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2014届高三第一学期双周练六


2014 届高三第一学期数学双周练六
班级 姓名 学号________成绩________ 一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 2} ,集合 N ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0},则 M ? N ? ________. 2.设函数 f ( x ) ?

1 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (?2) ? __________。 x ?1


3.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a 则向量 a 与 b 的夹角 ? 4.已知 ? ? ?0, ? ? ,若复数 z ?

sin ? 1 ? cos 2?

i 是纯虚数,则 ? = cos ?


cm3 。

5.圆锥的侧面展开图为扇形, 若其弧长为 2? cm, 半径为 2 cm, 则该圆锥的体积为

1 6 ) 的二项展开式中,常数项是 。 x 7. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ?1 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ?
2 6.在 ( 2 x ?

.

(n ? N * )
8.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且以 3 为周期,若 f ?1? ? 1 , f ? 2 ? ? 的取值范围是_______________. 9.平面上有 12 个点, 其中除有 4 个点在同一直线上以外, 不再有 3 点共线, 从中任取 3 点, 则所取 3 点能构成三角形的概率为 。 10. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, a ? 2, a ? 2b sin A ,则
2a ? 3 ,则实数 a a ?1

?ABC 的面积为_____________。
11.双曲线

x2 y2 ? =1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上,若 PF1 , F1F2 , PF2 成等差 4 b2

数列,且 OP =5 ,则 b2 =



12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 定 义 点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) 之 间 的 交 通 距 离 为

d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。 若 点 C( x, y)?0 ? x ? 10,0 ? y ? 10? 到 点 A?1,3? 、
B(6,9) 的交通距离相等,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长之和为
二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知直线 l : y ? x ? b 和圆 C : x ? y ? 2x ?1 ? 0 ,则“ b ? 1 ”是“直线 l 与圆 C 相
2 2



的(

) B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件

A.充要条件 C.必要不充分条件

14.若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1,则 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2 的方 差为() . A. 1 B. 3 C. 9 ) D. 11 15.给出下列命题,其中正确的命题是(

A.若 z ? C ,且 z 2 ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数 B.若 z 1 、 z 2 ? C 且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立
2

D.若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根

3

x2 x2 2 ? y 2 ? 1(n ? 0) ,P 是 ? y ? 1(m ? 1) 和双曲线 16.已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆 n m
它们的一个交点,则Δ F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形 ) D.随 m, n 变化而变化

C.钝角三角形

三、解答题 17.在平面四边形 ABCD 中,AD=1,CD=2,AC= 7. (1)求 cos∠CAD 的值; 7 21 (2)若 cos∠BAD=- ,sin∠CBA= ,求 BC 的长. 14 6

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? AC ? AA 1 ? 2 ,E 是 BC 的中 点. (1)求四棱锥 C ? A (2)求异面直线 AE 与 1B 1BA 的体积; A1C 所成的角.

19.设 a ? R , f ( x) ? (1) (2)

a ? 2 x ? a ?2 为奇函数. 2x ?1
4 ? 1 的零点; 2 ?1
x

x 求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ?

设 g ( x) ? 2 log 2 ( 的取值范围.

1? x 1 2 ) , 若不等式 f ?1 ( x) ? g ( x) 在区间 [ , ] 上恒成立 , 求实数 k k 2 3

20.已知点 M (?2, 0), N (2, 0) , 动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 , 记动点 P 的轨迹为 W 。 (1)求 W 的方程; (2)过 N (2,0) 作直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点,使得 | AB |? 2 2 ,求直线 l 的方程。 (3)若从动点 P 向圆 C : x ? ( y ? 4) ? 1作两条切线,切点为 A 、 B ,令 PC ? d ,试
2 2

用 d 来表示 PA ? PB ,并求 PA ? PB 的取值范围。

21.(18 分)已知函数 f ( x) ? x 2 ? 3x ,数列 {an } 的前 n 项和为 S n ,且对一切正整数 n ,点

Pn (n, Sn ) 都在函数 f ( x) 的图像上.
(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 A ?{x | x? a , B ? {x | x ? 2(an ? 1), n ? N *} , 等 差 数 列 {bn } 的 任 一 项 ? N*} n , n

bn ? A

B ,其中 b1 是 A

B 中最小的数,且 88 ? b8 ? 93 ,求 {bn } 的通项公式;

(3)设数列 {cn } 满足 cn ?

n ,是否存在正整数 p, q(1 ? p ? q) ,使得 c1 , c p , cq 成等比数 an ? 1

列?若存在,求出所有的 p, q 的值;若不存在,请说明理由.

答案 一、填空题: (本大题共 12 小题,每小题 4 分,共 48 分) 1.设集合 M ? {x | 0 ? x ? 2} , 集合 N ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0}, 则 M ? N ? ________. ?0,1? 2.设函数 f ( x ) ?

1 3 的反函数为 f ?1 ( x) ,则 f ?1 (?2) ? _______。 ? x ?1 2
。 1200

3.若 | a |? 1,| b |? 2, c ? a ? b ,且 c ? a 则向量 a 与 b 的夹角 ? 4.已知 ? ? ?0, ? ? ,若复数 z ?

sin ? 1 ? cos 2?

i 是纯虚数,则 ? = cos ?



