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浙江省东阳中学高二数学下学期期中试题-课件


浙江省东阳中学 2015-2016 学年高二数学下学期期中试题
一、选择题 1.设复数 z ? ?

1 3 ? i ,则 z 2 的值为 2 2 1 3 i B. ? ? 2 2
C. 1 ?





1 3 i A. ? ? 2 2

3 i 2

/>
D. 1 ?

3 i 2


2.已知函数 y ? x 2 ? 1 的图象上一点 (1, 2) 及邻近一点 (1 ? ?x, 2 ? ?y) ,则 A. 2 ? (?x)2 B. 2 ? ?x C. 2x

?y 等于( ?x

D.2 ”时,下列假设的 ( )

3.用反证法证明命题“若 sin? 1 ? cos2 ? ? cos? 1 ? sin 2 ? ? 1 ,则 结论正确的是 A. C. B. D.

4.端午节吃粽子是我国的传统习俗,设一盘中装有 10 个粽子,其中豆沙粽 2 个,肉粽 3 个,白粽 5 个, 这三种粽子的外观完全相同,从中任意选取 3 个,则三种粽子各取到 1 个的概率是 ( A. )

1 2
3

B.

1 3

C.

1 4

D.

3 10
( )

5.在 ( x ? A.6 项

1 24 ) 的展开式中,x 的幂指数是整数的项共有 x B.5 项 C.4 项

D.3 项 2 0. 1 3 0. 1 ( ) 、 ,除 与 、 D.1<x≤2 、 、

6.若随机变量 η 的分布列如下:

?
P

?2 0.
1

?1 0.
2

0 0. 2

1 0. 3

则当 P(? ? x) ? 0.8 时,实数 x 的取值范围是 A.x≤2 与 ( B.1<x<2 C.1≤x≤2 7.2015 年 4 月 22 日,亚非领导人会议在印尼雅加达举行,某五国领导人 人每个半天最多进行一次会晤) ,那么安排他们单独会晤的不同方法共有 ) B.36 种 = C.24 种 ,其中 a ? 1 ,若存在唯一的整数 ( D.8 种 ,使得 ) A.48 种 8.设函数 是 A.[ ?

不单独会晤外,其他领导人两两之间都要 单独会晤.现安排他们在两天的上午、下午单独会晤(每

0,则 的取值范围

3 3 ,1) B.[错误!未指定书签。 , 错误!未指定书签。 ) 4 2e 错误!未指定书签。 ) D.[错误!未指定书签。 , 1) 二、填空题
9.已知 是虚数单位,复数 复数,则 z2 ? ▲ . 满足 .则复数 z1 ? ▲

C.[错误!未指定书签。 ,

;若复数 z 2 是

的共轭

1

2 7 10 .已知 ?1 ? 2 x ? ? a0 ? a1 x ? a2 x ? ??? ? a7 x ,则 a 0 = 7





? a0 ? a2 ? a4 ? a6 ?

2

? ? a1 ? a3 ? a5 ? a7 ? =
2



. ▲ ;恰有一个偶

11.用 0,1,2,3,4 这五个数字组成无重复数字的五位数,则组成偶数的个数是 数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数是 ▲ .

▲ . 12.已知集合 {a, b, c} ? {0,1, 2} ,且下列三个关系:a ? 2, b ? 2, c ? 0 有且只有一个正确,则 100c ? 10b ? a ? 13.甲乙二人玩猜字游戏,先由甲在心中想好一个数字,记作 ,然后再由乙猜甲刚才所想到的数字,并 把乙猜到的数字记为 ,二人约定: 、 b ??1,2,3,4,5? ,且当 a ? b ? 2 时乙为胜方,否则甲为胜方.则 甲取胜的概率是 14 . 若 函 数 f ( x) ? ▲ . ▲ .

1 2 ] 恰有一个零点,则实数 b 的取值范围 ? x ? ln x ? b (b ? R) 在 区 间 [ , 2 上 2 x

x( x ? 1)?( x ? m ? 1) 0 m ? 1,这是组合 数 Cn ,其中 x ? R ,m 是正整数,且 C x (n,m 是正整 m! 3 Cx 3 ? 数,且 m ? n )的一种推广,则 C? ▲ ;若 ,则 ▲ 时, 取到最小值,该最 x? x?0 15 2 (C 1 x)
m 15.规定 Cx ?

小值为 三、解答题





16. 已知函数 f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d 的图象过点 P(0,1) , 且在点 M (2, f (2)) 处的切线方程为 7 x ? y ? 11 ? 0 . (1)求函数 f ( x) 的解析式; (2)求函数 f ( x) 在区间 [?1, 4 ] 上的最大值和最小值.

3

17.一个盒子里装有大小均匀的 8 个小球,其中有红色球 4 个,编号分别为 1,2,3,4,白色球 4 个,编号 为 2,3,4,5.从盒子中任取 4 个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同) . (1)求取出的 4 个小球中,含有编号为 4 的小球的概率; (2)在取出的 4 个小球中,小球编号的最大值设为 ,求随机变量 的分布列.

2

18.已知 (3 x 2 ? 3x) n 展开式各项系数和比它的二项式系数和大 992. (1) 求展开式中含有 x 的项; (2)求展开式中系数最大的项.
4

19.已知数列 {an } 中, a1 ? ,2an?1 ? an?1an ? 1 ? 0 (n ? N * ) .

1 2

1 } 是等差数列; (1)求证:数列 { 1 ? an
(2)若 Tn ? a1a2 a3 ? an ,设 Sn ? T12 ? T22 ? ? ? Tn2 ,证明: Sn ? an?1 ?

