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上海市黄浦区2014届高三上学期期末(一模)考试数学(理)试题Word版含解析

时间:2014-03-02


考试试卷黄浦区 2013—2014 学年度第一学期高三年级学业质量调研 数学试卷(理科)
2014.1.9

考生注意: 1.答卷前,考生务必在答题纸写上姓名、考号, 并将核对后的条形码贴在指定位置上.
2.本试卷共有 23 道题,满分 150 分,考试时间 120 分钟.

一、填空题(每题 4 分,满分 56 分,将

答案填在答题纸上)
1.函数 f ? x ? ? log2 ? x ? 1? 的定义域是

x?2



2.己知全集 U ? R ,集合 A ? 则 ?CU A ? ? B

x?2 ? ?x | x ? 1 ? 2, x ? R?, B ? ? ? 0, x ? R ? , ?x | ? x ?

?

.

3.已知幂函数 是 .

f ? x ? 存在反函数,且反函数 f ?1 ? x ? 过点(2,4) ,则 f ? x ? 的解析式
x (x 0)

【答案】 f ( x) = 【解析】

试题分析:首先要弄清幂函数的形式,其次要弄懂反函数的性质,反函数图象过点 (2, 4) ,
a 说明原函数图象过点 (4, 2) ,设 f ( x) ? x ,则 4 ? 2 ,则 a ?
a

1 ,故 f ( x) ? x ( x ? 0) . 2

考点:幂函数,反函数的性质.

4.方程

7 ? 3x ? 2 的解是 x 9 ?2

.

5.己知数列

?a ?是公差为 2 的等差数列,若 a
n

6

是 a 7 和 a8 的等比中项,则 a n =________.

6.已知向量 a 是 【答案】5 【解析】

? ?cos? , sin? ?, b ? ?1,?2? ,若 a ∥ b ,则代数式 2 sin? ? cos? 的值
sin? ? cos?


?

?

试题分析:利用向量平行的充要条件,由 a ∥ b 得 入求值式即得. 考点:向量平行.

?

?

cos ? sin ? ,即 sin ? ? ?2cos? ,代 ? 1 ?2

7.三阶行列式

? sin x 0 ?5 4

?1 0

6 cos x 2 sin x

? x ? R ? 中元素 4 的代数余子式的值记为 f ? x ? ,则函数

f ? x ? 的最小值为

8.各项都为正数的无穷等比数列

?a ?,满足 a
n

2

x?m 是增广矩阵 ? m, a4 ? t , 且 ? ? ? y?t

? 3 ? 1 22 ? 的线性方程组 ? a11 x ? a12 y ? c1 的解,则无穷等比数列 ?a ?各项和的数值是 ? n ? ?0 1 2 ? ? ? ? ?a21 x ? a22 y ? c2
_________.

1 ? 3 9. ? ? x? ? x? ?
【答案】5005 【解析】

15

的二项展开式的常数项的值是__________.

试题分析:其二项展开式的通项公式为 Tr ?1 ? C ( x )
r 3 15

15? r

30 ?5 r 1 r r r (? ) ? (?1) C15 x 6 ,令 x

30 ? 5r 6 ? 5005 . ? 0 ,即 r ? 6 ,所以常数项为第 7 项 T7 ? (?1)6 C15 6
考点:二项展开式的通项公式.

10.把 4 个颜色各不相同的乒乓球随机的放入编号为 1、2、3、4 的四个盒子里 .则恰好有

一个盒子空的概率是

(结果用最简分数表示)

11.将某个圆锥沿着母线和底面圆周剪开后展开,所得的平面图是一个圆和扇形,己知该扇 形的半径为 24cm,圆心角为

4? 3

,则圆锥的体积是________ cm .
3

12.从某项有 400 人参加的群众性运动的达标测试中, 随机地抽取 50 人的成绩统计成如 下表,则 400 人的成绩的标准差的点估计值是 分数 人数 【答案】 1.09 【解析】 试题分析:在统计学中,一般用样本来估计总体,即本题中我们用样本的标准差来估计总体 的标准差,对容量为 n 的样本,其方差为 s ?
2 2 1 n 1 n 2 2 ( x ? x ) ? xi ? x ,本题中样本容 ? ? i n i ?1 n i ?1

. 3 20 2 5 1 5

5 5

4 15

2 量为 50,计算出 s ? 1.16 ,因此标准差为 s ? 1.16 ? 1.09 ,此即为总体 400 人的成绩的

标准差. 考点:方差与标准差,总体与样本.

