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广东省惠州市第一中学2015-2016学年高二数学下学期期中试题 文


2015-2016 学年 2017 届高二下学期期中考试文科数学试题
考试用时:120 分钟 第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1. 已知 i 为虚数单位,集合 A={1,2,zi},B={1,3},A∪B={1,2,3,4},则复数 z 等于( ) (A)-4i (B)4i

(C)-2i (D)2i 2.以下四个命题: ①在匀速传递的产品生产流水线上,质检员每 10 分钟从中抽取一件产品进行某项指标 检测,这样的抽样是分层抽样;②若两个变量的线性相关性越强,则它们的相关系数的绝对 值越接近于 1;③在残差图中,残差点分布的带状区域的宽度越狭窄,其模型拟合的精度越 高;④对分类变量 X 与 Y 的随机变量 K 的观测值 k 来说,k 越小,判断“X 与 Y 有关系”的 把握越大.其中真命题的序号是( A.①④ C.①③ ) B.②④ D.②③ )
2

3-ai 3.“复数 z= 在复平面内对应的点在第三象限”是“a≥0”的( i A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. 下列命题中,真命题是( ) A. ?x0 ? R ,使得 e C. ?x ? R, 2x ? x2
x0

?0

B. sin x ?

1 ? 2( x ? kπ, k ? Z ) sin x

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分不必要条件

4 4 2 2 3 3 b b 5..已知 2 + =2 , 3 + =3 , 4 + =4 , ?, 依此规律, 若 8 + =8 , 3 3 8 8 a a 15 15 则 a,b 的值分别是( ) A.65,8 B.63,8 C.61,7 D.48,7 6. 如图是一算法的程序框图,若输出结果为 S=720,则在判断框中应填入的条件是( )

A.k≤6? C.k≤8?

B.k≤7? D.k≤9?

1

2S ;类 a+b+c 比这个结论可知: 若四面体 S?ABC 的四个面的面积分别为 S1、S2、S3、 S4,内切球的半径为 r, 四面体 S?ABC 的体积为 V,则 r=( ) V 2V A. B. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 3V 4V C. D. S1+S2+S3+S4 S1+S2+S3+S4 7.设三角形 ABC 的三边长分别为 a、b、c,面积为 S,内切圆半径为 r,则 r= 8. 已知抛物线 y 2 ? 8x 与双曲线

x2 ? y 2 ? 1 的一个交点为 M , F 为抛物线的焦点,若 2 a


MF ? 5 ,则该双曲线的渐近线方程为(

(A) 、 5x ? 、 3x ? 、 4x ? 、 5x ? 3 y0 ? (B) 5 y0 ? (C) 5 y0 ? (D) 4 y0 ? 9. 某工厂为了对新研发的一种产品进行合理定价,将该产品按事先拟定的价格进行试销, 得到如下数据: 单价 x(元) 4 5 6 7 8 9 销量 y(件) 90 84 83 80 75 68 ^ ^ 由表中数据,求得线性回归方程为y=-4x+a.若在这些样本点中任取一点,则它在回 归直线左下方的概率为( ) 1 1 1 2 A. B. C . D. 6 3 2 3
2 10.已知 f ( x ) ? ax ?

b ( a ? 0 ,b ? 0 ) ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1 , f (1)) 处的切线经过点 x 3 1 1 1 ( , ) ,则 ? 有 2 2 a b A.最小值 9 B.最大值 9 C.最小值 4 D.最大值 4
3

11.已知 f(x)=x +x,a,b,c∈R,且 a+b>0,a+c>0,b+c>0,则

f(a)+f(b)+f(c)的值一定
A.大于零 B.等于零 C.小于零 D.正负都可能

12. 设函数 f ( x ) 的定义域为 R , f (?1) ? 2 ,对于任意的 x ? R , f ?( x) ? 2 ,则不等式

f ( x) ? 2 x ? 4 的解集为(
A. (?1,1)

) C. (??, ?1) D. (??, ??)