1 . 2

3

20.设函数 (1)当

, g ( x) ? (2 ? a)( x ? 1) ? 2 f ( x) . 时,求函数 的单调区间和极值; ,都有

(2)设 F (x) ? f (x) ? 值范围.

b (b ? 0) .对任意 x ?1

F ( x1 ) ? F ( x2 ) ? ?1 ,求实数 的取 x1 ? x2

4

东阳中学 2016 年上学期期中考试试卷高二数学参考答案 1~8 ABCC BDAD 9. 13. ; 5 10. 1; -2187 11.60; 28 12. 102

12 25

14. 3 ? ln 2 ? b ?

9 ? ln 2 或 b ? 3 2

15. -680; 2 ;

2 2 ?3 6

16.解: (1)因为 f ( x) 过点 P(0,1) ,所以 d ? 1 ,又∵

f ( x) ? x3 ? bx2 ? cx ? d ,

∴ f '( x) ? 3x2 ? 2bx ? c ,由 f ' ( x ) ? 7 得 3 ? 2b ? c ? 7 ,又由 f (2) ? 3 ,得 8 ? 4b ? 2c ? d ? 3 ,联立方程

?d ? 1 ? b ? ?1 ? ? 得 ?c ? ?1 ,故 ?3 ? 2b ? c ? 7 ?8 ? 4b ? 2c ? d ? 3 ? d ? 1 ? ?
(2) ∵ 令 令 在 ,得 ,得 , 或 或 , , ,令 上单调递增; ,得 在

.???????7 分

, 上单调递减;

1 1 1 1 32 ? f (?1) ? ?1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ; f (? ) ? ? ? ? ? 1 ? ; f (1) ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 0 ; 3 27 9 3 27 4 64 16 4 7 1 4 .? f (? ) ? f ( ), f (?1) ? f (1) ? 0. f ( ) ? ? ? ?1 ? 3 27 9 3 27 3 3 1 32 在区间上最小值为 f (1) ? 0 ,最大值为 f (? ) ? . ?????????14 分 3 27

17.解: (1) P ?

2 3 C6 ? 2C6 11 ? ;????????????????????6 分 4 C8 14

(2)X 的可取值为 3,4,5

P( X ? 3) ?

1 3 2 2 1 C32 1 C2 C5 C2 C5 3 C2 ? ? P ( X ? 4) ? ? ? 4 4 4 C8 C8 14 C8 C84 7
3 C7 1 ? 4 C8 2

P( X ? 5) ?

??????????????????????????13 分

X 的分布列为

??????????15 分

5

0 1 n 18.解:令 x ? 1 得展开式各项系数和为 4 ,二项式系数为 Cn ? Cn ? ……? Cn ? 2n
n

由题意得: 4n ? 2n ? 992 ,解得 n ? 5
r r (1) Tr ?1 ? C5 3 ?x 10 ? r 3

???????????????? 4 分

10 ? r 2 ? 4 ? r ? 2 ∴ T3 ? C5 ? 32 ? x 4 ? 90x 4 ?????? ????8 分 3 (2)展开式中第 k ? 1 项系数最大


?C5k ? 3k ? C5k ?1 ? 3k ?1 7 9 ? ? ? ? k ? ,,kk? 8N ∴? k k k ?1 k ?1 2 2 C ? 3 ? C ? 3 ? 5 ? 5
∴ k?4
14
14

4 ∴ T5 ? C5 ? 34 ? x 3 = 405x 3

?????????????? 15 分

19. 证明: (1)由 2an ?1 ? an ?1an ? 1 ? 0 得 an ?1 ? 则

1 ; 2 ? an

2 ? an 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ? ? 1 为常数 1 1 ? an?1 1 ? an 1 ? 1 ? an 1 ? an 1 ? an 2 ? an

1 1 } 是首项为 ? 2 ,公差为 1 的 等差数列.??????????6 分 所以数列 { 1 ? an 1 ? a1
(2)由(1)得

1 n ? 2 ? n ? 1 ? n ? 1 ,所以 an ? . 1 ? an n ?1
1 n ? 1 .????????????????????????8 分

所以 Tn ? a1a2 a3 ?an ? 所以要证 Sn ? an?1 ?

1 , 2 1 1 1 1 1 S ? ? ??? ? ? 2 只需证明 n 22 32 (n ? 1) 2 n?2.
证明如下: ∵ (n ? 1)2 ? (n ? 1)(n ? 2) ∴

1 1 1 1 ? ? ? 2 (n ? 1) (n ? 1)(n ? 2) n ? 1 n ? 2 1 1 1 1 1 1 ? 2 ??? ? ? ??? 2 2 2 3 (n ? 1) 2 ? 3 3? 4 ( n ? 1)( n ? 2)

∴ Sn ?

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ??? ? ? ? 2 3 3 4 n ?1 n ? 2 2 n ? 2
∴不等式 Sn ? an?1 ?

1 成立.????????????????????????15 分 2

(用数学归纳法证明酌情评分)

6

20. 解: (1)当 当 的 单 调 时, 递 增

时, , 区 间

,定义域为 单调递减,当 为 , 单 调 时, 递

, , 减 区 间

, 单调递增,综上, 为 , 所 以

.????????????????????????6 分

(2)由题意得

,即



若设

,则



上单调递减,

b ? ln x ? ? x,1 ? x ? 2 ? ? x ?1 G ( x) ? ? ?? ln x ? b ? x,0 ? x ? 1 又 ? x ?1 ?
①当 x ? (1,2] 时, , ,

在 (1, 2] 上恒成立, ,当 x ? (1,2] 时, ,∴ , . ,



,则 在 (1, 2] 上单调递增,



②当

时,



上恒成立,

设 即 在

,则 上单调递增,

, ,∴ .

综上,由①②可得

.????????????????????????15 分

(其他方法求解酌情评分)

7


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