13.设向量? ? ?a, b ? , ? ? ?m, n ? ,其中 a, b, m, n ? R ,由不等式 ? ? ? ? ? ? ? 恒成立,可 以证明 (柯西) 不等式 ?am ? bn?
2

? ?a 2 ? b 2 ??m 2 ? n 2 ?(当且仅当 ? ∥ ? ,即 an ? bm

??

??

时等号成立) ,己知 x, y ? R ? ,若 x ? 3 y ? k ? x ? y 恒成立,利用可西不等式可求得实 数 k 的取值范围是

14.. 己知数列 ?a n ?满足 an ?1 值是___________. 【答案】1017072 【解析】

? ?? 1? an ? n, ?n ? N ? ? ,则数列 ?a ?的前 2016 项的和 S 2016 的
n
n

试题分析: 这个数列既不是等差数列也不是等比数列, 因此我们要研究数列的各项之间有什 么关系,与它们的和有什么联系?把已知条件具体化,有 a2 ? a1 ? 1 , a3 ? a2 ? 2 ,

a4 ? a3 ? 3 , a5 ? a4 ? 4 ,?, a2015 ? a2014 ? 2014 , a2016 ? a2015 ? 2015 ,我们的目的是
求 S2016 ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ? ? a2016 , 因此我们从上面 2015 个等式中寻找各项的和, 可能 首先想到把出现“+”的式子相加(即 n 为偶数的式子相加) ,将会得到

a2 ? a3 ? a4 ? a5 ? ? ? a2014 ? a2015 ? 2 ? 4 ? ? ? 2014 ,好像离目标很近了,但少 a1 ? a2016 ,而 a1 与 a2016 分布在首尾两个式子中,那么能否把首尾两个式子相减呢?相减后
得到 (a1 ? a2016 ) ? (a2 ? a2105 ) ?

二、选择题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的.
15.己知实数 a , b 满足 ab ? 0 ,则“

1 1 成立”是“ a ? b 成立”的( ? a b
( B) 必要非充分条件.

).

( A) 充分非必要条件. (C ) 充要条件.
【答案】C 【解析】

( D) 既非充分又非必要条件.

试题分析:这是考查不等式的性质,由于 ab ? 0 ,因此不等式

1 1 ? 两边同乘以 ab 可得 a b

b ? a ,即 a ? b ,

16.已知空间两条直线 m, n ,两个平面 ? , ? ,给出下面四个命题: ① m‖n, m ? ? , ? n ? ?; ③ m‖n, m‖ ? , ? n‖ ?; 其中正确命题的序号是( ② ?‖? , m ? ? , n ? ? ? m ? n ;
? ?

④ ?‖? , m‖n, m ? ? , ? n ? ?。 ).

( A) ①④

( B) ②③

(C ) ①②④

( D) ①③④

17.某程序框图如图所示,现在输入下列四个函数,则可以输出函数是( )

( A)

f ?x ? ?

1 2 x ?1
3 x

?

1 2

( B)

f ?x ? ? lg

1? x ? 2x 1? x

(C )

f ?x ? ?

x 1 ? x 2 x ?1 2

( D) f ?x ? ? ?2 x ?

18.己知 z1 , z 2 , z3 ? C ,下列结论正确的是
2 2 ? z3 ? 0 ,则 z1 ? z 2 ? z3 ? 0 ( A) 若 z12 ? z 2
2 2 2 2 2 ? z2 ? ? z3 ? z3 ? 0 ,则 z1 ( B) 若 z12 ? z 2
2 2 2 2 ,则 2 (C ) 若 z12 ? z 2 z1 ? z 2 ? z3 ?0 ? ? z3





,则 z1 纯虚数. ( D) 若 z1 ? ? z1 ( z 为复数 z 的共轭复数)

三、解答题 (本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
19.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分 . 已知三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的侧棱长和底面边长均为 2, A1 在底面 ABC 内的射影 O 为底面 △ABC 的中心,如图所示: (1)联结 BC1 ,求异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小; (2)联结 A1C 、 A1B ,求三棱锥 C1-BCA1 的体积.

【答案】 (1)

2 2 ? ; (2) . 3 4

∴ CC1 ? BC , 即四边形 BCC1 B1 为正方形. ∴异面直线 AA1 与 BC1 所成角的大小为

? . 4

20.(本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分 . 已知函数 f ?x ? ? 3 sin ?x ? cos?x ? c ( ? ? 0, x ? R ,c 是实数常数)的图像上的一个最高点
?? ? ? 2? ? , ?3 ? , ? ,1? ,与该最高点最近的一个最低点是 ? ?6 ? ? 3 ?

