nbhkdz.com冰点文库

广东省佛山市南海区2014届高三数学入学摸底考试试题 理 新人教A版


佛山市南海区 2014 届普通高中高三质量检测理科数学试题
2013.8 一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的. 第Ⅰ卷(选择题 共 40 分) 一、本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分。在每小题列出的四个选项中,选出符合题目 要求的一项。 1.设集合 A ? x x >1

, B ? ? x | x ( x ? 2) ? 0? ,则 A ? B 等于( (A) {x | 0 ? x ? 1} (B) ?x 1 ? x ? 2? 2.已知 a 是实数, (A) (C) x 0 ? x ? 2 )

?

?

) (D) {x | x ? 2}

?

?

a?i 是纯虚数,则 a 等于( 1? i
(B)

1

?1

(C)

2

(D) ? 2 )

3.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 S n ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d 等于( (A)

1

(B)

5 3

(C)
2

2

(D)

3

4.用反证法证明命题:若整数系数的一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0(a ? 0) 有有理实数根, 那么 a , b , c 中至少有一个是偶数,下列假设中正确的是: (A)假设 a , b , c 至多有一个是偶数 (B)假设 a , b , c 至多有两个偶数 (C)假设 a , b , c 都是偶数 (D)假设 a , b , c 都不是偶数 5.若 a , b 是两个非零向量,则“ a ? b ? a ? b ”是“ a ? b ”的( (A)充分不必要条件 (C)充要条件 6. ? x ? (B)必要不充分条件 (D)既不充分也不必要条件 ) (D) 6 )

? ?

1? ? 的展开式中含 x 的正整数指数幂的项数是( x?
(B)
2

10

(A) 0

2

(C)

4

7.已知抛物线 y ? 2 px 的焦点 F 与双曲线 轴的交点为 K ,点 A 在抛物线上且 | AK |? (A) 4 (B) 8

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点重合,抛物线的准线与 x 7 9
2 | AF | ,则△ AFK 的面积为(


(C)

16

(D) 32

1

8.给出下列命题:①在区间 (0, ??) 上,函数 y ? x ?1 , y ? x 2 , y ? ( x ? 1)2 , y ? x3 中有三个 是增函数; ②若 log m 3 ? log n 3 ? 0 , 0 ? n ? m ? 1 ; 则 ③若函数 f ( x) 是奇函数, f ( x ? 1) 则

1

?3 x ? 2 , x ? 2, 1 的图象关于点 A(1,0) 对称; ④已知函数 f ( x ) ? ? 则方程 f ( x) ? 有 2 个 2 ?log 3 ( x ? 1), x ? 2,
实数根,其中正确命题的个数为 ( (A) 1 (B) 2 ) (C)

3

(D) 4

第Ⅱ卷(共 110 分) 二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分。

3 . 5 2 2 10.已知圆 C : x ? y ? 6 x ? 8 ? 0 ,若直线 y ? kx 与圆 C 相切,且切点在第四象限,则
9.若 sin ? ? ? ,且 tan ? ? 0 ,则 cos ? ?

k?

. .

11.一个几何体的三视图如左下图所示,则该几何体的表面积为

12.如右上图所示, EFGH 是以 O 为圆心,半径为 1 的圆的内接正方形,将一粒豆子随机 地扔到该圆内,用 A 表示事件“豆子落在正方形 EFGH 内”, B 表示事件“豆子落在扇形

OHE (阴影部分)内”,则 P( B | A) ?



13.在等差数列 ? an ? 中,若 am ? p,an ? q (m, n ? N ,n ? m ? 1) ,则 am? n ?
*

nq ? mp . n?m

类比上述结论,对于等比数列 ?bn ? ( bn ? 0, n ? N ) ,若 bm ? r , bn ? s ( n ? m ? 2 ,
*

m, n ? N * ) ,则可以得到 bm? n ?



2

(二)选做题(14、15 题,考生只能从中选做一题) 14. (几何证明选讲选做题)如图,圆 O 的割线 PAB 交圆

O 于 A 、 B 两点,割线 PCD 经过圆心.已知 PA ? 6 , 1 AB ? 7 , PO ? 12 .则圆 O 的半径 R ? ____ . 3

A P
C

B

? O

D

15. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ( 0 ? ? ? 2? )中,直线 ? ?

