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高考一轮复习:坐标系

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第1讲
【2015 年高考会这样考】

坐标系

考查极坐标与直角坐标的互化以及有关圆的极坐标问题. 【复习指导】 复习本讲时, 要抓住极坐标与直角坐标互化公式这个关键点,这样就可以把极坐 标问题转化为直角坐标问题解决,同时复习以基础知识、基本方法为主.

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基础梳理 1.极坐标系的概念

在平面上取一个定点 O 叫做极点;自点 O 引一条射线 Ox 叫做极轴;再选定一 个长度单位、角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向为正方向), 这样就建立了一个极坐标系(如图).设 M 是平面上的任一点,极点 O 与点 M 的 距离|OM|叫做点 M 的极径, 记为 ρ; 以极轴 Ox 为始边, 射线 OM 为终边的∠xOM 叫做点 M 的极角,记为 θ.有序数对(ρ,θ)称为点 M 的极坐标,记作 M(ρ,θ). 2.直角坐标与极坐标的互化

把直角坐标系的原点作为极点,x 轴正半轴作为极轴,且在两坐标系中取相同的 长度单位.如图,设 M 是平面内的任意一点,它的直角坐标、极坐标分别为(x, ρ2=x2+y2, ? ? ?x=ρcos θ, y)和(ρ,θ),则? 或? y tan θ=x?x≠0?. ?y=ρsin θ ? ?
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3.直线的极坐标方程 若直线过点 M(ρ0, θ0), 且极轴到此直线的角为 α, 则它的方程为: ρsin(θ-α)=ρ0sin (θ0-α). 几个特殊位置的直线的极坐标方程 (1)直线过极点:θ=θ0 和 θ=π-θ0; (2)直线过点 M(a,0)且垂直于极轴:ρcos θ=a; π? ? (3)直线过 M?b,2?且平行于极轴:ρsin θ=b. ? ? 4.圆的极坐标方程 若圆心为 M(ρ0,θ0),半径为 r 的圆方程为
2 ρ2-2ρ0ρcos(θ-θ0)+ρ2 0-r =0.

几个特殊位置的圆的极坐标方程 (1)当圆心位于极点,半径为 r:ρ=r; (2)当圆心位于 M(a,0),半径为 a:ρ=2acos_θ; π? ? (3)当圆心位于 M?a,2?,半径为 a:ρ=2asin_θ. ? ? 双基自测 1.点 P 的直角坐标为(- 2, 2),那么它的极坐标可表示为________. 解析 直接利用极坐标与直角坐标的互化公式. 3π? ? 答案 ?2, 4 ? ? ? 2.若曲线的极坐标方程为 ρ=2sin θ+4cos θ,以极点为原点,极轴为 x 轴正半 轴建立直角坐标系,则该曲线的直角坐标方程为________. 解析 ∵ρ=2sin θ+4cos θ,∴ρ2=2ρsin θ+4ρcos θ. ∴x2+y2=2y+4x,即 x2+y2-2y-4x=0. 答案 x2+y2-4x-2y=0 3.(2011· 西安五校一模)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ=2sin θ 与 ρcos θ =-1 的交点的极坐标为________. 解析 ρ=2sin θ 的直角坐标方程为 x2+y2-2y=0,ρcos θ=-1 的直角坐标方
2 2 ?x +y -2y=0, ?x=-1, 程为 x=-1,联立方程,得? 解得? 即两曲线的交点 ?x=-1, ?y=1,

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3π? ? 为(-1,1),又 0≤θ<2π,因此这两条曲线的交点的极坐标为? 2, 4 ?. ? ? 3π? ? 答案 ? 2, 4 ? ? ? π? ? 4.在极坐标系中,直线 l 的方程为 ρsin θ=3,则点?2,6?到直线 l 的距离为 ? ? ________. π? ? 解析 ∵直线 l 的极坐标方程可化为 y=3,点?2,6?化为直角坐标为( 3,1), ? ? π? ? ∴点?2,6?到直线 l 的距离为 2. ? ? 答案 2 ? π? 5.(2011· 广州调研)在极坐标系中,直线 ρsin?θ+4?=2 被圆 ρ=4 截得的弦长为 ? ? ________. 2 ? π? 解析 由 ρsin?θ+4?=2,得 2 (ρsin θ+ρcos θ)=2 可化为 x+y-2 2=0.圆 ρ=4 ? ? 可化为 x2+y2=16,由圆中的弦长公式得:2 答案 4 3 r2-d2=2 ?2 2?2 ? =4 3. 42-? ? 2 ?

考向一

极坐标和直角坐标的互化

π? ? 【例 1】?(2011· 广州测试(二))设点 A 的极坐标为?2,6?,直线 l 过点 A 且与极轴 ? ? π 所成的角为3,则直线 l 的极坐标方程为________________. [审题视点] 先求直角坐标系下的直线方程再转化极坐标方程. π? ? 解析 ∵点 A 的极坐标为?2,6?,∴点 A 的平面直角坐标为( 3,1),又∵直线 ? ? π π l 过点 A 且与极轴所成的角为3,∴直线 l 的方程为 y-1=(x- 3)tan 3,即 3x - y - 2 = 0 ,∴直线 l 的极坐标方程为 3 ρcos θ - ρsin θ - 2 = 0 ,可整理为 ? π? ?π ? ? 4π? ρcos?θ+6?=1 或 ρsin?3-θ?=1 或 ρsin?θ- 3 ?=1. ? ? ? ? ? ?

