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2.1.4空间中直线与直线之间的位置关系 2

时间:2016-09-30


1、熟练掌握异面直线定义; 2、理解掌握空间两直线的位置关系; 3、熟练掌握平行公理4,并会简单应用; 4、理解掌握等角定理及其推论;

5、熟练掌握异面直线所成角定义;
6、掌握求两异面直线所成角的方法。

问题1:在空间中两条直线的 位置关系?

一、空间两直线的位置关系:
(1)从公共点的

数目来看,可分为:
①有且只有一个公共点——两直线相交
?
l1
A
l2

记作: l1 l2 ? A
l1
l2

两直线平行 ? ②没有公共点

记作:l1 // l2
两直线为异面直线

(2)从平面的性质来讲,可分为:
两直线相交 ①在同一平面内 两直线平行 ②不在同一平面内——两直线为异面直线

问题2:在同一平面内,平行于同一条 直线的两直线平行,在空间中此结论仍 成立吗?

二、公理4: .(空间平行直线的传递性) 若 a ∥ b , b ∥ c, 则 a ∥ c

平行于同一条直线的两条直线互相平行

想一想 2.空间中垂直于同一直线的两直线平行吗? 提示: 不一定, 可能平行, 也可能相交或异面.

空间四边形: 如图,顺次连结不共面的四点A、B、C、D 所组成的四边形叫做空间四边形ABCD.
A

相对顶点A与C,B与D的 连线AC、BD叫做这个空 间四边形的对角线.
D C

B

例1:已知ABCD是四个顶点不在同一个平面内 的空间四边形,E,F,G,H分别是AB,BC, CD,DA的中点,连结EF,FG,GH,HE, 求证EFGH是一个平行四边形。
证明: 连结BD
∵ EH是△ABD的中位线 1 ∴EH ∥BD且EH = BD
2

A H E D G

1 同理,FG ∥BD且FG = 2 BD

∴EH ∥FG且EH =FG ∴EFGH是一个平行四边形

B F C 解题思想:把所要解的立体几何问题转化为平面几何的问题

——解立体几何时最主要、最常用的一种方法。

同一平面内:

B'

B

A'
A

C' C

AB // A' B' , AC // A' C' ? ?BAC ? ?B' A' C '

问题3:在空间中,如果一个角的两边 和另一个角的两边分别平行,那么这 两个角相等吗?

α

β

方向相同或相反,结果如何?
β γ

? ?? ? ? ?? ? ? ? ?? ?

α

一组边的方向相同,而另一组边的 方向相反,又如何?

β α

?,?互补

三、等角定理: 空间中如果两个角的两边分别对应 平行,那么这两个角相等或互补.
推论:如果两条相交直线和另两条 相交直线分别平行,那么这两组直 线所成的锐角(或直角)相等.

练一练: 1.已知∠BAC=30°, AB∥A′B′, AC∥A′C′, 则∠B′A′C′=( A. 30° B. 150° )

C. 30°或150°

D. 大小无法确定

解析: 选C.当∠B′A′C′与∠BAC开口方向

相同时, ∠B′A′C′=30°, 方向相反时,
∠B′A′C′=150°.

六角螺母 D C A B

四、异面直线:
定义1:不同在任何一个平面内的两条直线 叫做异面直线。
注:概念应理解为: “经过这两条直线无法作出一个平面” . 或 :“ 不 可 能 找 到 一 个 平 面 同 时 经 过 这 两 条 直 线”.

定义2:不相交也不平行两条直线叫做 异面直线。

注意: 分别在某两个平面内的两条直线不一定 是异面直线, 它们可能是相交,也可能是平行.

异面直线的画法:
b A

?

b

?

a

?
b

a

?

a

练习:如图:正方体的棱所在的直线中,
与直线A1B异面的有哪些? D1 A1 D B1 C B C1

答案: D1C1、C1C、CD、

D1D、AD、B1C1

A

三、异面直线所成角的定义:
直线a、b是异面直线,经过空间任意一点O, 分别引直线a1∥a,b1∥b,把直线a1和b1所成的 锐角(或直角)叫做异面直线a和b所成的角。
b
b

? ?

O

a'

?

O'

a

平 移 法

b

a?b
a
?

a'

O

?
如果两条异面直线所成的角为直角, 那么就称这两条异面直线垂直。 异面直线a和b所成的角的范围: 0 ? ? ? 90
o

强调:1)范围? ? (0, 900 ] 2)与0的位置无关 ; 3)为了方便点O选取应有利于解
决问题,可取特殊点(如a 或 b上); 4)找两条异面直线所成的角,

要作平行移动(平行线),把两条异面
直线所成的角,转化为两条相交直

线所成的角.

例1、求直线BA1和CC1所成角的度数。

D1

C1

A1

B1

45
C

o

D
A

B

四、异面直线所成角的求法: 一作(找)、二证、三求 (1)通过直线平移,作出异面直线

所成的角,把空间问题转化为
平面问题。 (2)利用平面几何知识,

求出异面直线所成角的大小。

例2:在正方体ABCD-A’B’C’D’中,棱长为a, E、F分别是棱A’B’,B’C’的中点,求: 平 ①异面直线 AD与 EF所成角的大小;45 移 ②异面直线 B’C与 EF所成角的大小; 60 法 ③异面直线 B’D与 EF 所成角的大小. 90
AC∥ A’C’∥ EF, OG ∥B’D B’D 与EF所成的角 即为AC与OG所成的角, 即为∠AOG或其补角.
G

O

例3.四面体ABCD中, 如图所示, E、F分 别是AB、CD的中点, 若BD、AC所成的 角为60°, 且BD=AC=1, 求EF的长度.

解: 取BC中点O, 连结OE, OF,

∵OE∥AC, OF∥BD,
∴OE与OF所成的锐角(或直角) 即为AC与BD所成的角, 而AC、 BD所成的角为60°.

∴∠EOF=60° 或∠ EOF= 120° . 1 当∠EOF=60° 时 , EF= OE=OF= . 2 当∠EOF=120° 时, 取 EF 的中点 M, 则 OM 3 3 ⊥ EF, EF=2EM=2× = . 4 2

立体几何


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