? 2
cm3 。

5.圆锥的侧面展开图为扇形, 若其弧长为 2? cm, 半径为 2 cm, 则该圆锥的体积为

? 3
1 6 ) 的二项展开式中,常数项是 。60 x 7. 已知数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ? 2an ?1 ,则数列 ?an ? 的通项公式为 an ?
2 6.在 ( 2 x ?

.

(n ? N * ) 2 n ?1
8.已知 f ? x ? 是定义在 R 上的奇函数,且以 3 为周期,若 f ?1? ? 1 , f ? 2 ? ?
2a ? 3 ,则实数 a a ?1

? 2 ? 的取值范围是____________ ? ? ,1 ? ? 3 ?
9.平面上有 12 个点, 其中除有 4 个点在同一直线上以外, 不再有 3 点共线, 从中任取 3 点, 则所取 3 点能构成三角形的概率为 。

54 55

10. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c ,且 c ? 3, a ? 2, a ? 2b sin A ,则

?ABC 的面积为_____________。
11.双曲线

3 2

x2 y2 ? =1 的两个焦点为 F1 、 F2 ,点 P 在双曲线上,若 PF1 , F1F2 , PF2 成等差 4 b2

数列,且 OP =5 ,则 b2 =

.3

12. 在 平 面 直 角 坐 标 系 中 定 义 点 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y 2 ) 之 间 的 交 通 距 离 为 若点 C ( x, y)?0 ? x ? 10,0 ? y ? 10? 到点 A?1,3? 、B(6,9) 的 d (P, Q) ? x1 ? x2 ? y1 ? y2 。 交通距离相等,则所有满足条件的点 C 的轨迹的长之和为 二、选择题: (本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 。5+5 2

13.已知直线 l : y ? x ? b 和圆 C : x2 ? y 2 ? 2x ?1 ? 0 ,则“ b ? 1 ”是“直线 l 与圆 C 相切” 的( )B B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件 A.充要条件 C.必要不充分条件

14.若三个数 a1 , a2 , a3 的方差为 1,则 3a1 ? 2,3a2 ? 2,3a3 ? 2 的方 差为() .C. A. 1 B. 3 C. 9 15.给出下列命题,其中正确的命题是( )A A.若 z ? C ,且 z 2 ? 0 ,那么 z 一定是纯虚数 B.若 z 1 、 z 2 ? C 且 z1 ? z 2 ? 0 ,则 z1 ? z 2 C.若 z ? R ,则 z ? z ? z 不成立 D.若 x ? C ,则方程 x ? 2 只有一个根 16.已知有相同两焦点 F1、F2 的椭圆
3
2

D. 11

x2 x2 ? y 2 ? 1(n ? 0) ,P 是 ? y 2 ? 1(m ? 1) 和双曲线 n m
)B C.钝角三角形 D.随 m, n 变化而变化

它们的一个交点,则Δ F1PF2 的形状是( A.锐角三角形 B.直角三角形

三、解答题 17. 解:(1)在△ADC 中,由余弦定理,得 AC2+AD2-CD2 cos∠CAD= , 2AC·AD 7+1-4 2 7 故由题设知,cos∠CAD= = . 7 2 7 (2)设∠BAC=α,则 α=∠BAD-∠CAD. 2 7 7 因为 cos∠CAD= ,cos∠BAD=- , 7 14 所以 sin∠CAD= 1-cos2∠CAD= 2 21 2 7? 1-? = , 7 ? 7 ? sin∠BAD= 1-cos2∠BAD= 1-?-

?

7?2 3 21 = . 14 14 ?

于是 sin α =sin (∠BAD-∠CAD) =sin∠BADcos∠CAD-cos∠BADsin∠CAD 3 21 2 7 ? 21 7 = × - - ?× 14 7 ? 14 ? 7 3 = . 2 BC AC 在△ABC 中,由正弦定理,得 = . sin α sin∠CBA

AC·sin α 故 BC= = sin∠CBA



3 2 =3. 21 6

18.如图,在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 中, AB ? AC , AB ? AC ? AA 1 ? 2 ,E 是 BC 的中 点. (1)求四棱锥 C ? A (2)求异面直线 AE 与 A1C 所 1B 1BA 的体积; 成的角. (1)

8 3

(2) 60 0

19.设 a ? R , f ( x) ?

a ? 2 x ? a ?2 为奇函数. 2x ?1
4 ? 1 的零点;1 2 ?1
x

x (1) 求函数 F ( x) ? f ( x) ? 2 ?

(2) 设 g ( x) ? 2 log 2 ( 取值范围.

1? x 1 2 ) , 若不等式 f ?1 ( x) ? g ( x) 在区间 [ , ] 上恒成立, 求实数 k 的 k 2 3

0?k ?