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? π? ?π ? ? 4π? 答案 ρcos?θ+6?=1 或 3ρcos θ-ρsin θ-2=0 或 ρsin?3-θ?=1 或 ρsin?θ- 3 ? ? ? ? ? ? ? =1. (1)在由点的直角坐标化为极坐标时,一定要注意点所在的象限和极角 的范围,否则点的极坐标将不唯一. (2)在曲线的方程进行互化时,一定要注意变量的范围.要注意转化的等价性. 【训练 1】 (2011· 佛山检测)在平面直角坐标系 xOy 中,点 P 的直角坐标为(1, - 3).若以原点 O 为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,则点 P 的极坐标 可以是________. 解析 由极坐标与直角坐标的互化公式 ρcos θ=x,ρsin θ=y 可得,ρcos θ=1, π? π ? ρsin θ=- 3,解得 ρ=2,θ=2kπ-3(k∈Z),故点 P 的极坐标为?2,2kπ-3?(k ? ? ∈Z). π? ? 答案 ?2,2kπ-3?(k∈Z) ? ? 考向二 圆的极坐标方程的应用

【例 2】 ?(2011· 广州测试)在极坐标系中, 若过点(1,0)且与极轴垂直的直线交曲线 ρ=4cos θ 于 A、B 两点,则|AB|=________. [审题视点] 先将直线与曲线的极坐标方程化为普通方程, 再利用圆的知识求|AB|.

解析 注意到在极坐标系中,过点(1,0)且与极轴垂直的直线的直角坐标方程是 x =1,曲线 ρ=4cos θ 的直角坐标方程是 x2+y2=4x,即(x-2)2+y2=4,圆心(2,0) 到直线 x=1 的距离等于 1,因此|AB|=2 4-1=2 3. 答案 2 3 解决此类问题的关键还是将极坐标方程化为直角坐标方程. 【训练 2】 (2011· 深圳调研)在极坐标系中,P,Q 是曲线 C:ρ=4sin θ 上任意两 点,则线段 PQ 长度的最大值为________. 解析 由曲线 C:ρ=4sin θ,得 ρ2=4ρsin θ,x2+y2-4y=0,x2+(y-2)2=4,即 曲线 C:ρ=4sin θ 在直角坐标系下表示的是以点(0,2)为圆心、以 2 为半径的圆, 易知该圆上的任意两点间的距离的最大值即是圆的直径长, 因此线段 PQ 长度的 最大值是 4.
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答案 4 考向三 极坐标方程的综合应用

【例 3】?如图,在圆心的极坐标为 A(4,0),半径为 4 的圆中,求过极点 O 的弦 的中点的轨迹. [审题视点] 在圆上任取一点 P(ρ0,θ0),建立 P 点与 P 的中点 M 的关系即可. 解 设 M(ρ,θ)是所求轨迹上任意一点.连接 OM 并延长交圆 A 于点 P(ρ0,θ0), 则有 θ0=θ,ρ0=2ρ.由圆心为(4,0),半径为 4 的圆的极坐标方程为 ρ=8cos θ,得 ρ0=8cos θ0.所以 2ρ=8cos θ, 即 ρ=4cos θ.故所求轨迹方程是 ρ=4cos θ.它表示以 (2,0)为圆心,2 为半径的圆. 求轨迹的方法与普通方程的方法相同,但本部分只要求简单的轨迹求 法. 【训练 3】 从极点 O 作直线与另一直线 ρcos θ=4 相交于点 M,在 OM 上取一 点 P,使|OM|· |OP|=12,求点 P 的轨迹方程. 解 设动点 P 的坐标为(ρ,θ),则 M(ρ0,θ). 12 ∵|OM|· |OP|=12.∵ρ0ρ=12.ρ0= ρ . 12 又 M 在直线 ρcos θ=4 上,∴ ρ cos θ=4,∴ρ=3cos θ.这就是点 P 的轨迹方程.

高考中极坐标问题的求解策略 从近两年新课标高考试题可以看出, 高考对该部分重点考查极坐标与直角坐标的 互化以及圆的极坐标问题,但各省市的要求不尽相同. π? ? 【示例 1】? (2011· 安徽)在极坐标系中,点?2,3?到圆 ρ=2cos θ 的圆心的距离为 ? ? ( A.2 B. π2 4+ 9 C. π2 1+ 9 D. 3 ).

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【示例 2】? (2010·广东)在极坐标系(ρ,θ)(0≤θ<2π)中,曲线 ρ(cos θ+sin θ) =1 与 ρ(sin θ-cos θ)=1 的交点的极坐标为________.

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