(1)求函数 f ?x ? 的解析式及其单调增区间;
1 (2)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a, b, c ,且 AB ? BC ? ? ac ,角 A 的取值范围是 2

区间 M,当 x ? M 时,试求函数 f ?x ? 的取值范围.

21.(本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第(1)小题满分 4 分,第(2)小题满分 10 分 . 我国西部某省 4A 级风景区内住着一个少数民族村,该村投资了 800 万元修复和加强民俗文 化基础设施,据调查,修复好村民俗文化基础设施后,任何一个月内(每月按 30 天计算) 每天的旅游人数 f ?x ? 与第 x 天近似地满足 f ?x ? ? 8 ? 均消费 g ?x? 近似地满足 g ?x ? ? 143? x ? 22 (元) . (1)求该村的第 x 天的旅游收入 p?x? (单位千元,1≤x≤30, x ? N ? )的函数关系; (2)若以最低日收入的 20%作为每一天的计量依据,并以纯收入的 5%的税率收回投资成 本,试问该村在两年内能否收回全部投资成本?
8 (千人) ,且参观民俗文化村的游客人 x

968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? ? x 【答案】 (1) p( x) ? ? ; (2)能收回投资. ??8 x ? 1320 ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N * ) ? x ?
【解析】











(1)













8 p( x) ? f ( x) ? g ( x) ? (8 ? ) ? (143? | x ? 22 |)(1 ? x ? 30, x ? N * ) x
968 ? 8x ? ? 976, (1 ? x ? 22, x ? N * ) ? ? x =? ??8 x ? 1320 ? 1312.(22 ? x ? 30, x ? N * ) ? x ?

所以,日最低收入为 1116 千元. 该村 两年 可收 回的 投资 资金 为 1116 ? 20% ? 5% ? 30 ?12 ? 2 =8035.2( 千 元 )=803.52( 万 元) . 因 803.52 万元 ? 800 万元,

所以,该村两年内能收回全部投资资金. 考点: (1)分段函数解析式; (2)分段函数的最值问题.

22.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)满分 6 分,第(3) 小题满分 6 分. 已知函数 f ?x ? ?
ax2 ? bx ? c (其中 a, b, c, d 是实数常数, x ? ?d ) x?d

(1)若 a ? 0 ,函数 f ?x ? 的图像关于点(—1,3)成中心对称,求 b, d 的值; (2)若函数 f ?x ? 满足条件 (1) , 且对任意 x0 ? ?3,10? , 总有 f ?x0 ? ? ?3,10? , 求 c 的取值范围;
3 (3)若 b=0,函数 f ?x ? 是奇函数, f ?1? ? 0 , f ?? 2? ? ? ,且对任意 x ? ?1,??? 时,不等式 2
f ?mx? ? mf ?x? ? 0 恒成立,求负实数 m 的取值范围.

类比函数 y ?

k 的图像,可知函数 f ( x) 的图像的对称中心是 (?d , b) . x

又函数 f ( x) 的图像的对称中心是 (?1,3) ,

?b ? 3, ?? ? d ? 1.

23.(本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第(1)小题满分 6 分,第(2)小题满分 6 分, 第(3)小题满分 6 分. 已知数列 ? a n ? ,满足 a2 ? 6 , (1)已知 b1 ? 1, bn ?1 ?
an ?1 ? an ? 1 1 n? N? , ? an ?1 ? an ? 1 n

?

?

an ?1 (n ? N *) ,求数列 {bn } 所满足的通项公式; n(n ? 1)

(2)求数列 ? an ? 的通项公式; (3)己知 lim
n 2
n

n??

? 0 ,设 cn =

an {c } (n ? N *) ,常数 c ? 0, c ? R ,若数列 n 是等差数列, n?c



Sn ? c1c ? c2c 2 ? c3c3 ? ? ? cn c n

,求 n ??

lim S n

.

由(1)得 an ? n(n ? 1)bn ? n(2 n ?1)( n ? 2, n ? N*) , 又 a2 ? 6 ,可求得 a1 ? 1 . 当 n ? 1 时, an ? n(2n ? 1) ? 1? (2 ?1 ? 1) ? 1 ,符合公式 an ? n(2n ? 1)(n ? N ) .
*

?数列 ?an ? 的通项公式 an ? n(2n ? 1), n ? N * .
n(2n ? 1) * , n ? N .又 ?cn ? 是等差数列, n?c n(2n ? 1) c(2c ? 1) 因此,当且仅当 cn ? 是关于 n 的一次函数或常值函 ? 2n ? 2c ? 1 ? n?c n?c 1 数,即 c ? ? ( c ? 0 ). 2
(3)由(2)知, cn ? 于是, cn ? 2n, n ? N ,
*


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