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方程的根与函数的零点练习答案 (2)


方程的根与函数零点综合练习题答案
一、选择题 1.下列函数中在区间[1,2]上有零点的是( A.f(x)=3x2-4x+5 [答案] D [解析] 对于函数 f(x)=ex+3x-6 来说 f(1)=e-3<0,f(2)=e2>0∴f(1)f(2)<0,故选 D. 1 2.(09· 天津理)设函数 f(x)= x-lnx(x>0)则 y=f(x)( 3

) ) D.f(x)=ex+3x-6

B.f(x)=x3-5x-5C.f(x)=lnx-3x+6

1 1 A.在区间?e,1?,(1,e)内均有零点 B.在区间? e,1?, (1,e)内均无零点 ? ? ? ? 1 1 C.在区间?e,1?内有零点;在区间(1,e)内无零点 D.在区间? e,1?内无零点,在区间(1,e) ? ? ? ? 内有零点 [答案] D 1 1 1 1 1 [解析] ∵f(x)= x-lnx(x>0),∴f(e)= e-1<0,f(1)= >0,f( )= +1>0, 3 3 3 e 3e 1 ∴f(x)在(1,e)内有零点,在( ,1)内无零点.故选 D. e 3.(2010· 天津文,4)函数 f(x)=ex+x-2 的零点所在的一个区间是( A.(-2,-1) [答案] C [解析] ∵f(0)=-1<0,f(1)=e-1>0,即 f(0)f(1)<0, ∴由零点定理知,该函数零点在区间(0,1)内. 1 3 4.函数 y= x- 2的一个零点是( x A.-1 [答案] B [点评] 要准确掌握概念,“零点”是一个数,不是一个点. 5.若函数 f(x)是奇函数,且有三个零点 x1、x2、x3,则 x1+x2+x3 的值为( A.-1 [答案] B [解析] 因为 f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,它有三个零点,即 f(x)的图象与 x 轴有三个 交点,故必有一个为原点另两个横坐标互为相反数.∴x1+x2+x3=0. 6.已知 f(x)=-x-x3,x∈[a,b],且 f(a)· f(b)<0,则 f(x)=0 在[a,b]内( A.至少有一实数根 [答案] D
1

)

B.(-1,0)

C.(0,1)

D.(1,2)

) D.(1,0)

B.1

C.(-1,0)

)

B.0

C.3

D.不确定

) D.有惟一实数根

B.至多有一实数根

C.没有实数根

[解析] ∵f(x)为单调减函数,x∈[a,b]且 f(a)· f(b)<0,∴f(x)在[a,b]内有惟一实根 x=0. 7.若函数 y ? f (x) 在区间[a,b]上的图象为连续不断的一条曲线,则下列说法正确的是( A.若 f (a) f (b) ? 0 ,不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; B.若 f (a) f (b) ? 0 ,存在且只存在一个实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; C.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; )

D.若 f (a) f (b) ? 0 ,有可能不存在实数 c ? (a, b) 使得 f (c) ? 0 ; 8.函数 f(x)=ax2+bx+c,若 f(1)>0,f(2)<0,则 f(x)在(1,2)上零点的个数为( A.至多有一个 [答案] C [解析] 若 a=0,则 b≠0,此时 f(x)=bx+c 为单调函数, ∵f(1)>0,f(2)<0,∴f(x)在(1,2)上有且仅有一个零点; B.有一个或两个 C.有且仅有一个

)

D.一个也没有

若 a≠0, f(x)为开口向上或向下的抛物线, 则 若在(1,2)上有两个零点或无零点, 则必有 f(1)· f(2)>0, ∵f(1)>0,f(2)<0,∴在(1,2)上有且仅有一个零点,故选 C. 9.(哈师大附中 2009~2010 高一期末)函数 f(x)=2x-log1x 的零点所在的区间为(
2

)

1 A.?0,4? ? ? [答案] B

1 1 B.?4,2? ? ?

1 C.?2,1? ? ?

D.(1,2)

1 1 1 11 4 [解析] ∵f?4?=2 -log = 2-2<0,f?2?= 2-1>0,f(x)在 x>0 时连续,∴选 B. ? ? 4 ? ? 24 10.根据表格中的数据,可以判定方程 ex-x-2=0 的一个根所在的区间为( x e A.(-1,0) [答案] C [解析] 令 f(x)=ex-x-2,则 f(1)· f(2)=(e-3)(e2-4)<0,故选 C. 11.若函数 f(x)=ax+b 的零点是 2,则函数 g(x)=bx2-ax 的零点是( A.0,2 [答案] C 1 [解析] 由条件 2a+b=0,∴b=-2a∴g(x)=-ax(2x+1)的零点为 0 和- . 2
?x2+2x-3,x≤0, ? 12.(2010· 福建理,4)函数 f(x)=? 的零点个数为( ? ?-2+lnx,x>0
x

)

