈Z)的三角函数值, 2

①当 k 是偶数时,得到 α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到 α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变)然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如: sin(2π -α )=sin(
4? ? ? ),k=4 为偶数,所以取 sinα 。 2

当 α 是锐角时,2π -α ∈(270°,360°),sin(2π -α )<0,符号为 “-”。 所以 sin(2π -α )=-sinα 纵变横不变符号看象限
例如:sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即 cos,所 以 sin(90°+α)=cosα。
[5]

记忆口诀

奇变偶不变,符号看象限。 注:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) 符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角) 公式右边的符号为把 α 视为锐角时,角 k?360°+α (k∈Z),-α 、 180°±α ,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦 (余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦、余割是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内只有正切、余切函数是“+”,其余函数是“-”; 第四象限内只有余弦、正割是“+”,其余全部是“-”。[5] 3.同角三角函数关系 倒数关系

商的关系

平方关系

半角公式
半角公式即利用某个角(如 A)的正弦、余弦、正切,及其他三角函数,来 求其半角的正弦,余弦,正切,及其他三角函数的公式。 公式

(正负由 所在的象限决定)

(正负由 所在的象限决定)

(正负由 所在的象限决定)

倍角公式
二倍角公式

和差公式

三倍角公式

半角公式

万能公式

积化和差公式

和差化积公式

其他

辅助角公式
A sin ? ? B cos ? ? A2 ? B 2 sin(? ? arctan A sin ? ? B cos ? ? A2 ? B 2 cos(? ? arctan B ) A B ) A

级数

三角形与三角函数: 1、正弦定理:在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即
a b c ? ? ? 2 R .(其中 R 为外接圆的半径) sin A sin B sin C

2、第一余弦定理:三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积 的和,即 a ? c ? cos B ? b ? cos C 3、第二余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 4、正切定理:三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值, 即

A? B A? B tan tan a ?b 2 ? 2 ? A ? B C a ? b tan cot 2 2
5、三角形中的恒等式: 对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明: 已知(A+B)=(π -C) 所以 tan(A+B)=tan(π -C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ -tanC)/(1+tanπ tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地,我们同样也可以求证:当 α +β +γ =nπ (n∈Z)时,总有 tanα +tanβ +tanγ =tanα tanβ tanγ


赞助商链接

三角函数知识点归纳

三角函数知识点归纳 - 三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 1.任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角. ?正角:按逆...

三角函数(一轮复习教案)

x (2)三角函数在各象限的符号 一全正,二正弦,三正切,四余弦. 4.单位圆与三角函数线 (1)单位圆:半径为 1 的圆叫做单位圆. (2)三角函数线. (3)几何...

2015--2016三角函数专题训练

2015--2016三角函数专题训练_高三数学_数学_高中教育_教育专区。2015--2016 高考三角函数专题冲刺训练(一)---函数图像 1、函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ...

大学高数三角函数总结

. x y o x 5、三角函数在各象限的符号: (一全二正弦,三切四余弦) y y + + o x - 正弦、余割 - + o - + x 余弦、正割 y y P T - + o ...

三角函数 历年高考题

三角函数 历年高考题_数学_高中教育_教育专区。三角函数 三角函数题型分类总结一. 三角函数的求值、化简、证明问题常用的方法技巧有: a) 常数代换法:如: 1 ? ...

三角函数图像及性质高考题分类归纳

三角函数图像及性质高考题分类归纳_数学_高中教育_教育专区。非常好,归纳全面,值得拥有!第四讲 [知识能否忆起] 1.周期函数 (1)周期函数的定义: 三角函数的图像...

三角函数测试卷

三角函数测试卷_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修一测试 高一数学周日考试测试卷(时间:120 分钟,满分:150 分) 《三角函数》 第一部分选择题(共 50 分) ...

三角函数(经典难题)

三角函数(经典难题)_数学_高中教育_教育专区。三角函数一、 选择题 1.已知 tan ? ? 2, 则 4sin 3 ? ? 2 cos ? 的值为( ) 5cos ? ? 3sin ? C....

高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)

高中数学必修一 三角函数图像性质总结(精华版)_数学_高中教育_教育专区。一.正弦、余弦、正切函数图象和性质函 数有界性定义域 有界 正弦函数 y ? sin x, x...

三角函数公式大全

? y x x y r y 二、同角三角函数的基本关系式 六边形记忆法:图形结构“上弦中切下割,左正右余中间 1”;记忆方法“对角线上两个 函数的积为 1;阴影三角...