B. ? ?1, ?? ?

第Ⅱ卷 本卷包括必考题和选考题两部分。 第 13 题~21 题为必考题, 每个试题考生都必须做答。 第 22 题~24 题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. 若复数

14. 执行下面的程序框图,若 p ? 0.8 ,则输出的 n ?
开始 输入 p

a ? 3i ( a ? R, i 为虚数单位)是纯虚数,则实数 a 的值为 1 ? 2i

S ?S? 1
n



15. 阅读下列材料:若两个正实数 a1,a2 满足 否 a1+a2=1,那么 a12 +a2≤ 2.证明:构造函数
2 2

n ?1, S ? 0

S? p?



n ? n ?1

输出 n

结束

2

f(x)=(x-a1)2+(x-a2)2=2x2-2(a1+a2)x+1,因为对一切实数 x,恒有 f(x)≥0,所以 2 Δ ≤0,从而得 4(a1+a2) -8≤0,所以 a1+a2≤ 2.根据上述证明方法,若 n 个正实数满足 2 2 a2 1+a2+?+an=1 时,你能得到的结论为______________.
16.已知 F1,F2 分别是椭圆 + =1(a>b>0)的左右焦点,点 A 是椭圆的右顶点,

O 为坐标原点,若椭圆上的一点 M 满足 MF1⊥MF2,|MA|=|MO|,则椭圆的离心率为________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 等差数列 ?an ? 中, a2 ? 8 ,前 6 项的和 S6 ? 66 。 (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ?

2 , Tn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ,求 Tn 。 (n ? 1)an

18. (本小题满分 12 分) 为了解人们对于国家新颁布的“生育二胎放开”政策的热度,现在某市进行调查,随机抽调 了 50 人,他们年龄的频数分布及支持“生育二胎”人数如下表:

(Ⅰ)由以上统计数据填下面 2 乘 2 列联表,并问是否有 99%的把握认为以 45 岁为分 界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异;

(Ⅱ)若对年龄在[5,15)的被调查人中各随机选取两人进行调查,恰好这两人都支持 “生育二胎放开”的概率是多少? 参考数据:

19. (本小题满分 12 分)
3

AB ? 侧面 BB1C1C , BC ? 1 , CC1 ? 2 , BC1 ? 3 . 在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,已知

(Ⅰ)求证: BC1 ? 平面 ABC ; (Ⅱ)当 AB ?

3 时,求三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 的体积. 2

20. (本小题满分 12 分)

x2 y 2 a 2b 2 2 2 ( a ? b ? 0) C 设椭圆 C : 2 ? 2 ? 1 ,定义椭圆 的“相关圆”方程为 x ? y ? 2 , a b a ? b2
若抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点与椭圆 C 的一个焦点重合,且椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦 点构成直角三角形. (Ⅰ)求椭圆 C 的方程和“相关圆” E 的方程; (Ⅱ)过“相关圆” E 上任意一点 P 的直线 l : y ? kx ? m 与椭圆 C 交于 A, B 两点. O 为坐 标原点,若 OA ? OB ,证明原点 O 到直线 AB 的距离是定值,并求 m 的取值范围. 21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)= +xlnx,g(x)=x3﹣x2﹣3. (1)讨论函数 h(x)= 的单调性;

(2)如果对任意的 s,t∈[ ,2],都有 f(s)≥g(t)成立,求实数 a 的取值范围.

4

请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。做答 时请写清题号。

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 如图,⊙O 的半径 OB 垂直于直径 AC,M 为 AO 上一点,BM 的延长线交⊙O 于 N,过 N 点的切 线交 CA 的延长线于 P. (Ⅰ)求证:PM2=PA?PC; (Ⅱ)若⊙O 的半径为 2 ,OA= OM,求 MN 的长.

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

? 3 x ? ?2 ? t ? ? 2 已 知 曲 线 C1 的 参 数 方 程 为 ? , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ?y ? 1 t ? ? 2 ? ? ? 2 2 cos(? ? ) .以极点为坐标原点,极轴为 x 轴正半轴建立平面直角坐标系. 4 (1)求曲线 C2 的直角坐标方程; (2)求曲线 C2 上的动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值.
24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? log2 ( x ?1 ? x ? 2 ? m) . (Ⅰ)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域; (Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围.

5

参考答案 A D A D B BCABA AB 13. 16. 17.解: (1)设等差数列 ?an ? 的公差为 d ,由

?6

14.