-1 0.37

0 1

1 2.72

2 7.39 D.(2,3)

3 20.09

B.(0,1)

C.(1,2)

)

1 B.0, 2

1 C.0,- 2

1 D.2,- 2

)

A.0 [答案] C

B.1

C.2

D.3

[解析] 令 x2+2x-3=0,∴x=-3 或 1∵x≤0,∴x=-3;令-2+lnx=0,∴lnx=2
2

∴x=e2>0,故函数 f(x)有两个零点. 1 13.函数 y=x3 与 y=?2?x 的图象的交点为(x0,y0),则 x0 所在区间为( ? ? A.(-2,-1) [答案] C 1 1 [解析] 令 f(x)=x3-?2?x,则 f(0)=-1<0,f(1)= >0,故选 C. ? ? 2 14.若函数 f(x)=x2-ax+b 的两个零点是 2 和 3,则函数 g(x)=bx2-ax-1 的零点是( 1 A.-1 和 6 [答案] B [解析] 由于 f(x)=x2-ax+b 有两个零点 2 和 3,∴a=5,b=6.∴g(x)=6x2-5x-1 有两个零点 1 1 和- . 6 (x-1)ln(x-2) 15.函数 f(x)= 的零点有( x-3 A.0 个 [答案] A (x-1)ln(x-2) [解析] 令 f(x)=0 得, =0,∴x-1=0 或 ln(x-2)=0,∴x=1 或 x=3, x-3 ∵x=1 时,ln(x-2)无意义,x=3 时,分母为零,∴1 和 3 都不是 f(x)的零点,∴f(x)无零点,故 选 A. 16.已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且 α、β 是函数 f(x)的两个零点,则实数 a、b、α、β 的大小 关系可能是( ) B.a<α<β<b C.α<a<b<β D.α<a<β<b B.1 个 C.2 个 ) D.3 个 1 B.1 和- 6 1 1 C. 和 2 3 1 1 D.- 和- 2 3 ) B.(-1,0) C.(0,1) D.(1,2) )

A.a<α<b<β [答案] C

[解析] ∵α、β 是函数 f(x)的两个零点, ∴f(α)=f(β)=0, f(x)=(x-a)(x-b)-2, 又 ∴f(a)=f(b)=-2<0.结合二次函数 f(x)的图象可知, a、 b 必在 α、β 之间. 17.若方程 x2-3x+mx+m=0 的两根均在(0,+∞)内,则 m 的取值范围是( A.m≤1 [答案] B [解析] 设方程 x2+(m-3)x+m=0 的两根为 x1,x2,则有 Δ=(m-3)2-4m≥0,且 x1+x2=3 -m>0,x1·2=m>0,解得 0<m≤1. x 18.已知函数 f(x)=mx2+(m-3)x+1 的图象与 x 轴的交点至少有一个在原点右侧,则实数 m 的 取值范围是( ) B.0<m≤1 C.m>1 D.0<m<1 )

3

A.(0,1] [答案] D

B.(0,1)

C.(-∞,1)

D.(-∞,1]

1 [解析] 解法 1:取 m=0 有 f(x)=-3x+1 的根 x= >0,则 m=0 应符合题设,所以排除 A、B, 3 当 m=1 时,f(x)=x2-2x+1=(x-1)2 它的根是 x=1 符合要求,排除 C.∴选 D. 解法 2:直接法,∵f(0)=1,∴(1)当 m<0 时必成立,排除 A、B,

?m>0, ?Δ=(m-3) -4m>0, (2)当 m>0 时, 要使与 x 轴交点至少有一个在原点右侧, ? 则 ?-m-3>0, ? 2m
2

∴0<m≤1.

1 (3)当 m=0 时根为 x= >0.∴选 D. 3 19.已知 x1 是方程lgx+x=3的解,

x2

是 10 ? x ? 3 的解,求 x1
x

? x2
1 D. 3





3 A. 2

2 B. 3

C.3

20.方程 lg x ? x ? 0 根的个数 A.无穷多 二、填空题 B.3 C.1 D.0





21.方程 ex-x-2=0 在实数范围内的解有________个.
3 x ? 2.5 ,那么 22.用“二分法”求方程 x ? 2x ? 5 ? 0 在区间[2,3]内的实根,取区间中点为 0

下一个有根的区间是 . 23.二次函数 y=ax2+bx+c(x∈R)的部分对应值如下表: x y
2

-3 6

-2 0

-1 -4

0 -6

1 -6

2 -4

3 0

4 6

则使 ax +bx+c>0 的自变量 x 的取值范围是______. [答案] (-∞,-2)∪(3,+∞) ax-1 1 24. 湖北理)已知关于 x 的不等式 (09· <0 的解集是(-∞, -1)∪?-2,+∞?.则 a=________. ? ? x+1 [答案] -2 [解析] ax-1 1 <0?(ax-1)(x+1)<0,∵其解集为(-∞,-1)∪(- ,+∞), 2 x+1