5 3

20.已知点 M (?2, 0), N (2, 0) , 动点 P 满足条件 PM ? PN ? 2 2 , 记动点 P 的轨迹为 W 。 (1)求 W 的方程; (2) 过 N (2,0) 作直线 l 交曲线 W 于 A, B 两点, 使得 | AB |? 2 2 , 求直线 l 的方程。 (3) 若从动点 P 向圆 C :x ? ( y ? 4) ? 1 作两条切线, 切点为 A 、B , 令 PC ? d ,
2 2

试用 d 来表示 PA ? PB ,并求 PA ? PB 的取值范围。 解: (1)由 PM ? PN ? 2 2 ,知点 P 的轨迹是以 M (?2, 0), N (2, 0) 为焦点 实轴长为 2 2 的双曲线。 即设 2a ? 2 2, 2c ? 4 ? a ? 2, c ? 2, b ? 2 所以所求的 W 的方程为 x ? y ? 2
2 2

(2)若 k 不存在,即 x =2 时,可得 A(2, 2 ),B(2,- 2 ),|AB|=2 2 满足题意; 若 k 存在,可设 l:y=k(x-2)
? y ? k ( x ? 2) 联立 ? 2 , ? (1 ? k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 4k 2 ? 2 ? 0 2 x ? y ? 2 ?

?1 ? k 2 ? 0 ? k ? R 且k ? ?1 由题意知 ? ? ??0
设 A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|=
? 1? k2 |a|



8k 2 ? 8 |1 ? k2 |

1 ? k 2 =2 2 ? k=0 即 l:y=0

所以直线 l 的方程为 x=2 或 y=0 (3) PA ? PB ? PA PB cos ?APB ? (d ? 1)(1 ? 2sin APO?)
2 2
2 2 2 ? ? 1 ? ? (d ? 1)(d ? 2) ? (d 2 ? 1) ?1 ? 2 ? ? ? ? d2 ?d ? ? ? ? ?

又 d 2 ? x2 ? ( y ? 4)2 ? y 2 ? 2 ? ( y ? 4)2 ? 2 y 2 ? 8 y ? 18 ? 2( y ? 2)2 ? 10 ? 10 则 PA ? PB ?

(d 2 ? 1)(d 2 ? 2) 2 2 ? d 2 ? 2 ? 3 ----- d ? 10 2 d d

f (d ) ? d 2 ?

2 2 1 ? 3 在 ? 10, ?? 是增函数, ? f (d ) ? 10 ? ? 3 ? 7 2 ? d 10 5

?

则所求的 PA ? PB 的范围为 ?7 , ?? ? 。 ? 5 ? 21. 已知函数 f ( x) ? x 2 ? 3x , 数列 {an } 的前 n 项和为 S n , 且对一切正整数 n , 点 Pn (n , S)n 都 在函数 f ( x) 的图像上. (1)求数列 {an } 的通项公式; (2)设 A ? {x | x ? an , n ? N*}, B ? {x | x ? 2(an ? 1), n ? N *} ,等差数列 {bn } 的任一 项 bn ? A 其中 b1 是 A B,

? 1

?

B 中最小的数, 且 88 ? b8 ? 93 , 求 {bn } 的通项公式;

(3)设数列 {cn } 满足 cn ?

n ,是否存在正整数 p, q(1 ? p ? q) ,使得 c1 , c p , cq 成 an ? 1 等比数列?若存在,求出所有的 p, q 的值;若不存在,请说明理由.

Sn ? n2 ? 3n . 解 (1)∵ 点 Pn (n, Sn ) 都在函数 f ( x) ? x 2 ? 3x 的图像上,∴
当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n2 ? 3n ? (n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? 2n ? 2 , 当 n ? 1 时,也满足. 故 an ? 2n ? 2 . A ? {x | x ? 2n ? 2, n ? N *} , B ? {x | x ? 4n ? 2, n ? N *} (2)∵

A ∴
又A

B ? B ,又 ∵ bn ? A

B ,∴ bn ? B

即数列 {bn } 的公差是 4 的倍数

B 中的最小数为 6,∴ b1 ? 6 ,∴ b8 ? 4k ? 6 , k ? N * ,

又∵ 88 ? b8 ? 93

?88 ? 4k ? 6 ? 93, ∴ 解得 k ? 21 . ? ?k ? N *.
等差数列 {bn } 的公差为 d ,由 b8 ? 6 ? 7d ? 90 得 (3) 由 cn ?

d ? 12

故 bn ? 12n ? 6

1 p q , cp ? , cq ? 3 2 p ?1 2q ? 1 p 2 1 q ) ? ( ), 若 c1 , c p , cq 成等比数列,则 ( 2 p ?1 3 2q ? 1
所以 c1 ?

n n = an ? 1 2n+1

p2 q ? . 2 4 p +4 p ? 1 6q ? 3 3 ?2 p 2 +4 p ? 1 可得 = ,所以 ?2 p2 ? 4 p ? 1 ? 0 , 2 q p


6 6 , ? p ? 1? 2 2 又 p ? N * ,且,所以 p ? 2 ,此时 q ? 12 .
从而 1 ? 故当且仅当 p ? 2 , q ? 12 .使得 c1 , c p , cq 成等比数列


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