?
4

被圆

? ? 2 sin ? 截得的弦长是



三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分。解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程。 16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)当 x ? [0,

?
2

] 时,求 f ( x) 的最大值.

17. (本小题满分 12 分) 为了了解某班的男女生学习体育的情况, 按照分层抽样分别抽取了 10 名男生和 5 名女 生作为样本,他们期末体育成绩的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数。 (1) 若该班男女生平均分数相等,求 x 的值; 女生 男生 (2) 若规定 85 分以上为优秀,在该 10 名男生中 2 6 0 2 4 随机抽取 2 名,优秀的人数记为 ? ,求 ? 的 8 7 9 分布列和数学期望. 7 4 8 x 8 4 9 0 1 2 8

18. (本小题满分 14 分) 直线 y ? 2 x 上.

已知数列 ?a n ?的前 n 项和为 Sn =2n ? 4n+1 , 数列 ?bn ? 的首项 b1 =2 , 且点 (bn , bn ?1 ) 在
2

(1)求数列 ?a n ?, ?bn ? 的通项公式;

b (2)若 cn ? an ? n ,求数列 ?cn ? 的前 n 项和 Tn .
3

19. (本小题满分 14 分) 如图, 边长为 2 的正方形 ABCD 中, E 是 AB 的中点, F 是 BC 的中点, 点 点 将△ AED 、 △ DCF 分别沿 DE 、 DF 折起,使 A 、 C 两点重合于点 A? ,连接 EF , A?B . (1)求证: A?D ? EF ; (2)求二面角 A? ? EF ? D 的余弦值.

20. (本小题满分 14 分) 设 P 是曲线 C1 上的任一点, Q 是曲线 C2 上的任一点,称 PQ 的最小值为曲线 C1 与 曲线 C2 的距离. (1)求曲线 C1 : y ? e 与直线 C2 : y ? x ? 1 的距离;
x

(2)设曲线 C1 : y ? e 与直线 C3 : y ? x ? m ( m ? R,m ? 0 )的距离为 d1 ,直线
x

C2 : y ? x ? 1 与直线 C3 : y ? x ? m 的距离为 d 2 ,求 d1 ? d2 的最小值.

21. (本小题满分 14 分) 已知实数组成的数组 ( x1 , x2 , x3 ,?, xn ) 满足条件: ①

?x
i ?1

n

i

? 0;



?x
i ?1

n

i

?1.

(Ⅰ) 当 n ? 2 时,求 x1 , x2 的值; (Ⅱ)当 n ? 3 时,求证: 3x1 ? 2x2 ? x3 ? 1 ; (Ⅲ)设 a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an ,且 a1 ? an (n ? 2) ,

4

求证:

?a x
i ?1

n

i i

?

1 (a1 ? an ) . 2
2013、8

南海区 2014 届普通高中高三质量检测理科数学试题参考答案

一、 选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求 的. 1-4 BA C D 5-8 CBDC

二、填空题:本大共 7 小题,考生作答 6 小题,每小题 5 分,满分 30 分) (一)必做题(9~13 题) 9、

4 ? 5

2 10、 ? 4

11、

75 ? 4 10

12、

1 4

13、 bm ? n ?

n?m

sn rm

(二)选做题:

14、 8 ;

15、 2

三、解答题 本大题共 4 小题,共 50 分.解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程. 16. 【解析】 f ( x) ? 2sin x(sin x ? cos x) ? 2sin x ? 2sin x cos x ??1 分
2

? 1 ? cos 2x ? sin 2x ??2 分
? 2( 2 2 sin 2 x ? cos 2 x) ? 1 ??3 分 2 2

? 2(sin 2 x cos

?

2? ? ? ??7 分 2 ? ? ? 3? (2)∵ 0 ? x ? ,∴ ? ? 2 x ? ? ??8 分 2 4 4 4 ? ? 3? ∴当 2 x ? ? ,即 x ? 时, f ( x) 取得最大值??10 分 4 2 8 3? ? 且最大值为 f ( ) ? 2 sin ? 1 ? 2 ? 1??12 分 8 2
(1) f ( x) 的最小正周期 T ? 17.解: (1)依题意可得,
5

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ??5 分 4

?