4

15. a1+a2+?+an≤ n

a2 ? 8

得: a1 ? d ? 8 ①

由 s6 ? 66 得 : 6a1 ? 15d ? 66 即 2a1 ? 5d ? 22 ② 联定①② ?

(2)由(1)得 bn ?

1 1 ? ? n ? 1?? n ? 2? n ? 1 n ? 2 1 ? ?1 1? ?1 1? ? 1 ?Tn ? b1 ? b2 ? b3 ? ??? ? bn ? ? ? ? ? ? ? ? ? ??? ? ? ? ? ? 2 3? ? 3 4? ? n ?1 n ? 2 ? 1 1 ? ? ???12 分 2 n?2 ?
年龄低于 45 岁的人数 合计 32 18 50 ???????????2 分

?a1 ? 6 ?d ? 2

?an ? a1 ? ? n ?1? d ? 2n ? 4 ???6 分
1

18. 解:(Ⅰ)2 乘 2 列联表 年龄不低于 45 岁的人数 支持 不支持 合 计

a?3 b?7
10

c ? 29 d ? 11
40

K2 ?

50 ? (3 ?11 ? 7 ? 29)2 ? 6.27 < 6.635 ??????4 分 ? 3 ? 7 ?? 29 ? 11??3 ? 29?? 7 ? 11?

所以没有 99%的把握认为以 45 岁为分界点对“生育二胎放开”政策的支持度有差异. ??????5 分 (Ⅱ)设年龄在[5,15)中支持“生育二胎”的 4 人分别为 a,b,c,d, 不支持“生育二胎”的人 记为 M, ??????6 分 则从年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人所有可能的结果有: (a,b) , (a,c) , (a,d) , (a, M), (b,c), (b,d),(b, M), (c, d), (c, M),(d, M).????8 分 设“恰好这两人都支持“生育二胎” ”为事件 A,??????9 分 则事件 A 所有可能的结果有: (a,b), (a,c), (a,d), (b,c), (b,d), (c, d), ∴ P ? A? ?

6 3 ? . ??????11 分 10 5 3 .??????12 分 5

所以对年龄在[5,15)的被调查人中随机选取两人进行调查时,恰好这两人都支持“生育 二胎”的概率为

19. (Ⅰ)证明: ∵BC ? 1 , CC1 ? 2 , BC1 ? 3 ,则 CC12 ? BC 2 ? BC12 ,
6

∴BC1 ? BC .

∵AB ? 侧面 BB1C1C ,
∴AB ? BC1 .

∵AB ? BC ? B ,
∴BC1 ? 平面 ABC.

????????????????????????(6 分)

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知 BC1 ? 平面 ABC,
∴BC1 即为三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的高,

所以三棱柱 ABC ? A1 B1C1 的体积 V ?

1 1 3 3 3 ? AB ? BC ? BC1 ? ? ? 1 ? 3 ? . 2 2 2 4

????????????????????????????(12 分) 20. (Ⅰ)因为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点 (1, 0) 与椭圆 C 的一个焦点重合,所以 c ? 1 , 又因为椭圆 C 短轴的一个端点和其两个焦点构成直角三角形,所以 b ? c ? 1 , 故椭圆 C 的方程为

2 x2 2 2 “相关圆” E 的方程为 x ? y ? ? y 2 ? 1, 3 2

4分

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ), B(x 2 , y2 )

? y ? kx ? m ? 联立方程组 ? x 2 得 (1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4kmx ? 2m2 ? 2 ? 0 2 ? ? y ?1 ?2

? ? 16k 2m2 ? 4(1 ? 2k 2 )(2m2 ? 2) ? 8(2k 2 ? m2 ?1) ? 0 ,即 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0
4km ? x1 ? x2 ? ? ? ? 1 ? 2k 2 ? 2 ? x x ? 2m ? 2 1 2 ? 1 ? 2k 2 ?