1 ∴a<0 且-1 和- 是(ax-1)(x+1)=0 的两根,解得 a=-2. 2 1 [点评] 由方程的根与不等式解集的关系及题设条件知,- 是 ax-1=0 的根,∴a=-2. 2

4

1 25. 定义在 R 上的偶函数 y=f(x)在(-∞, 0]上递增, 函数 f(x)的一个零点为- , 则满足 f(log1x)≥0 2 4 的 x 的取值集合 1 1 1 [解析] ∵- 是函数的零点,∴f?-2?=0,∵f(x)为偶函数,∴f( )=0, ? ? 2 2 1 1 ∵f(x)在(-∞,0]上递增,f(log1x)≥f?-2?,∴0≥log1x≥- ,∴1≤x≤2, ? ? 2 4 4 1 1 1 1 ∵f(x)为偶函数,∴f(x)在[0,+∞)上单调减,又 f(log1x)≥f( ),∴0≤log1x≤ ,∴ ≤x≤1,∴ 2 2 2 2 4 4 1 ≤x≤2.故 x 的取值集合为{x| ≤x≤2}. 2 三、解答题 26.证明方程(x-2)(x-5)=1 有两个相异实根,且一个大于 5,一个小于 2. [解析] 令 f(x)=(x-2)(x-5)-1 ∵f(2)=f(5)=-1<0,且 f(0)=9>0. f(6)=3>0.∴f(x)在(0,2)和(5,6)内都有零点, 又 f(x)为二次函数,故 f(x)有两个相异实根,且一个大于 5、一个小于 2. 27.二次函数 f(x)=ax2+bx+c 的零点是-2 和 3,当 x∈(-2,3)时,f(x)<0,且 f(-6)=36,求 二次函数的解析式. [解析] 由条件知 f(x)=a(x+2)(x-3)且 a>0 ∵f(-6)=36,∴a=1∴f(x)=(x+2)(x-3) 满足条件-2<x<3 时,f(x)<0.∴f(x)=x2-x-6. 28.求函数 y=x3-2x2-x+2 的零点,并画出它的简图. [解析] 因为 x3-2x2-x+2=x2(x-2)-(x-2)=(x-2)(x2-1)=(x-2)(x-1)(x+1), 所以函数的零点为-1,1,2.3 个零点把 x 轴分成 4 个区间: (-∞,-1],[-1,1],[1,2],[2,+∞]. 在这 4 个区间内,取 x 的一些值(包括零点),列出这个函数的对应值(取精确到 0.01 的近似值)表: x y ? -1.5 ? -4.38 -1 0 -0.5 1.88 0 2 0.5 1.13 1 0 1.5 -0.63 2 0 2.5 2.63 ? ?

在直角坐标系内描点连线,这个函数的图象如图所示.

5

29.若函数 f(x)=log3(ax2-x+a)有零点,求 a 的取值范围. [解析] ∵f(x)=log3(ax2-x+a)有零点,∴log3(ax2-x+a)=0 有解.∴ax2-x+a=1 有解. 当 a=0 时,x=-1. 当 a≠0 时,若 ax2-x+a-1=0 有解, 1- 2 1+ 2 则 Δ=1-4a(a-1)≥0,即 4a2-4a-1≤0,解得 ≤a≤ 且 a≠0. 2 2 1- 2 1+ 2 综上所述, ≤a≤ . 2 2 x-2 30.已知函数 f(x)=ax+ (a>1). x+1 (1)证明:函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数; (2)用反证法证明方程 f(x)=0 没有负数根. [解析] (1)任取 x1、x2∈(-1,+∞),不妨设 x1<x2, 则 x2-x1>0,ax2-x1>1,且 ax1>0. ∴ax2-ax1=ax1(ax2-x1-1)>0.又∵x1+1>0,x2+1>0, x2-2 x1-2 (x2-2)(x1+1)-(x1-2)(x2+1) 3(x2-x1) ∴ - = = >0 x2+1 x1+1 (x1+1)(x2+1) (x1+1)(x2+1) x2-2 x1-2 于是 f(x2)-f(x1)=ax2-ax1+ - >0,故函数 f(x)在(-1,+∞)上为增函数. x2+1 x1+1 x0-2 (2)证法 1:设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0,则 ax0=- ,且 0<ax0<1, x0+1 x0-2 1 ∴0<- <1,即 <x0<2.与假设 x0<0 矛盾,故方程 f(x)=0 没有负数根. 2 x0+1 证法 2:设存在 x0<0(x0≠-1),满足 f(x0)=0 x0-2 (Ⅰ)若-1<x0<0,则 <-2,ax0<1,∴f(x0)<-1 与 f(x0)=0 矛盾. x0+1 x0-2 (Ⅱ)若 x0<-1,则 >0,ax0>0,∴f(x0)>0 与 f(x0)=0 矛盾, x0+1
6

故方程 f(x)=0 没有负数根.

7


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