? cos 2 x sin ) ? 1 ??4 分 4 4

?

62 ? 78 ? 84 ? 87 ? 94 60 ? 62 ? 64 ? 79 ? 80 ? x ? 88 ? 90 ? 91 ? 92 ? 98 , ? 5 10
分 ∴ ------------------------------3 分 ( 2 ) 由 茎 叶 图 可 知 , 10 -----------------------------4 分 ∴

1

x=6.
名 男 生 中 优 秀 的 人 数 为 6 人 。

P (? ? 0) ?

2 C4 2 ? 2 C10 15

,

------------------------------6 分

P(? ? 1) ?

1 C4 ? 6 8 C1 ? 2 C10 15

,

-----------------------------8 分

C62 1 P(? ? 2) ? 2 ? C10 3
---------------------------10 分

,

?
P

0

1

2

2 15
3

8 15
1 6

1 3

∴ E (? ) ?

? ? ?P ? 0 ? 15 ? 1? 15 ? 2 ? 3 ? 5
i ?1 i i

2

8







?













6 . 5
2

-------------------------12 分

( ) 4 18.解: (1)由 Sn =2n ? 4n+1 得 Sn -1 =2 n ? 1 ? (n ? 1)+1 ,
2
2 2 2 ) 4 ∴ an ? Sn ? Sn -1 =2n ? 4n+1 ? (n ? 1 ? (n ? 1) ? 1=4n ? 2(n ? 2)

--------1 分 ---------2

分 当 n =1 时, a1 =7 , -----------------------------3 分 综上

?4n ? 2(n ? 2) an ? ? . ?7(n ? 1)

--------------------------4 分

6

∵点 (bn , bn ?1 ) 在直线 y ? 2 x 上, bn ?1 ? 2bn , b1 =2 , ∴ 又 分 ∴ ?bn ? 是以 2 为首项 2 为公比的等比数列,

------------------5

bn ? 2n .

------------------7 分 --------------8

b (2)由(1)知,当 n ? 1 时, c1 ? a1 ? 1 ? 14 ;


b 2 2 当 n ? 2 时, cn ? an ? n ? (4n ? 2)? ? (2n ? 1)?
n

n ?1



---------------9 分 所以当 n ? 1 时, T1 ? c1 ? 14 ;

2 2 当 n ? 2 时, Tn ? c1 ? c2 ? c3 ? ... ? cn ? 14 ? 5 ? 2 ? ... ? (2n ? 1)? ? (2n ? 1)?
3 n

n ?1

① -

2 则 2Tn ? 28 ? 5 ? 2 ? ... ? (2n ? 1)?
4

n ?1

? (2n ? 1)?2n ? 2



---------10 分 ②-①得: Tn ? 14 ? 5 ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? 2
3 5 6 n?2

? (2n ? 1)?2n? 2

-------------12 分 即 Tn ? 14 ? 5 ? 2 ?
3

25 (2n ?2 ? 1) ? (2n ? 1)?2n ? 2 ? (2n ? 1)?2n ? 2 ? 6 , 2 ?1
1? 2

---------------13 分

2 显然,当 n ? 1 时, T1 ? (2 ?1 ? 1)?
所以

? 6 ? 14 ,

Tn ? (2n ? 1)?2n ? 2 ? 6 .
---14 分 19. 【解析】 (1)在正方形 ABCD 中,有 AD ? AE , CD ? CF 则 A?D ? A?E , A?D ? A?F 又 A?E ? A?F ? A? ∴ A?D ? 平面 A?EF 而 EF ? 平面 A?EF ,∴ A?D ? EF (2)方法一:连接 BD 交 EF 于点 G ,连接 A?G ∵在正方形 ABCD 中,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF , DE ? DF , ∴点 G 为 EF 的中点, 且 BD ? EF

-------------

??1 分 ??2 分 ??3 分 ??4 分 ??5 分 ??6 分

??7 分

7

∵正方形 ABCD 的边长为 2,∴ A?E ? A?F ? 1,∴ A?G ? EF ∴ ?A?GD 为二面角 A? ? EF ? D 的平面角 ??9 分 由(1)可得 A?D ? A?G , ∴△ A?DG 为直角三角形 ??10 分 ∵正方形 ABCD 的边长为 2, ∴ BD ? 2 2 , EF ? ∴ BG ?