6分

y1 y2 ? (kx1 ? m)(kx2 ? m) ? k2 x1x2 ? km( x1 ? x2 ) ? m2 =
m 2 ? 2k 2 1 ? 2k 2

k 2 (2 m 2 ? 2) 4k 2 m2 ? ? m2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

=

由条件 OA ? OB 得 3m2 ? 2 k 2 ? 2 ? 0

7

所以原点 O 到直线 AB 的距离是 d ?

m 1? k 2

?

m2 1? k 2

由 3m2 ? 2 k 2 ? 2 ? 0 得 d ?

6 为定值. 3

9分

将 3m2 ? 2 k 2 ? 2 ? 0 代入 ? 中,由 2k 2 ? m2 ? 1 ? 0 解得

m??

2 2 或m ? 2 2
=

12 分

21. 解:(1)h(x)=

+lnx,h′(x)=



①a≤0,h′(x)≥0,函数 h(x)在(0,+∞)上单调递增 ②a>0 时,h'(x)>0,则 x∈( h'(x)<0,则 x∈(0, 分 (2)g(x)=x3﹣x2﹣3,g′(x)=3x(x﹣ ), x g′(x) 0 g(x) ﹣ 0 极小值 + 递增 1 2 ,+∞),函数 h(x)的单调递增区间为( ,+∞),

),函数 h(x)的单调递减区间为(0,

),.???5

﹣3 递减

由上表可知,g(x)在 x=2 处取得最大值,即 g(x)max=g(2)=1 所以当 x∈[ ,2]时,f(x)= +xlnx≥1 恒成立,等价于 a≥x﹣x2lnx 恒成立, 记 u(x)=x﹣x2lnx,所以 a≥u(x)max,u′(x)=1﹣x﹣2xlnx,可知 u′(1)=0, 当 x∈( ,1)时,1﹣x>0,2xlnx<0,则 u′(x)>0,∴u(x)在 x∈( ,2)上单 调递增; 当 x∈(1,2)时,1﹣x<0,2xlnx>0,则 u′(x)<0,∴u(x)在(1,2)上单调递减; 故当 x=1 时,函数 u(x)在区间[ ,2],上取得最大值 u(1)=1, 所以 a≥1,故实数 a 的取值范围是[1,+∞).???7 分 22. (Ⅰ)证明:连接 ON,因为 PN 切⊙O 于 N, ∴∠ONP=90°, ∴∠ONB+∠BNP=90° ∵OB=ON,
8

∴∠OBN=∠ONB 因为 OB⊥AC 于 O, ∴∠OBN+∠BMO=90°, 故∠BNP=∠BMO=∠PMN,PM=PN 2 2 ∴PM =PN =PA?PC (Ⅱ)∵OM=2,BO=2 ,BM=4 ∵BM?MN=CM?MA=(2 +2) (2 ﹣2) (2 ∴MN=2

﹣2)=8,

23. (1) ? ? 2 2 cos(? ? ) ? 2(cos ? ? sin ? ) ,

π 4 2 2 2 即 ? ? 2 ? ? cos ? ? ? sin ? ? ,可得 x ? y ? 2 x ? 2 y ? 0 ,
故 C2 的直角坐标方程为 ? x ? 1? ? ? y ? 1? ? 2 .
2 2

(2) C1 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 2 ? 0 , 由(1)知曲线 C2 是以 (1,1) 为圆心的圆,

且圆心到直线 C1 的距离 d ?

1? 3 ? 2 12 ?

? 3?

2

?

3? 3 , 2

∴动点 M 到曲线 C1 的距离的最大值为

3? 3 ? 2 2 . 2

24. 解: (Ⅰ)当 m ? 7 时, 函数 f ( x) 的定义域即为不等式 x ?1 ? x ? 2 ? 7 ? 0 的解集.[来 由于 ?

? x ? ?1 ??1 ? x ? 2 ,或 ? , ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0 ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0 ? ?
所以 x ? ?3 ,无解,或 x ? 4 .

或?

?x ? 2 . ?( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 7 ? 0

综上,函数 f ( x) 的定义域为 (??, ?3) ? (4, ??) (Ⅱ)若使 f ( x) ? 2 的解集是 R ,则只需 m ? ( x ? 1 ? x ? 2 ? 4)min 恒成立. 由于 x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? ( x ?1) ? ( x ? 2) ? 4 ? ?1
9

所以 m 的取值范围是 (??, ?1] .

10


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