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三角函数


常用诱导公式 常用的诱导公式有以下六组: 公式一 设 α 为任意角,终边相同的角的同一三角函数的值相等:对于 x 轴正半轴为起 点轴而言 弧度制下的角的表示:

角度制下的角的表示: sin (α +k?360°)=sinα (k∈Z) tan (α +k?360°)=tanα (k∈Z) sec(α +k?360°)=secα (k∈Z) 公式二 设 α 为

任意角,π +α 的三角函数值与 α 的三角函数值之间的关系:对于 x 轴负半轴为起点轴而言 弧度制下的角的表示: sin(π +α )=-sinα tan(π +α )=tanα sec(π +α )=-secα 角度制下的角的表示: cos(π +α )=-cosα cot(π +α )=cotα csc(π +α )=-cscα cos(α +k?360°)=cosα (k∈Z) cot(α +k?360°)=cotα (k∈Z) csc(α +k?360°)=cscα (k∈Z)

sin(180°+α )=-sinα tan(180°+α )=tanα sec(180°+α )=-secα 公式三

cos(180°+α )=-cosα cot(180°+α )=cotα csc(180°+α )=-cscα
[3]

任意角 α 与 -α 的三角函数值之间的关系: sin(-α )=-sinα tan(-α )=-tanα sec(-α )=secα 公式四 利用公式二和公式三可以得到 π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: cos(-α )=cosα cot(-α )=-cotα csc (-α )=-cscα
[3]

角度制下的角的表示: sin(180°-α )=sinα tan(180°-α )=-tanα sec(180°-α )=-secα 公式五 cos(180°-α )=-cosα cot(180°-α )=-cotα csc(180°-α )=cscα
[3]

利用公式一和公式三可以得到 2π -α 与 α 的三角函数值之间的关系: 弧度制下的角的表示: sin(2π -α )=-sinα tan(2π -α )=-tanα sec(2π -α )=secα 角度制下的角的表示: sin(360°-α )=-sinα tan(360°-α )=-tanα sec(360°-α )=secα 公式六 π /2±α 及 3π /2±α 与 α 的三角函数值之间的关系:(⒈~⒋) ⒈ π /2+α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π /2+α )=cosα tan(π /2+α )=-cotα sec(π /2+α )=-cscα 角度制下的角的表示: sin(90°+α )=cosα tan(90°+α )=-cotα sec(90°+α )=-cscα cos(90°+α )=-sinα cot(90°+α )=-tanα csc(90°+α )=secα
[3]

cos(2π -α )=cosα cot(2π -α )=-cotα csc(2π -α )=-cscα

cos(360°-α )=cosα cot(360°-α )=-cotα csc(360°-α )=-cscα
[3]

cos(π /2+α )=—sinα cot(π /2+α )=-tanα csc(π /2+α )=secα

⒉ π /2-α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(π /2-α )=cosα tan(π /2-α )=cotα sec(π /2-α )=cscα cos(π /2-α )=sinα cot(π /2-α )=tanα csc(π /2-α )=secα

角度制下的角的表示: sin (90°-α )=cosα tan (90°-α )=cotα sec (90°-α )=cscα cos (90°-α )=sinα cot (90°-α )=tanα csc (90°-α )=secα
[3]

⒊ 3π /2+α 与 α 的三角函数值之间的关系 弧度制下的角的表示: sin(3π /2+α )=-cosα tan(3π /2+α )=-cotα sec(3π /2+α )=cscα 角度制下的角的表示: sin(270°+α )=-cosα tan(270°+α )=-cotα sec(270°+α )=cscα cos(270°+α )=sinα cot(270°+α )=-tanα csc(270°+α )=-secα
[3]

cos(3π /2+α )=sinα cot(3π /2+α )=-tanα csc(3π /2+α )=-secα

⒋ 3π /2-α 与 α 的三角函数值之间的关系[1-2] 弧度制下的角的表示: sin(3π /2-α )=-cosα tan(3π /2-α )=cotα sec(3π /2-α )=-cscα 角度制下的角的表示: sin(270°-α )=-cosα tan(270°-α )=cotα sec(270°-α )=-cscα cos(270°-α )=-sinα cot(270°-α )=tanα csc(270°-α )=-secα
[3]