??8 分

2,

G
2 2 3 2 ? , DG ? 2 2 ? , 2 2 2
??11 分

又 A?D ? 2 ∴ A?G ? 分

DG 2 ? A?D 2 ?

9 2 ?4 ? 2 2

??12

2 ?G A 1 ∴ cos ?A?GD ? ? 2 ? DG 3 2 3 2
∴二面角 A? ? EF ? D 的余弦值为

??13 分

1 3

??14 分

方法二:∵正方形 ABCD 的边长为 2,点 E 是 AB 的中点,点 F 是 BC 的中点, ∴ BE ? BF ? A?E ? A?F ? 1 , ∴ EF ?
2

2
2 2

??6 分 ??7 分

∴ A?E ? A?F ? EF ,∴ A?E ? A?F 由(1)得 A?D ? 平面 A?EF , ∴分别以 A?E , A?F , A?D 为 x , y ,

z 轴建立如图所示的空间直角
坐标系 A? ? xyz , 则 A?(0,0,0) , E (1, 0, 0) , ??8 分

z x y
??9 分

F (0,1, 0) , D(0,0, 2)
???? ????

∴ DE ? (1, 0, ?2) , DF ? (0,1, ?2) ,

?? ???? ?? ?n1 ? DE ? x ? 2 z ? 0 ? 设平面 DEF 的一个法向量为 n1 ? ( x, y, z ) ,则由 ? ?? ???? , ?n1 ? DF ? y ? 2 z ? 0 ? ?? 可取 n1 ? (2, 2,1) ??11 分
8

又平面 A?EF 的一个法向量可取 n2 ? (0, 0,1)

?? ?

??12 分

?? ?? ? ?? ?? ? n1 ? n2 ? ∴ cos ? n1 , n2 ?? ?? ?? ? | n1 || n2 |

1 4 ? 4 ? 1 ?1

?

1 3

??13 分

∴二面角 A? ? EF ? D 的余弦值为

1 . 3

??14 分

20.解: (1)只需求曲线 C1 上的点到直线 y ? x ? 1 距离的最小值. 设曲线 C1 上任意一点为 P( x, e ), 则点 P ( x, e ) 到 y ? x ? 1 的距离为
x x

??1 分

d?

x ? ex ?1 2
x

?

ex ? x ? 1 2
x x

??3 分

令 f ( x) ? e ? x ? 1 ,则 f ?( x) ? e ? 1 ,由 f ?( x) ? e ? 1 ? 0 ? x ? 0 ;

f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? x ? 0; f ?( x) ? e x ? 1 ? 0 ? x ? 0.
故当 x ? 0 时, 函数 f ( x) ? e ? x ? 1 取极小值即最小值 f (0) ? 2 ,
x

??5 分

即d ?

ex ? x ? 1 2

取最小值 2 ,故曲线 C1 与曲线 C2 的距离为 2 ;

??8 分

(2)由(1)可知, d1 ?

| m ? 1| | m ? 1| ,又易知 d 2 ? , 2 2

??9 分

则 d1 ? d 2 ?

| m ? 1| | m ? 1| 1 2 ? ? ?| m ? 1| ? | m ? 1|? ? ? 2 , 2 2 2 2

??12 分

当且仅当 (m ? 1)(m ? 1) ? 0 时等号成立,考虑到 m ? 0 ,所以,当 0 ? m ? 1 时,

d1 ? d2 的最小值为 2 .

??14 分

21. (Ⅰ)解: ?

? x1 ? x2 ? 0, ? ? x1 ? x2 ? 1. ?

(1) (2)

由(1)得 x2 ? ? x1 ,再由(2)知 x1 ? 0 ,且 x2 ? 0 .

9

1 ? ? x1 ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时, x2 ? 0 .得 2 x1 ? 1 ,所以 ? ?x ? ? 1 . ? 2 ? 2 1 ? ? x1 ? ? 2 , ? 当 x1 ? 0 时,同理得 ? ?x ? 1 . ? 2 2 ?
(Ⅱ)证明:当 n ? 3 时, 由已知 x1 ? x2 ? x3 ? 0 , x1 ? x2 ? x3 =1 .

???????????2 分

????????????4 分

所以 3x1 ? 2x2 ? x3 ? x1 ? 2( x1 ? x2 ? x3 ) ? x3

? x1 ? x3 ? x1 ? x3 ? 1 .

??????????9 分

(Ⅲ)证明:因为 a1 ? ai ? an ,且 a1 ? an (i ? 1, 2,3,?, n) .

所以 (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? (a1 ? ai ) ? (ai ? an ) ? a1 ? an ,

即 a1 + an ? 2ai ? a1 ? an

(i ? 1, 2,3,?, n) .

?????????11 分

?a x
i ?1

n

i i

?

?a x ? 2 a ? x ? 2 a ? x
i ?1 i i 1 i ?1 i n i ?1

n

1

n

1

n

i

?

1 2

? (2a ? a
i ?1 i

n

1

? an ) xi

?

1 n 1 n ( a1 ? an ? 2ai xi ) ? ? ( a1 ? an xi ) ? 2 i ?1 2 i ?1
n

?

1 a1 ? an 2

?x
i ?1

i

10

1 ? (a1 ? an ) . 2

??????????14 分

11


广东省佛山市南海区2014届高三数学入学摸底考试试题 理 新人教A版

广东省佛山市南海区2014届高三数学入学摸底考试试题 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。佛山市南海区 2014 届普通高中高三质量检测理科数学试题 2013.8 一、 ...

广东省佛山市南海区2014届高三数学入学摸底考试试题 文 新人教A版

广东省佛山市南海区2014届高三数学入学摸底考试试题新人教A版 隐藏>> 佛山市南海区 2014 届高三数学(文)8 月质量检测试题参考公式: V锥 ? 1 Sh (其中 ...

2016高三数学摸底考试试题 理 新人教A版

2016高三数学摸底考试试题 新人教A版_数学_高中教育_教育专区。2016 年高三数学()摸底试题纠错卷(2016.9.16)一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 ...

佛山市南海区2014届高三数学文科试题

佛山市南海区 2014 届高三数学(文)8 月质量检测试题参考公式: V锥 ? 1 Sh...bx ? c ? 0(a ? 0) 有有实数根,那么 a , b , c 中至少有一个...

广东省2014届高三理科数学各地试题精选分类汇编1:集合

选择题 1 .(广东省佛山市南海区 2014 届普通高中...届高三上学期第二次联考数学()试题)设 A ? {...(广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学...

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编15:复数

届高三入学摸底考试数学理试题) . 复数 z 满足 ?...学年度高三年级第一次阶段性测试理科数学(A卷) ...(广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月...

广东省2014届高三理科数学一轮复习考试试题精选(1)分类汇编17:坐标系与参数方程

? 3 ? 2 ? 7 . (广东省广州市海珠区 2014 届高三入学摸底考试数学理试题...【答案】 1 8 . (广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月质量检测...

广东省佛山市南海区2014届高三8月质量检测数学文试题

佛山市南海区 2014 届高三数学(文)8 月质量检测试题参考公式: V锥 ? 1 Sh...bx ? c ? 0(a ? 0) 有有实数根, 那么 a , b , c 中至少有一个...

专题16 选修部分-2014届高三名校数学(理)试题解析分项汇编(第01期)Word版无答案

C A o B P 5.【广东省惠州市 2014 届高三第...届高三入学摸底考试数学理试题】已知极坐标的极点与...【广东省佛山市南海区 2014 届普通高中高三 8 月...

(广东版 第01期)2014届高三数学 试题分省分项汇编 专题04 三角函数与三角形 理

则 cosα = 5 . 5.【广东省佛山市南海区 2014 届高三 8 月质检() 】...5 , b ? 二.能力题组 1.【广东省广州市越秀区 2014 届高三入学摸底考试(...