cos(3π /2-α )=-sinα cot(3π /2-α )=tanα csc(3π /2-α )=-secα

诱导公式记忆 奇变偶不变,符号看象限。 规律 公式一到公式五函数名未改变, 公式六函数名发生改变。 公式一到公式五可简记为:函数名不变,符号看象限。即 α +k?360 (k∈Z),﹣α ,180°±α ,360°-α 的三角函数值,等于 α 的同名三角 函数值,前面加上一个把 α 看成锐角时原函数值的符号。[4] 上面这些诱导公式可以概括为: 对于
k? ? ? (k∈Z)的三角函数值, 2

①当 k 是偶数时,得到 α 的同名函数值,即函数名不改变; ②当 k 是奇数时,得到 α 相应的余函数值,即 sin→cos;cos→sin;tan→cot,cot→tan. (奇变偶不变)然后在前面加上把 α 看成锐角时原函数值的符号。(符号看象限) 例如: sin(2π -α )=sin(
4? ? ? ),k=4 为偶数,所以取 sinα 。 2

当 α 是锐角时,2π -α ∈(270°,360°),sin(2π -α )<0,符号为 “-”。 所以 sin(2π -α )=-sinα 纵变横不变符号看象限
例如:sin(90°+α),90°的终边在纵轴上,所以函数名变为相反的函数名,即 cos,所 以 sin(90°+α)=cosα。
[5]

记忆口诀

奇变偶不变,符号看象限。 注:奇变偶不变(对 k 而言,指 k 取奇数或偶数) 符号看象限(看原函数,同时可把 α 看成是锐角) 公式右边的符号为把 α 视为锐角时,角 k?360°+α (k∈Z),-α 、 180°±α ,360°-α 所在象限的原三角函数值的符号可记忆 水平诱导名不变;符号看象限。 各种三角函数在四个象限的符号如何判断,也可以记住口诀“一全正;二正弦 (余割);三两切;四余弦(正割)”. 这十二字口诀的意思就是说: 第一象限内任何一个角的三角函数值都是“+”; 第二象限内只有正弦、余割是“+”,其余全部是“-”; 第三象限内只有正切、余切函数是“+”,其余函数是“-”; 第四象限内只有余弦、正割是“+”,其余全部是“-”。[5] 3.同角三角函数关系 倒数关系

商的关系

平方关系

半角公式
半角公式即利用某个角(如 A)的正弦、余弦、正切,及其他三角函数,来 求其半角的正弦,余弦,正切,及其他三角函数的公式。 公式

(正负由 所在的象限决定)

(正负由 所在的象限决定)

(正负由 所在的象限决定)

倍角公式
二倍角公式

和差公式

三倍角公式

半角公式

万能公式

积化和差公式

和差化积公式

其他

辅助角公式
A sin ? ? B cos ? ? A2 ? B 2 sin(? ? arctan A sin ? ? B cos ? ? A2 ? B 2 cos(? ? arctan B ) A B ) A

级数

三角形与三角函数: 1、正弦定理:在三角形中,各边和它所对的角的正弦的比相等,即
a b c ? ? ? 2 R .(其中 R 为外接圆的半径) sin A sin B sin C

2、第一余弦定理:三角形中任意一边等于其他两边以及对应角余弦的交叉乘积 的和,即 a ? c ? cos B ? b ? cos C 3、第二余弦定理:三角形中任何一边的平方等于其它两边的平方之和减去这两 边与它们夹角的余弦的积的 2 倍,即 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 4、正切定理:三角形中任意两边差和的比值等于对应角半角差和的正切比值, 即

A? B A? B tan tan a ?b 2 ? 2 ? A ? B C a ? b tan cot 2 2
5、三角形中的恒等式: 对于任意非直角三角形中,如三角形 ABC,总有 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 证明: 已知(A+B)=(π -C) 所以 tan(A+B)=tan(π -C) 则(tanA+tanB)/(1-tanAtanB)=(tanπ -tanC)/(1+tanπ tanC) 整理可得 tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC 类似地,我们同样也可以求证:当 α +β +γ =nπ (n∈Z)时,总有 tanα +tanβ +tanγ =tanα tanβ tanγ


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